4.进阶点7 圆锥曲线中的常用结论(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线高考核心考点，涵盖第二第三定义、焦半径、焦点三角形、垂径定理及抛物线焦点弦等结论，按“定义拓展—二级结论—特殊应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题精讲与分层训练，帮助学生系统突破综合应用难点。 资料以结论整合与真题对接为特色，创新采用“结论推导—例题建模—变式训练”教学链，如用第三定义速解斜率乘积问题，结合垂径定理突破中点弦问题，培养数学思维与模型意识。分层设置高考真题与模拟题训练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

进阶点7　圆锥曲线中的常用结论 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　圆锥曲线的其他定义 1．第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹． 当0<e<1时为椭圆； 当e＝1时为抛物线； 当e>1时为双曲线． (1)焦半径：椭圆上的点到焦点的距离，设P(x0，y0)为椭圆上的一点， ①焦点在x轴：焦半径(左加右减)； ②焦点在y轴：焦半径(下加上减)． (2)焦半径，设P(x0，y0)为双曲线上的一点， ①焦点在x轴：P在左支P在右支 ②焦点在y轴：P在下支P在上支 2．第三定义：已知点A，B是关于原点对称的两个点，动点P不与A，B重合，且kPAkPB＝e2－1(e为常数)， 则当0<e<1时，动点P的轨迹为椭圆的一部分； 当e>1时，动点P的轨迹为双曲线的一部分． 例1　(1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(A) A. B. C. D. 解析　已知A(－a,0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝·＝＝　①，因为＋＝1，即y＝　②，②代入①整理得：＝，e＝＝＝.故选A. (2)(2025·嘉兴模拟)已知F1和F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，当∠F1PF2＝60°时，|OP|＝b，则C的离心率为(C) A. B. C. D. 解析　不妨设|PF1|>|PF2|，即P在双曲线右支上，(焦半径＋极化恒等式)：|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，·＝|PF1|·|PF2|cos 60°＝|OP|2－|OF1|2，化简得：e2x＝10b2－2c2＋a2　①，根据中线定理|PF1|2＋|PF2|2＝2(|OP|2＋|OF2|2)，化简得：e2x＝5b2＋c2－a2　②，由①②得：3a2＝2c2，所以离心率e＝＝.故选C. (3)(2022·新课标Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是_13_. 解析　 如图，由于a＝2c，b＝c，故∠AF1F2＝60°，△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，故∠EF1F2＝30°，令椭圆方程为＋＝c2.直线DE的方程为y＝(x＋c)，联立椭圆方程得13x2＋8cx－32c2＝0，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，又|DE|＝|DF1|＋|EF1|＝2a＋e(x1＋x2)＝4c＋×＝6，所以c＝，△ADE的周长为4a＝8c＝13. 训练1　(1)(2025·漳州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，直线y＝kx(k>0)与双曲线C交于P，Q两点，且∠PF1Q＝，·＝4，则当a2＋取得最小值时，双曲线C的离心率为(D) A．3 B. C．2 D. 解析　 不妨设P位于第一象限，双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，F2Q，如图所示：令P(x0，y0)，根据焦半径公式：|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝|QF1|＝ex0－a，·＝4＝(e2x－a2)＝|OP|2－|OF1|2，再根据中线定理得：|QF1|2＋|PF1|2＝2(|OP|2＋|OF1|2)，即所以b2＝c2－a2＝2，所以a2＋＝＋≥2＝2(当且仅当a2＝2时取等号)，所以当a2＋取得最小值时，双曲线C的离心率e＝＝.故选D. (2)(2025·河北模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A，B是椭圆C的长轴顶点，直线x＝m(－a<m<a)与椭圆C交于P，Q两点，记k1，k2分别为直线AP和直线BQ的斜率，则|k1＋4k2|的最小值为(C) A. B. C．2 D．4 解析　不妨设P(m，y0)，Q(m，－y0)，＋＝1，则k1＝，k2＝，k1k2＝＝＝＝1－e2＝，故|k1＋4k2|≥2＝2.当且仅当k1＝4k2时，取等号．故选C. 类型二　椭圆、双曲线的二级结论 (1)焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则： 在椭圆中，S△PF1F2＝b2·tan ； 在双曲线中，S△PF1F2＝. (2)焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆(或双曲线)相交于A，B两点，则＋＝. (3)垂径定理：若椭圆(或双曲线)与直线l交于A，B两点，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)为线段AB的中点，则： 在椭圆中，kAB·kOM＝－； 在双曲线中，kAB·kOM＝. 例2　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(D) A．2 B．4 C．6 D．12 解析　由e＝，得＝，即a＝2c　①.设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)，在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1PF2＝b2tan＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c)　②，又a2＝b2＋c2　③，联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. (2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点．若＝2，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为 －＝1 . 解析　 如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，所以|AB|＝3t，|F1B|＝3t，又＋＝，所以＋＝，即＝，又|F1B|－|F2B|＝2a，所以3t－t＝2a，所以2t＝2a，所以t＝a，所以＝，即3b2＝4a2，又c＝，所以a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为－＝1. 训练2　(1)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当∠F1PF2＝时，S△F1PF2＝4；当线段PF1的中点落到y轴上时，tan∠F1PF2＝，则椭圆的标准方程为(A) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　 当∠F1PF2＝时，由题意知S△F1PF2＝b2tan，即4＝b2tan，所以b2＝12.如图，当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由tan∠F1PF2＝，得＝，即n＝，则m＝c，且n＝＝.所以联立解得所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(B) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线的垂径定理得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1.故选B. (3)已知椭圆C：＋＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝ ，cos∠F1AB＝ － . 解析　因为a＝4，b＝2，由＋＝，所以＋＝，所以|BF2|＝，所以|AB|＝，所以|AF1|＝6，|BF1|＝，所以cos∠F1AB＝＝＝－. (4)设过点P的直线l与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且|BM|＝|BN|，则直线l的方程为 y＝±x＋ . 解析　 设弦MN的中点E的坐标为(m，n)，如图，连接OE，BE.由椭圆的垂径定理与已知条件，有kBE·kPE＝－1，kOE·kPE＝－，于是·＝－1，·＝－.解得m＝±，n＝.于是直线l的方程为y＝±x＋.由于＋2<1，所以E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件．所以直线l的方程为y＝±x＋. 类型三　抛物线的二级结论 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线AB和此抛物线相交于A，B两点(α是直线AB的倾斜角)，准线l的方程为x＝－，设点A(x1，y1)，B(x2，y2). 1．抛物线焦点弦常用结论： (1)x1x2＝； (2)y1y2＝－p2； (3)|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋； (4)|AB|＝x1＋x2＋p； (5)|AB|＝； (6)|AF||BF|＝； (7)＋＝； (8)S△AOB＝； (9)|AF|＝ (当α为锐角时，较长的焦半径)，|BF|＝ (当α为锐角时，较短的焦半径). 2．焦点弦与圆有关的结论： (1)以线段AB为直径的圆与准线相切； (2)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦； (3)已知AB，CD是抛物线E：y2＝2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，则|AB|＋|CD|存在最小值，且最小值为8p. 例3　(1)(2025·全国一卷)(多选题)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(ACD) A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18 解析　 对于A，由抛物线定义知|AD|＝|AF|，故A正确；对于B，过B作BB′⊥l，垂足为B′，由|BB′|＝|BF|，∠BB′E＝∠BFE知△BB′E≌△BFE，即∠B′EB＝∠FEB，同理可知∠AED＝∠AEF，所以∠AEB＝90°，又因为以焦点弦AB为直径的圆与准线相切，故点E在此圆上(即为切点)，AB为直径，AE为弦，所以|AB|>|AE|，故选项B错误；对于C，根据抛物线焦点弦中通径最短，p＝3，则|AB|≥2p＝6，故选项C正确；对于D，因为AE⊥BE，如图，设∠AFx＝θ，由S△AEB＝|AE|·|BE|＝|AB|·|EF|，可得|AE|·|BE|＝|AB|·|EF|＝·＝≥2p2＝18，D正确．故选ACD. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)(多选题)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(AC) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 解析　对于A，因直线y＝－(x－1)经过抛物线C的焦点，且直线与x轴的交点为(1,0)，所以抛物线C的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，即p＝2，所以A正确；对于B，解法一：不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程得解得所以M，N(3，－2)，所以由两点间距离公式可得|MN|＝＝，故B错误；解法二：易知直线y＝－(x－1)的倾斜角为，所以|MN|＝＝，故B错误；对于C，以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C正确；对于D，由B中解法一知M，N(3，－2)，所以由两点间距离公式可得|OM|＝，|ON|＝，又|MN|＝，故D错误．综上，选AC. 训练3　(1)(2025·陕西模拟)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(D) A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2 解析　因为p＝2，所以＋＝＝1，所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立，因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2.故选D. (2)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝8，则△MOF的面积为(A) A．4　 　B．3　 　C．8　 　D．3 解析　解法一：抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，所以y＝8×6＝48，则|y0|＝4，所以S△MOF＝|OF|·|y0|＝×2×4＝4，故选A. 解法二：因为抛物线C：y2＝8x关于x轴对称，所以不妨设点M在x轴上方，直线FM的倾斜角为θ，则|MF|＝＝＝8，所以cos θ＝，因为0<θ<π，所以θ＝，则∠OFM＝，所以S△MOF＝|OF|·|MF|·sin∠OFM＝×2×8×sin＝4，故选A. (3)(2025·襄阳模拟)如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为_13_. 解析　由题设知，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程为y2＝8x，则焦点F(2,0)，由直线PQ过抛物线的焦点，则＋＝＝，圆C2：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，|PM|＋4|QN|＝|PF|－1＋4(|QF|－1)＝|PF|＋4|QF|－5＝2(|PF|＋4|QF|)－5＝2×＋5≥4＋5＝13，当且仅当|PF|＝2|QF|时，等号成立，故|PM|＋4|QN|的最小值为13. 学科网（北京）股份有限公司 $