精品解析：广东广州市培正中学2025-2026学年高二（崇社）上学期数学阶段学情调研

2025学年崇社高二第一学期数学阶段学情调研 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围. 【详解】作出正切函数在的图象如下图， 如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 2. 已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行求出参数值，然后由平行线间距离公式计算． 【详解】由于两直线平行，所以，， 直线为，即， 所以它们间的距离为． 故选：B． 3. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ） A. 17 B. 37 C. 107 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，从而可求得数列的通项，即可得解． 【详解】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍数，又是7的倍数， 即是21的倍数，且，∴， 即，∴． 故选：C． 4. 已知直三棱柱中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加减法则逆运算得，结合夹角与模长计算即可. 【详解】在直三棱柱中，侧棱与底面垂直，则 ， 故选：A. 5. 如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义结合已知可得直线的倾斜角为45°，进而求出点坐标，再由抛物线定义结合的值求解. 【详解】过作准线的垂线，垂足为，则， 由，得直线的倾斜角为45°． 设，由，得， ．又，，． 故选B. 6. 记等比数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式得到，再由求和公式将代入即可化简求解； 【详解】设的公比为q，则，即，， 因为， 所以，所以， 故选：D. 7. 已知双曲线C：x2-y2=1的右焦点为F，直线l1、l2是双曲线的两渐近线，FH⊥l1，H是垂足．点M在双曲线上，经过M分别与l1、l2平行的直线与l2、l1相交于A、B两点，O是坐标原点，△OFH的面积为S1，四边形OAMB的面积为S2.则S1:S2＝（　　） A. 1:1 B. 1:2 C. 2:3 D. 3:2 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线C的渐近线，设点M(x0，y0)，根据条件求出点A，B的横坐标，再计算出S1，S2即可得解. 【详解】双曲线C：x2-y2=1渐近线方程为y=±x，不妨取l1：y=x，l2：y=-x，即l1⊥l2， 设M(x0，y0)，过M与l1平行的直线方程为：y=x-x0+y0，过M与l2平行的直线方程为：y=-x+x0+y0，如图， 与l2的交点A，由，解得点A横坐标， 与l1的交点为B，由，解得点B横坐标， 则，同理， 则，又，△OHF为等腰直角三角形， 即，则， 所以. 故选：A 8. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据直线与圆相切可构造方程求得点坐标和点坐标，确定，的值，由此可构造方程组求得，进而得到离心率. 【详解】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系， 由题意知：，，，， 则直线，即， 设，则， 点到直线的距离，解得：， ，即； 设直线，即， 点到直线的距离，解得：或， 又直线，，即直线， 令，解得：，即， ，即； 由得：，椭圆离心率. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. （多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用共线定理和共面定理可判断A；考虑共线反向可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； B选项，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾， 所以是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：ACD 10. 已知曲线，则（　　） A. 曲线表示一个圆 B. 点在曲线上 C. 曲线被直线截得的弦长为 D. 曲线与所有平行于轴的直线都有交点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的一般方程可判定A，代入点可判定B，联立直线和曲线方程，求得交点坐标，再利用两点间的距离公式计算可判定C，联立直线和曲线方程求解可判定D. 【详解】对于A，由圆的一般方程可知，圆的方程中无项， 故A错误； 对于B，代入点得， 因此点在曲线上，故B正确； 对于C，联立， 整理得， 因此直线与曲线的交点分别为， 弦长为，故C错误； 对于D，设与轴平行的直线为， 联立， 整理得，， 故正确． 故选： 11. 已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则面积的最小值为 D. 四点共圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线焦半径公式可直接构造方程求得，知A正确；设，与抛物线方程联立可得，由向量数量积的坐标运算可知B错误；由可知C正确；表示出直线方程后，可求得点坐标，进而得到，知，同理可得，由此可知D正确. 【详解】 对于A，由抛物线焦半径公式得：，解得：，A正确； 对于B，由题意知：直线斜率存在，设， 由得：，； 由得：，则， ，B错误； 对于C，若，则，不妨设， 则（当且仅当时取等号），即面积的最小值为，C正确； 对于D，直线的斜率为， 直线的方程为，令得：， 点的横坐标为，即， 则直线的斜率，，， 同理可得：，四点共圆，D正确． 故选：ACD． 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用的问题，本题D选项中，证明四点共圆的基本思路是能够通过说明两条直线斜率乘积为，得到两条直线互相垂直，进而得到四边形对角互补，得到四点共圆. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则向量在向量上投影向量为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算可得答案. 【详解】向量在向量上投影向量为 . 故答案为：. 13. 已知等比数列的前项和为，且，，求______； 【答案】189 【解析】 【分析】由等比数列前项和公式求解， 【详解】由题意得， 故答案为：189. 14. 已知抛物线：的焦点为，点的直线与抛物线交于、两点，且直线与圆交于、两点.若，则直线的斜率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标，抛物线的焦点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解直线的斜率即可. 【详解】由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以，所以.设直线：，代入得，设直线与抛物线的交点坐标为，，则，，则，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出首项及，构造法求出通项公式； （2）求出，从而利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，． 可得， 整理得：， 从而， 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列； 所以， 所以，经检验，满足， 综上，数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，所以，所以， ， 所以 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，. （1）求证：平行四边形为矩形； （2）若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先取中点，连接，根据面面垂直的性质得到面，从而得到，再结合已知条件利用线面垂直的判定得到面，即可得到，即可证明. （2）以为原点，为轴，为，轴建立坐标系，再利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接，如图所示： 因为为正三角形，则. 面面，面面，面，则面. 面，故， 又，，面，，所以面， 面，故，则平行四边形为矩形. 【小问2详解】 如下图所示： 以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设， 则，，，，， 所以，，，， 设面的法向量为，则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，解得. 所以. 设面的法向量为，则， 令，则， 则. 因为平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知圆圆心在轴上，且过点两点. （1）求圆的方程； （2）设点，以线段为直径的圆与圆交于两点，求线段长度的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出圆的方程，利用待定系数法求出方程. （2）求出线段为直径的圆的方程，进而求出直线的方程，再利用圆的弦长公式建立函数关系并求出最小值. 【小问1详解】 依题意，设圆的方程为， 由圆过点，得 ，解得， 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，圆：的圆心，半径，而点， 以PD为直径的圆的方程为：，整理得， 于是直线EF的方程为：， 点D到直线EF的距离为，， ，函数， 则当，即时，，即当时，， 所以线段EF长度的最小值为 18. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，． （1）证明：； （2）点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）0 【解析】 【分析】（1）由平面平面，可证平面，得； （2）建立空间直角坐标系，求二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在中，设，因为， 由余弦定理可知：， 解得，所以，所以． 又因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面． 由平面，所以. 【小问2详解】 连交于点M，连接，，设交于点H． 在中，过P作的平行线交的延长线于N， 由，有，则， 所以点H为线段中点． 在中，因为直线平面，平面平面， 所以直线直线，且直线过点H，所以点E为线段中点． 以点A为坐标原点，分别为轴，轴，过点A垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设． 则，，,，． 因为点E为线段中点，所以， 设平面（平面）的法向量为， 因为，， 由，得， 令，则． 设平面（平面）的法向量为， 因为，， 由，得． 令，则． 所以，所以二面角的余弦值为0. 19. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线，判断直线和椭圆的位置关系； （3）设直线与椭圆相交于两点，若以为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上，求证：平行四边形的面积为定值． 【答案】（1）；（2）答案见详解；（3）证明见详解. 【解析】 【分析】 （1）根据题中条件，由椭圆的性质，列出方程组求解，得出和，即可得出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据其判别式的符号，即可判断直线与椭圆位置关系； （3）将代入椭圆方程，设，，根据为平行四边形，结合韦达定理，求出点坐标，代入椭圆方程，得到，再得出点到直线的距离，推出平行四边形的面积为，计算出结果，即可证明结论成立. 【详解】（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①， 又因为离心率为，所以，从而②， 联立①②，解得，， 所以椭圆为； （2）由消去，整理得， 则， 当时，，解得，此时直线与椭圆有两不同交点，即相交； 当时，，解得，此时直线与椭圆只有一个交点，即相切； 当时，，解得或，此时直线与椭圆没有交点，即相离； 综上，当时，直线与椭圆有两不同交点，即相交； 当时，直线与椭圆只有一个交点，即相切； 当时，直线与椭圆没有交点，即相离； （3）把代入椭圆方程，得， 所以， 设，，则，， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以点坐标为， 又因为点在椭圆上， 所以，即. 因为 . 又点到直线的距离， 所以平行四边形的面积 ， 即平行四边形的面积为定值. 【点睛】思路点睛： 求解圆锥曲线中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与曲线方程，根据韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，表示出面积，再结合题中条件，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年崇社高二第一学期数学阶段学情调研 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A. B. C. D. 或 2. 已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 3. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ） A. 17 B. 37 C. 107 D. 128 4. 已知直三棱柱中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 6. 记等比数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知双曲线C：x2-y2=1的右焦点为F，直线l1、l2是双曲线的两渐近线，FH⊥l1，H是垂足．点M在双曲线上，经过M分别与l1、l2平行的直线与l2、l1相交于A、B两点，O是坐标原点，△OFH的面积为S1，四边形OAMB的面积为S2.则S1:S2＝（　　） A. 1:1 B. 1:2 C. 2:3 D. 3:2 8. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. （多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 10. 已知曲线，则（　　） A. 曲线表示一个圆 B. 点在曲线上 C. 曲线被直线截得的弦长为 D. 曲线与所有平行于轴的直线都有交点 11. 已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则面积的最小值为 D. 四点共圆 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则向量在向量上投影向量为___________． 13. 已知等比数列的前项和为，且，，求______； 14. 已知抛物线：的焦点为，点的直线与抛物线交于、两点，且直线与圆交于、两点.若，则直线的斜率为_________. 四、解答题（共77分） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，. （1）求证：平行四边形为矩形； （2）若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知圆圆心在轴上，且过点两点. （1）求圆的方程； （2）设点，以线段为直径的圆与圆交于两点，求线段长度的最小值. 18. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，． （1）证明：； （2）点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值． 19. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线，判断直线和椭圆的位置关系； （3）设直线与椭圆相交于两点，若以为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上，求证：平行四边形的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $