含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 考点目录 含参单调性讨论问题 含参最值讨论问题 考点一 含参单调性讨论问题 例1.(2026四川成都·二模)已知函数f(x)=2a2lnx-x2(a>0) (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(L,f)处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 例2.(2026黑龙江一模)己知函数f(x=a(x+1)2+x+lnx,(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： ②当-a<0时，求证：52a-六1 函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 例3.(2026山东青岛一模)已知函数f(x)=ax2-lnx (1)讨论(x)的单调性： (2)若存在x1,x2∈1,3,2-x之1，使得fx)=∫x),求a的最大值 例4.(25-26高三上广西贵港·开学考试)设函数fx=ax-lnx-1a∈R. (0若a-子，求八在点(ee)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若gx)=ax-e*,求证：在x>0时，fx)>g(x. 函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 变式1.2526商=下山西太原，月考)已知函数f1到=n,8=r+2x。 (I)求函数h(x=f(x)-gx的单调性； (2)若函数h(x=f(x-gx在1,4]上单调递减，求a的取值范围. 变式2.(24-25高二下·江苏常州·月考)已知函数f(x)=(x-anx-x+a-3(a∈R). (I)讨论函数'(x的单调性： (2)当a=2时，证明：(x有且只有2个零点. 函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 变式3.(24-25高二下·江苏常州月考)已知函数f(x)=(x+1)nx-a(x-1). )讨论函数g)=的单调递塔区间； x+1 (2)当xe1,+0)时，∫(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 变式4.2425商=下广东东尧月考)已知系数到=号-ah-口-x-号 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若∫x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围. 函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 考点二 含参最值讨论问题 例1.(25-26高二上·北京期中)已知函数f(x)=x3-3ax2+4,其中a≥0. (1)若a=1,求函数f(x)的极值点和极值； (2)求函数f(x)在区间[0，+∞)上的最小值. 例2.(25-26高三上陕西威阳期末)已知函数f(y=hx-心+1， e*,aE R (I)当a=2时，求曲线y=f(x在点(1，f1)处的切线方程； (2)若x=1是f(x的极大值点，求a的取值范围； (3)若f(x)在(1,2]上存在最大值g(a,求a的取值范围以及g(a的值域. 5 函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 例3.(24-25高二下江苏连云港期末)己知aeR,函数f(x=ae2x+a-2)e-x. (1)当a=1时，求曲线f(x)在点1，f(1)处的切线方程； (②)讨论函数∫(x)的单调性： (3)当a>0时，求函数f(x)在区间0，上的最小值. 变式1.(24-25高二下·北京·期中)设函数f(x)=x3-3x2. (1)求曲线y=f(x在点1，f(1)处的切线方程； (2)求函数∫(x)的极值； (3)求函数f(x)在区间-a,a(a>0)上的最大值 6 函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 变式2.(2425高二下-四川成都期中)已知函数f(x)=-0-nxa>0). (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间； 1 ②求f()在。e上的最大值为0，求a的值. 变式3.(2425高二下·云南玉溪月考)已知函数fx)=-a-lnx(a∈R). (1)当a=1时，求函数(x)的极值； a球1在[日e] 上的最大值g(a).函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 函数与导数：含参单调性讨论问题、含参最值讨论问题专项训练 考点目录 含参单调性讨论问题 含参最值讨论问题 考点一 含参单调性讨论问题 例1．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 例2．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 例3．（2026·山东青岛·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）由题得，. 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，若存在，，使得， 则必有，由. 所以等价于， 即，化简得：. 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，. 所以当，时等号成立，所以的最大值为. 例4．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）设函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，求证：在时，． 【答案】(1) (2)当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，所以； 则，又； 所以切线方程，即； （2）， 当时，，则在上为减函数； 当时，令，解得； 当时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数； 综上：当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； （3）设， 则； 令，所以在恒成立， 所以在为增函数； 又， 所以存在，使，即（*）； 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 将（*）代入得； 所以在恒成立， 即在时，． 变式1．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由已知，，， 当时，， 令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在，上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减． 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）在上单调递减， 时，恒成立，即恒成立， ，而， ，， ， ，故a的取值范围是． 变式2．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有2个零点． 【答案】(1)时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得的定义域为， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增，即在上单调递增， 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 即时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：当时，， 由（1）知为增函数， 又，， 所以存在，使得，即， 且在上单调递减，在上单调递增， 所以， 显然，所以， 因为， ， 所以在和上各有一个零点， 即时，有且只有2个零点． 变式3．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为和； (2) 【详解】（1）由题，， 则， ①当时，，在上恒成立，则的单调递增区间为， ②当时，在上恒成立， 则的单调递增区间为， ③当时，时，， 时，， 时，， 所以的单调递增区间为和， 综上：当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为和； （2）， 设，则， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，且， ①当时，，又在区间上单调递增， 所以对任意，都有， 所以在区间上单调递增，所以满足条件； ②当时，，， 所以，使得， 所以当时，单调递减， 即当时，，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围为． 变式4．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）由， 得，   函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 考点二 含参最值讨论问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 例2．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 【答案】(1) (2) (3)； . 【详解】（1）， 当时，，， 则， 则曲线在点处的切线方程为； （2）由（1）知，， 令得或， ①若，则， 当时，；当时，；， 则在上恒成立，故在上单调递减， 则在上无极值，不符合题意； ②若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极小值点，不符合题意； ③若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极大值点，符合题意； 综上，的取值范围为； （3）在上存在最大值， 由（2）知，若，则在上单调递减，不存在最大值； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 若，即，则在上单调递增， 则最大值为， 因为在上单调递减，， 所以； 若，即，则在上单调递增，在上单调递减， 则最大值为， 因为在上单调递减， 当时，；当时，， 所以； 综上，的取值范围为，的值域为. 例3．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 变式1．（24-25高二下·北京·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)求函数在区间上的最大值 【答案】(1)； (2)极大值为，极小值为； (3)答案见解析. 【详解】（1）由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线方程，则； （2）由（1）有， 或时，，则在、上单调递增， 时，，则在上单调递减， 所以函数极大值为，极小值为. （3）在区间上，，显然， 若，则，此时的最大值为0； 若，则，此时的最大值为. 变式2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)求在上的最大值为0，求a的值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【详解】（1）函数的定义域为，则．因为，所以， 由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． （2）， 当时，在上，所以函数在上单调递减， 此时，，令，则，不合题意. 当时，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，，令，则. 当时，在上，所以函数在上单调递增，此时，，令，则，不合题意. 综上所述：. 变式3．（24-25高二下·云南玉溪·月考）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）， 当时，，所以函数在上单调递减， 此时，； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，， 所以函数在上单调递增，此时，， 综上所述，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $