广东省广州市培正中学（崇社）2025-2026学年高二上学期数学第4周周测试卷

崇社高二第四周数学周测卷（20250923) 学校： 姓名： 班级： 、 考号： 一、单选题 1.如图，若直线，12，l3的斜率分别为k,k2,k3,则() A.k<k<k B.ky<k<k C.k<k<k D.k<k<k 2.已知直线1的一个方向向量为1=(1，-V3,则直线的倾斜角为(). A. B D. 5π 6 3.已知ā，6，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是() A.a,26,b- B.26,6-2a,B+2a C.3a,a-b,a+2b D.G,a+c,a-c 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳 P 马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,且 P阻=PC,若丽-aAD-6,而-G,则B班=《) 5元 5 B. +15-5 - 444 .a+5+ 5.在四面体O-ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的 中点，若MN=xOA+yOB+zOC,则x+y+=的值为() A月 M B.1 1 C.4 D. 6.如图，在长方体ABCD-ABCD中， AB=BC=3BB=2.D成-号丽，4-C,则异面直线AM和BN夹 D 角的余弦值为() A B A.V6 3 B.g C.5 9 D.2v6 9 D 7.若过点42)，B(m3)的直线的领斜角a的取值范围是〔任到 以 则实 B 数的取值范围是() A.(0,2] B.(0,4) C.(2,4) D.(0,2)U(2,4) 试卷第1页，共4页 8.已知空间向量OA=(1,0,0),OB=(0,1,0),OC=(0,0,1),向量OP=xOA+yOB+z0C, 且x+2y+4:=4,则OP的最小值为() A.23 B.4W21 C.v7 D. √7 3 21 4 3 二、多选题 9.下列说法中正确的是() A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90° C.若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4) D.若直线的倾斜角为a&,则直线的斜率为tanx 10.下列说法正确的是() A.若直线l的一个方向向量与平面a的一个法向量的夹角等于60°，则直线l与平面a所 成的角等于60 B.若{ab,c}为空间的一个基底，则{a+b,a-2b,c可构成空间的另一个基底 C.在空间直角坐标系Oxz中，点A(-4,-3,2)与点B(4,-3,2)关于平面yOz对称 D.在空间直角坐标系Oxyz中，平面ABC的一个法向量=L,-2,2),若点P在平面ABC 外，P=(Q0),则点P到平面ABC的距离为号 11.在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=2,CC,=4,点E在棱AA上，且AE=3EA: 点M为线段BD上的动点（包括端点），则下列结论正确的是() A.当点M为B,D中点时，CM⊥平面BB,DD B.过E点作与直线BD垂直的截面a,且截面a与BB,CC分别交于点P,Q,则平面 ABCD与平面APO所成角的余弦值为 6 C.三棱锥E-BDM的体积是定值 试卷第2页，共4页 D.点M到直线BC距离的最小值为y6 三、填空题 12.若a-122),6-(2-12,且a与6的夹角的余弦值为 ,则= 13.已知空间向量ā=(4，万=L2).若(a-20)/(a+列，则}一 14.如下左图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,BC⊥PB, PA=2,PB=2√2.若AB方向上的单位向量为E,则CP在向量4B方向上的投影向量 为 a b 15.如上右图，两条异面直线amb所成的角为行在直线a,b上分别取点4，B和点4，P 使AA'⊥a,且AA⊥b.己知AE=1,AF=2,EF=3,线段AA的长为一 16.已知A(0,0,-x),B1,V2,2),C(x,V2,2)三点，点M在平面ABC内，点0是平面ABC 外一点，且OM=xOA+2OB+40C,则cos(A西，AC）=一 17.设A(-2,3),B1,2),若点P(x)在线段4B上，则y+1的取值范围是 试卷第3页，共4页 四、解答题 18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形 P ADPO是梯形，PD>QA,PD∥QA,PD⊥平面ABCD,且 AD=20A=2.PD=2 ○ (1)求证：QB∥平面PDC: D (2)求平面PBC与平面PBQ所成角的正弦值： B 19.如图所示正四棱锥 S S-ABCD,S4=SB=SC=SD=2,AB=5,P为侧棱SD上的点， 且S乎=3PD (1)求证：AC⊥SD: A (2)求直线SC与平面ACP所成角的正弦值； ③咖侧楼C上是香布在一点县、使得51/平面4C、若存在，求瓷的值：若不存在，试 说明理由. 试卷第4页，共4页 《崇社高二第四周数学周测卷(20150923)》参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 答案 D D B B B BC BCD 题号 11 答案 AC 3.A【详解】假定向量a,2b,6-共面，则存在不全为0的实数2，u, 使得b-c=a+2b,显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确： 由于2b=(6-2d)+(6+2a,则2b,6-2a,6+2a共面，故B错误： 由于3a=2(a-b)+(a+2b),则3a,a-b,a+2b共面，故c错误： 由于c=(a+)-a-c),则，a+c,a-c共面，故D错误： 4.D【详解】由题意， 匹cc网c和w0亚ā， PB=AB-AP=a-c, 则丽-丽-历--5--a-+6+, 4 5.c【详解】由题=M+W=oi+(西+ac)aA+os-0A)+5oc-a4) =-301+Oi+0c又由题=x0A+OB+z0c,故x+y+=4 4 2 6.B【详解】以D为坐标原点，DADC,DD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 系， ZA D B 则A(3,0,2),M(2,2,0),B(3,3,0),N(2,1,2), D B AM·BW 故异面直线A,M和BN夹角的余弦值为 (-1,2,-2)(-1,-2,27 AM EN V1+4+4×V1+4+49 7.B【详解】当α=时，直线AB的斜率不存在，AB两点横坐标相等，即m=2: 答案第1页，共8页 亿红3时，直线的率存在，则k。号1或。>，解得 当ae5年 -2 0<<2或2<<4；综上所述，实数m的取值范围是(0,4). 8.B【详解】设0D=40A=(4,0,0),OE=20B=(0,2,0), 因为+2y+4=4,则+：=1，则0丽=0i+)0丽+：0元00+0O丽+0C 所以D,E,C,P四点共面，当oP⊥平面DBC时，O有最小值， 由CD=(4,0,-1),，CE=(0,2,-1),若平面DEC的一个法向量i=(a,b,c), m.CD=4a-c=0 则 ,取a=1,则b=2,c=4,所以m=(1,2,4)为平面DEC的一个法向量， mCE 2b-c=0 所以O到平面DEC的距离d= m.0C4√2 网 21 9.BC【详解】对于A,若直线倾斜角大于90°，则直线的斜率存在负值，故A错 由A(1,-3),B(1,3),可知直线AB与x轴垂直，则其倾斜角为90°，故B正确： 对于C,直线倾斜角为45°，则斜率k=1,又过(0,2)，且4-2=1，故C正确： 3-1 直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是tan90°，D错. 10.BCD【详解】选项A:设直线方向向量为m,平面法向量为，夹角为0，线面角p满 足m0=kos60-分则p-30,放A错 选项B:假设向量a+b,a-2,c共面，则存在实数x,y使得a-2b=x(a+b+vc, x=1 而a,b,c不共面，则x=-2,无解，故假设不成立，即向量a+b,a-2b,c不共面， y=0 故{a+b,ā-2b,c}可构成空间的另一个基底，故B对. 选项C:点A(-4,-3,2)关于平面JyOz的对称点坐标为(4，-3,2)，即点A(4,-3,2)与点 B(4,-3,2)关于平面O:对称，故C对. 选项D:已知平面ABC的一个法向量=1，-2,2)，AP=(0,0,1),根据距离公式： 距离d= Ap.月0x1+0×(2)+1×22 园 V12+(-2)2+22 子放D对 答案第2页，共8页 11.AC【详解】建立如图所示的空间直角坐标系D-xz,则有D(0,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0),B(2,2,4),C1(0,2,4),D(0,0,4),E(2,0,3), Z D ) E 4 选项A,当点M为B,D中点时，M(1,1,4),则CM=1,-1,0), 有BB=(0,0,4),DB=(2,2,0), BB,·i=4z=0 设平面BB,DD的法向量为m=(x,y,z),则有 DB·m=2x+2y=0 令x=1,则有y=-1,二=0，即=(1，-1,0)，有CM=m,CM∥m, 故CM⊥平面BB,DD,选项A正确： 选项B,设P(2,2,m),Q(0,2,n),则PE=(0,-2,3-m),QE=(2,-2,3-n),且 BD=(-2,-2,4), 由题意可得PE.BD,=0x(2)+(2(2H3-m4=0,解得m=4, QE.BD=2×(-2)+(←2x←2H3-nk4=0,解得n=3, 即P(2,2,4),Q(0,2,3),则AP=(0,2,4),A9=(-2,2,3), AP.n=2b+4c=0 设平面APg的法向量为i=(a,b,c),则有 AQ.i=-2a+2b+3c=0 令b2,则有a=分c1,即m=2-小， 易知平面ABCD的一个法向量为R=(0,0,1), 答案第3页，共8页 元 则平面ABCD与平面APQ所成角的余弦值为 2W21 21 ,选项 +4+ B错误； 选项C,由于BD/BD,则点M到直线BD的距离为定值，故SBD为定值， 又由长方体性质可得AA∥平面BBDD,故点E到平面BB,DD的距离为定值，设为h, 故三棱锥B-BDM的体积r=}Sh为定值，选项C正确： 3 选项D,BC=(-2,0,4),CD=(0,-2,0),设DM=1DB=(21,21,0),0≤1≤1， 则CM=CD+DM=CD+D,B=(21,21-2,0), 故点M到直线BC,的距离 2 CM·BC /822-82+4 (42)2 2 BC 4+16 5241, 2-22+1-2 故点M到直线BC距离的最小值为？，选项D错误， 12.2或 :【详解】根据空间向量数量积的坐标运算可得 a.b=1×2+x(←1)+2×2=6-1，由向量数量积的定义可知 a.B=ab.cos<a.b> =s-及5g -号5+示则5+云-62化简可得52410824=0 则(126512)0解得A2取后 13.32【详解】根据题意可得a-2b=(-6,y-4,1-2,a+b=(3,y+2,1+z), y=-8 因为-6=2×(-3)，则 y-4=2(y+2) -2z=21+),解得 1,故y=32 24 14.-2E【详解】因为平面PAB⊥平面PBC,平面PABO平面PBC=PB,BCc平面PBC, 答案第4页，共8页 BC⊥PB,可得BC⊥平面PAB, 且ABC平面PAB,则CB⊥AB,又因为PA⊥平面ABC,ABC平面ABC,则PA⊥AB, 故CP在AB方向上的投影向量为BA=-2E. 15.√2或√6/6或2【详解】 b 已知，得ZAA-2x1xcos写-1或面亚-21xco云-写到-1， 3 设AA=d,因为EA.AA=0,AAAF=0,而EF=EA+AA+AF, EF-EA+4A+AF)=EA+AA+AF+2EAAA+244AF+2EAAF 当EA.AF=1时，可得1+d+4+2=9,解得：d=√2： 当EA.AF=-1时，可得1+d2+4-2=9,解得d=√6. 综上可知，即公垂线段AA的长为√2或√6 1605【详解】因为4，BC,M四点共面，Om=0+20丽+40C, 所以x+2x+4=1,则x=-1, 所以A(0,0,1),C(-1,V2,2),则AB=(1V2,1),Ac=（-1,√2,1)， 所以AB·AC=1,2,1(-1,V2,1=2,AE=2,AC=2, 所以cos(B,AC ABAC 1 ABAC 2 17.(~0,-2U3,+∞)【详解】直线的倾斜角与斜率如图，y+1_y- 则原问题可转 xx-0 化为过点C(0,-1)的直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率k的取值范围. 连接AC,BC,则kc 2-日-k3用 1-0 -2-0 三2 当I的倾斜角是锐角时，k>0,随着倾斜角的增大，斜率k由kc=3增大至正无穷； 答案第5页，共8页 当l的倾斜角是钝角时，k<0,随着倾斜角的增大，斜率k由负无穷增大至k4c=-2,所以 k≥3或k≤-2 故答案为：(-∞，-2]U[3,+∞) YA B 18. 【详解】(1) E B 取PD中点E,连接OE,EC, ,AD=2QA=2PD=2,点E为PD中点， .AO=DE=1, 又PD∥QA, ∴.四边形QADE为平行四边形， .OE∥AD,OE=AD, ,ABCD为正方形， .AD∥BC,AD=BC, .QE∥BC,QE=BC, 四边形QEBC为平行四边形， .QB∥EC,又QBI平面PDC,ECC平面PDC, 答案第6页，共8页