2025-2026学年湘教版七年级数学下册学情自测卷

2025-2026学年湘教版七年级数学下册学情自测卷 测试范围:第1章整式的乘法第3章一元一次方程组 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法性质是解题关键．先将等式左右两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．式子①；②；③；④；⑤；⑥，属于不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】用不等号表示出来的两个量之间的不相等性(如用<、>和≠分别表示“小于”、“大于”和“不等于”)的表达式叫不等式．据此分析即可. 【详解】解：①是代数式； ②是不等式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤是不等式； ⑥是不等式； 属于不等式的共3个， 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式的定义，解题的关键是熟悉不等式的性质． 3．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、，两边同时加得，变形正确． B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确． C、∵， ∴， ∵， ∴，变形正确． D、当时，，此时 ∴不能推出，变形错误． 4．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 5．若代数式化简结果为，则的值为（   ） A．11 B．10 C．8 D．2 【答案】A 【分析】将左边代数式展开合并同类项，根据对应同类项系数相等求出a和b的值，进而计算． 【详解】解： ， ∵ 化简后结果为， ∴ 对应同类项系数相等，可得，且， 解得 ，． ∴． 6．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 7．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 8．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 9．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．由题意可得表示的数为，，则表示的数为，表示的数为，则，则表示的数为，表示的数为，进而求出． 【详解】解：∵表示的数为，， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若是一个完全平方式，则常数a的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵是完全平方式， ， ． 12．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【答案】/ 【分析】观察图形，拼成的长方形的两边长与两正方形边长之间的关系，求出长方形的另一边长，即可求出答案． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据图形可得，拼成的长方形的一边长为，另一边长为， 则这个长方形的面积为：． 13．若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据绝对值和算术平方根的非负性，列出方程组并求解． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ， ， 即 ， 得：， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 14．关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 15．设表示大于的最小整数，如，则下列结论中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号） ①； ②的最大值是1； ③恒成立； ④存在实数，使成立． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据定义表示大于的最小整数，逐项判断即可． 【详解】对于①，，正确； 对于②，当为整数时，，故；当不为整数时，，因此最大值为，正确； 对于③，当为整数时，，故不成立，错误； 对于④，当时，，，成立，正确． 故答案为：①②④． 16．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 17．(6分) 计算： (1) (2)． (3)解方程组： (4)解方程组：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用单项式乘以单项式的法则计算即可； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可； （3）利用代入法解方程组即可； （4）利用加减法解方程组即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ①代入②得到， 解得， 把代入①得， ∴； （4）解： 得， 把代入②得到， 解得 ∴． 18．(7分) 计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(7分) 数，在数轴上的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】根据数轴得出，进而根据算术平方根的非负性化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴ ． 20．(8分) 解不等式组，并把解集在数轴上表示． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可，掌握一元一次不等式组解法是解题关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 如图，将和分别表示在数轴上为： 不等式组的解集为． 21．(8分) 若关于的二元一次方程组的解都是正数，求的取值范围． 【答案】 【分析】将m看作已知数，表示出方程组的解，再根据方程组的解都是正数，令x与y都大于0，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可得到m的范围． 【详解】解：， ①②得：，即， 将代入①得到：， 解得， ∵关于的二元一次方程组的解都是正数， ∴， 解得：． 【点睛】理解方程组解的意义，用含m的代数式表示出x、y，得出关于x、y的不等式并用m表示出来是解题的关键． 22．(10分) 将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）利用，代入已知条件即可解答； （2）设，则，，结合，即可解答； （3）设，则，，结合，求得的值，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 23．(10分) 随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】(1)甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号机器人单价为10万元 (2)购买甲种型号机器人5套、乙种型号机器人5套时所花资金最少，最少资金是115万元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． （1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【详解】（1）解：设乙种型号机器人的单价为万元，则甲种型号机器人的单价为万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 展开得 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人套，则购买乙种机器人套（，且为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 由于为整数， 故． 因为中，随增大而增大， 所以当时，最小． 此时乙种机器人：（套）， 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 24．(10分) 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湘教版七年级数学下册学情自测卷 测试范围:第1章整式的乘法第3章一元一次方程组 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．式子①；②；③；④；⑤；⑥，属于不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 5．若代数式化简结果为，则的值为（   ） A．11 B．10 C．8 D．2 6．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 8．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 9．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若是一个完全平方式，则常数a的值为_______． 12．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 13．若，则的值为________． 14．关于的不等式组的解集为，则___________． 15．设表示大于的最小整数，如，则下列结论中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号） ①； ②的最大值是1； ③恒成立； ④存在实数，使成立． 16．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 17．(6分) 计算： (1) (2)． (3)解方程组： (4)解方程组：． 18．(7分) 计算 (1)； (2)． 19．(7分) 数，在数轴上的位置如图所示，化简： 20．(8分) 解不等式组，并把解集在数轴上表示． 21．(8分) 若关于的二元一次方程组的解都是正数，求的取值范围． 22．(10分) 将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 23．(10分) 随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 24．(10分) 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $