专题4.2 提公因式法（3大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦“提公因式法”核心知识点，系统梳理公因式的定义及确定方法（系数取最大公因数、字母取相同字母、指数取最低次幂），提公因式法的定义（将多项式化为两个因式乘积）及依据（乘法分配律逆用），分解步骤（找公因式、提公因式、验结果），并涵盖特殊公因式（如与的符号转化），构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型强化公因式确定与直接分解，培优题型突出符号转化、简便运算及代数式求值，压轴题型融入规律探究与综合应用，助力学生通过具体实例发展抽象能力与推理意识。课中辅助教师实施分层教学，课后帮助学生针对性巩固易错点，提升因式分解的准确性与灵活性，培养用数学语言表达数量关系的能力。

专题4.2 提公因式法 第1部分知识点总结 知识点1：公因式的定义及确定方法 1.公因式定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。 2.确定公因式的三步法（系数+字母+指数） 步骤 具体要求 举例（多项式） 定系数 取各项系数的最大公因数 8、-6、12的最大公因数为2 定字母 取各项都含有的相同字母 各项均含字母 定指数 取相同字母的最低次幂 3.特殊公因式确定：若多项式中出现与，可利用恒等变形、、转化为相同因式。 知识点2：提公因式法的定义及依据 1.提公因式法定义：如果一个多项式的各项含有公因式，就把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.理论依据：乘法分配律的逆用，即（为公因式）。 知识点3：用提公因式法因式分解的步骤 1.找公因式：按照“系数→字母→指数”的步骤确定多项式各项的公因式，若首项为负，先提取负号（提取负号后括号内各项变号）。 2.提公因式：将公因式写在括号外，用原多项式的每一项除以公因式，所得结果写在括号内。 3.验结果：①提公因式后括号内多项式的项数与原多项式一致； ②用整式乘法逆推验证，结果与原多项式相同。 4.注意事项：若多项式某一项与公因式完全相同，提取公因式后该项保留1（而非0）；因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止。 【基础必考题型】 【题型1】单项式型公因式的确定 1.核心知识点 公因式的定义；确定公因式的三步法（系数、字母、指数）。 2.解题方法技巧 严格遵循“先定系数最大公因数，再定相同字母，最后定最低次幂”的顺序，避免遗漏字母或误取高次幂；单独数字项的公因式为其最大公因数。 【例题1】.（25-26九年级下·广东汕头·月考）多项式中各项的公因式是______． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【题型2】直接提公因式法分解单项式公因式的多项式 1.核心知识点 提公因式法的定义及步骤；乘法分配律的逆用。 2.解题方法技巧 先确定公因式，再将多项式各项分别除以公因式得到括号内的因式；首项为负时先提负号，括号内各项全部变号；注意提取后含“1”的项不要漏写。 【例题2】.（广东佛山市2025-2026学年下学期九年级供题训练（一）数学（3月））因式分解：_________； 【变式题2-1】.（25-26九年级下·河北石家庄·月考）因式分解：____________． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【题型3】多项式型公因式的确定 1.核心知识点 多项式型公因式的识别；与的恒等变形。 2.解题方法技巧 将多项式整体看成一个字母（整体思想），如把、当作单一因式；遇到与时，先通过变号转化为相同因式，再按三步法确定公因式。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·河北唐山·月考）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广西来宾·期中）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）代数式与的公因式是________． 【题型4】直接提公因式法分解多项式公因式的多项式 1.核心知识点 整体思想的运用；多项式型公因式的提取方法。 2.解题方法技巧 把多项式公因式整体提取，括号内剩余因式通过“原项÷多项式公因式”得到；若提取后括号内仍有公因式，需继续提取，保证分解彻底。 【例题4】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【培优高频题型】 【题型5】变形后提公因式（符号转化类） 1.核心知识点 与的恒等变形；提公因式法的灵活运用。 2.解题方法技巧 先观察多项式中是否存在互为相反数的多项式因式，通过将其转化为相同因式；转化后再提取公因式，注意符号变化对括号内因式的影响。 【例题5】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）因式分解：________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【变式题5-3】.（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6】提公因式法的简便运算应用 1.核心知识点 提公因式法；有理数的混合运算。 2.解题方法技巧 观察算式中各项的公因数（数或式），提取后将剩余部分合并计算；对于指数型算式（如），提取相同底数的最低次幂作为公因式，简化运算。 【例题6】.（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·课前预习）运用提公因式法分解因式，简便计算：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）运用简便方法计算： （1）________； （2）________． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 【题型7】提公因式法求代数式的值（整体代入） 1.核心知识点 提公因式法；整体代入求值思想。 2.解题方法技巧 若无法直接求出字母的值，先对代数式提公因式，转化为已知条件的整体形式；将已知整体值代入变形后的代数式，计算得出结果，避免单独求字母的繁琐过程。 【例题7】.（2026九年级下·广东深圳·专题练习）已知，则________． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求代数式的值． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 【题型8】提公因式法判断三角形的形状 1.核心知识点 提公因式法；三角形的分类（等腰/等边/直角三角形）。 2.解题方法技巧 对已知等式左边提公因式分解因式，将等式转化为“几个因式的乘积=0”的形式；结合三角形三边的非负性，判断因式为0的情况，进而确定三边关系，判断三角形形状。 【例题8】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【变式题8-1】.（25-26八年级上·四川广安·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【变式题8-2】.（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知为的三边，且满足，则是______三角形． 【变式题8-3】.（23-24八年级下·广东佛山·月考）已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【压轴素养题型】 【题型9】探究式题型：提公因式法的规律应用 1.核心知识点 提公因式法；规律探究与归纳推理。 2.解题方法技巧 观察已知因式分解的过程，总结“多次提取公因式”的规律（如提取次公因式，结果为）；根据规律对高次或无限项多项式进行因式分解，结合规律解决求值问题。 【例题9】.（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【变式题9-1】.（24-25八年级上·山西太原·月考）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 【变式题9-3】.（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空 ； 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： ； 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解： 尝试运用：例题把多项式因式分解： ； 请依次解决下列问题： (1)将“观察猜想”，“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容； (2)利用上述方法因式分解：； (3)利用上述方法因式分解：． 【题型10】提公因式法的综合压轴题 1.核心知识点 提公因式法的综合运用；因式分解的彻底性要求。 2.解题方法技巧 对多项式进行多次提公因式（先提单项式公因式，再提多项式公因式），保证分解到每一个因式都不能再分解；结合已知条件进行多步整体代入，注意每一步的符号和运算准确性。 【例题10】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏苏州·期末）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 【变式题10-2】.（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 易错点 1.确定公因式时，漏取系数的最大公因数、相同字母的最低次幂，或忽略多项式型公因式的整体识别。 2.首项为负时，提取负号后未将括号内各项全部变号，导致因式分解结果错误。 3.提取公因式后，漏写括号内的“1”项，或认为某一项与公因式相同时提取后为0。 4.遇到与时，未进行符号转化直接提取，导致无法找到公因式；分解因式后未检查是否分解彻底。 5.运用提公因式法求值时，未对代数式进行彻底变形，直接代入字母值，增加运算量且易出错。 重点 1.掌握公因式的确定方法，能准确识别单项式型和多项式型公因式，熟练进行与的符号转化。 2.熟练运用提公因式法分解因式，遵循“找公因式→提公因式→验结果”的步骤，保证分解彻底、符号正确。 3.掌握提公因式法的应用，能利用提公因式法进行简便运算、求代数式的值，以及解决三角形形状判断、实际生活等问题。 4.理解整体思想在提公因式法中的运用，能将多项式整体当作公因式进行提取，提升因式分解的灵活性。 难点 1.多项式型公因式的识别与提取，尤其是含与的多项式，难以快速进行符号转化和公因式确定。 2.分组提公因式法的分组技巧，无法快速找到合理的分组方式，导致分组后无法继续提取公因式。 3.提公因式法的规律探究与归纳，难以从已知过程中总结规律，并应用规律解决高次、多顶式的因式分解问题。 4.提公因式法的综合运用，在实际情境和跨学科问题中，难以快速建立多项式模型并进行因式分解，实现数学与实际的结合。 5.因式分解的彻底性把控，多次提公因式时易遗漏公因式，导致分解结果不满足“不能再分解”的要求。 【对应练习题】 一、单选题 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 3．利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 二、填空题 5．因式分解：______． 6．因式分解______． 7．已知实数，满足，，则 _______． 8．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 三、解答题 9．因式分解． (1) (2) 10．如图，长方形A的长和宽分别为a，b，长方形B的长和宽分别为，b，面积分别为和． (1)_______，_______．（请用含a，b的代数式表示） (2)试证明． 11．学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 12．小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 13．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 提公因式法 第1部分知识点总结 知识点1：公因式的定义及确定方法 1.公因式定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。 2.确定公因式的三步法（系数+字母+指数） 步骤 具体要求 举例（多项式） 定系数 取各项系数的最大公因数 8、-6、12的最大公因数为2 定字母 取各项都含有的相同字母 各项均含字母 定指数 取相同字母的最低次幂 3.特殊公因式确定：若多项式中出现与，可利用恒等变形、、转化为相同因式。 知识点2：提公因式法的定义及依据 1.提公因式法定义：如果一个多项式的各项含有公因式，就把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.理论依据：乘法分配律的逆用，即（为公因式）。 知识点3：用提公因式法因式分解的步骤 1.找公因式：按照“系数→字母→指数”的步骤确定多项式各项的公因式，若首项为负，先提取负号（提取负号后括号内各项变号）。 2.提公因式：将公因式写在括号外，用原多项式的每一项除以公因式，所得结果写在括号内。 3.验结果：①提公因式后括号内多项式的项数与原多项式一致； ②用整式乘法逆推验证，结果与原多项式相同。 4.注意事项：若多项式某一项与公因式完全相同，提取公因式后该项保留1（而非0）；因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止。 【基础必考题型】 【题型1】单项式型公因式的确定 1.核心知识点 公因式的定义；确定公因式的三步法（系数、字母、指数）。 2.解题方法技巧 严格遵循“先定系数最大公因数，再定相同字母，最后定最低次幂”的顺序，避免遗漏字母或误取高次幂；单独数字项的公因式为其最大公因数。 【例题1】.（25-26九年级下·广东汕头·月考）多项式中各项的公因式是______． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，分别确定公因式的系数与字母部分，即可得到结果． 【详解】解：多项式的两项分别为，， 确定公因式时，系数取各项系数的最大公约数，两项系数均为，故系数部分为， 字母取各项都含有的相同字母，且相同字母取最低次幂，两项都含有字母，的次数分别为和，最低次幂为，第二项不含字母， 因此各项的公因式为． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【答案】 【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可． 【详解】解：（1）多项式中各项的公因式是； （2）多项式中各项的公因式是； （3）多项式中各项的公因式是． 【题型2】直接提公因式法分解单项式公因式的多项式 1.核心知识点 提公因式法的定义及步骤；乘法分配律的逆用。 2.解题方法技巧 先确定公因式，再将多项式各项分别除以公因式得到括号内的因式；首项为负时先提负号，括号内各项全部变号；注意提取后含“1”的项不要漏写。 【例题2】.（广东佛山市2025-2026学年下学期九年级供题训练（一）数学（3月））因式分解：_________； 【答案】 【详解】解： ． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·河北石家庄·月考）因式分解：____________． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解：． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解：． 【答案】 【分析】直接提公因式分解因式． 【详解】解：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【题型3】多项式型公因式的确定 1.核心知识点 多项式型公因式的识别；与的恒等变形。 2.解题方法技巧 将多项式整体看成一个字母（整体思想），如把、当作单一因式；遇到与时，先通过变号转化为相同因式，再按三步法确定公因式。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 【变式题3-1】.（25-26八年级上·河北唐山·月考）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 通过观察表达式，发现与相等，因此两项均含有公因式． 【详解】解：， ∴ 原式． ∵ 两项都含有因式， ∴ 公因式是． 故选：C． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广西来宾·期中）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式求解，准确的计算是解决本题的关键． 通过因式分解发现其含有因式，且能整除自身，则可判断． 【详解】解：∵，且， ∴是公因式． 故选D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）代数式与的公因式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，解题的关键是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．分别对两个多项式进行因式分解，然后找出它们的公因式，第一个多项式提取公因式后应用平方差公式，第二个多项式提取公因式后应用完全平方公式，最后比较公因式即可解答． 【详解】对于多项式，提取公因式得，再应用平方差公式得 ， 对于多项式，提取公因式得，再应用完全平方公式得， 代数式与的最大公因式为， 故答案为：． 【题型4】直接提公因式法分解多项式公因式的多项式 1.核心知识点 整体思想的运用；多项式型公因式的提取方法。 2.解题方法技巧 把多项式公因式整体提取，括号内剩余因式通过“原项÷多项式公因式”得到；若提取后括号内仍有公因式，需继续提取，保证分解彻底。 【例题4】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握观察多项式的公因式，提取公因式后合并括号内的项是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后整理； （2）找出两项的公因式，提取公因式后化简； （3）确定公因式，提取公因式后合并括号内的同类项． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【培优高频题型】 【题型5】变形后提公因式（符号转化类） 1.核心知识点 与的恒等变形；提公因式法的灵活运用。 2.解题方法技巧 先观察多项式中是否存在互为相反数的多项式因式，通过将其转化为相同因式；转化后再提取公因式，注意符号变化对括号内因式的影响。 【例题5】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，先将式子中互为相反数的因式转化为相同形式，确定公因式，再利用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【答案】 【分析】整理后提取公因式即可． 【详解】解： ． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握先变形构造公因式，再提取公因式化简多项式是解题的关键． （1）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式； （2）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式； （3）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式题5-3】.（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提公因式即可得到结果； （2）原式直接提公因式即可得到结果； （3）原式直接提公因式即可得到结果； （4）原式直接提公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 【题型6】提公因式法的简便运算应用 1.核心知识点 提公因式法；有理数的混合运算。 2.解题方法技巧 观察算式中各项的公因数（数或式），提取后将剩余部分合并计算；对于指数型算式（如），提取相同底数的最低次幂作为公因式，简化运算。 【例题6】.（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对分子、分母提取公因式分解因式，最后约分． 【详解】解： ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·课前预习）运用提公因式法分解因式，简便计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，原式先提取公因式9，再进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）运用简便方法计算： （1）________； （2）________． 【答案】 9400 2000 【分析】此题主要考查利用因式分解简化比较复杂的计算，此题分别利用了提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式，通过分解因式可以大大简化计算过程，平时应该多训练这方面的问题． （1）利用平方差公式分解因式即可简化计算，从而求出结果； （2）先提公因式80，然后利用完全平方公式分解因式即可求出结果． 【详解】解：（1） ； （2）      ； 故答案为：9400；2000． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 【答案】(1)260 (2)2009 【分析】本题主要考查了运用提取公因式法分解因式、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用提取公因式是解题的关键． （1）先把39分解成，然后提取公因式13，再进行计算求值即可； （2）先提取公因式，然后再运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型7】提公因式法求代数式的值（整体代入） 1.核心知识点 提公因式法；整体代入求值思想。 2.解题方法技巧 若无法直接求出字母的值，先对代数式提公因式，转化为已知条件的整体形式；将已知整体值代入变形后的代数式，计算得出结果，避免单独求字母的繁琐过程。 【例题7】.（2026九年级下·广东深圳·专题练习）已知，则________． 【答案】4 【分析】先对所求多项式用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：对提取公因式，得． 将，代入上式，得． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解和整体代入求值的知识点，掌握先因式分解再整体代入的方法，可避免解复杂的二元一次方程组，简化计算过程． 先对代数式提取公因式进行因式分解，再将括号内的式子化简，最后利用已知条件和整体代入求值． 【详解】解：原式 ． ，， 原式． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 【答案】(1) (2)23 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）把原式化为，将，代入计算即可； （2）把原式变形为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵， ∴． 【题型8】提公因式法判断三角形的形状 1.核心知识点 提公因式法；三角形的分类（等腰/等边/直角三角形）。 2.解题方法技巧 对已知等式左边提公因式分解因式，将等式转化为“几个因式的乘积=0”的形式；结合三角形三边的非负性，判断因式为0的情况，进而确定三边关系，判断三角形形状。 【例题8】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形形状的判定，因式分解，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 通过因式分解关系式，讨论可能情况，结合三角形三边关系排除不可能情形，最终确定三角形形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴若，则，为等腰三角形； 若，则，不符合三角形三边关系，舍去； 综上，三角形为等腰三角形， 故选：C． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·四川广安·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 【变式题8-2】.（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知为的三边，且满足，则是______三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解，得出或，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴或， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【变式题8-3】.（23-24八年级下·广东佛山·月考）已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】将已知式子因式分解为，得到，则有，即可判断三角形的形状． 本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】， ∵a，b，c为三边 ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 故选：C． 【压轴素养题型】 【题型9】探究式题型：提公因式法的规律应用 1.核心知识点 提公因式法；规律探究与归纳推理。 2.解题方法技巧 观察已知因式分解的过程，总结“多次提取公因式”的规律（如提取次公因式，结果为）；根据规律对高次或无限项多项式进行因式分解，结合规律解决求值问题。 【例题9】.（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案； （2）根据因式分解的结果可直接得出答案； （3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可． 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解， 结果是； （3）解： … ． 【变式题9-1】.（24-25八年级上·山西太原·月考）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究、分解因式，理解题意是解题的关键． （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为，理由如下： 等式左边 等式右边， ∴． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知等式得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知式子得出变化规律即可； （2）根据完全平方公式和提公因式法对式子变形即可得证； （3）根据提公因式法对式子变形即可得证． 【详解】（1）解：观察可知：； （2）证明： ， 十位数字是，个位数字是的两位数的平方是； （3）证明： ， 是至的整数， 是整数， 是的倍数． 【变式题9-3】.（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空 ； 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： ； 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解： 尝试运用：例题把多项式因式分解： ； 请依次解决下列问题： (1)将“观察猜想”，“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容； (2)利用上述方法因式分解：； (3)利用上述方法因式分解：． 【答案】(1)①，②（①、②两处内容可以互换），③，④，⑤，⑥（⑤、⑥两处内容可以互换） (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解、整式的乘法与图形面积，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）观察猜想：根据三个小长方形和一个小正方形的面积之和等于大长方形的面积即可得①和②；说理验证：根据提取公因式的方法分解因式即可得③④⑤⑥； （2）将改写成，参考“说理验证”的方法分解因式即可得； （3）将改写成，参考“说理验证”的方法分解因式即可得． 【详解】（1）解：观察猜想：∵三个小长方形和一个小正方形的面积之和等于大长方形的面积， ∴， 说理验证： ， 故答案为：①，②（①、②两处内容可以互换），③，④，⑤，⑥（⑤、⑥两处内容可以互换）． （2）解： ． （3）解： ． 【题型10】提公因式法的综合压轴题 1.核心知识点 提公因式法的综合运用；因式分解的彻底性要求。 2.解题方法技巧 对多项式进行多次提公因式（先提单项式公因式，再提多项式公因式），保证分解到每一个因式都不能再分解；结合已知条件进行多步整体代入，注意每一步的符号和运算准确性。 【例题10】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 【答案】(1)①② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数求值，求一个数的立方根，因式分解等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）①代数求值即可； ②表示出，代入求值即可； （2）原式进行相减，因式分解整理，然后进行分析即可． 【详解】（1）解：①将，代入得， 解得； ②将代入和得， ，， ∴，， ∵，均为正数， ∴， 解得， ∴ ∴； （2）解： 由得，， 将代入上式得，， ∴ ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏苏州·期末）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据十进制数表示方法列出代数式即可； （2）根据（1）列出代数式，变形后，得出一定能被9整除． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴ ∴一定能被9整除． 【变式题10-2】.（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 【答案】（1）①②（2）29 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思想是解题的关键； （1）①对两边同时平方求解即可；②对两边同时平方，可得 ，再对其两边同时平方求解即可； （2）由立方差公式可得，由完全平方公式可得，进而可得，则，对两边同时平方可得，再由求解即可． 【详解】解：（1）解：①，， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 易错点 1.确定公因式时，漏取系数的最大公因数、相同字母的最低次幂，或忽略多项式型公因式的整体识别。 2.首项为负时，提取负号后未将括号内各项全部变号，导致因式分解结果错误。 3.提取公因式后，漏写括号内的“1”项，或认为某一项与公因式相同时提取后为0。 4.遇到与时，未进行符号转化直接提取，导致无法找到公因式；分解因式后未检查是否分解彻底。 5.运用提公因式法求值时，未对代数式进行彻底变形，直接代入字母值，增加运算量且易出错。 重点 1.掌握公因式的确定方法，能准确识别单项式型和多项式型公因式，熟练进行与的符号转化。 2.熟练运用提公因式法分解因式，遵循“找公因式→提公因式→验结果”的步骤，保证分解彻底、符号正确。 3.掌握提公因式法的应用，能利用提公因式法进行简便运算、求代数式的值，以及解决三角形形状判断、实际生活等问题。 4.理解整体思想在提公因式法中的运用，能将多项式整体当作公因式进行提取，提升因式分解的灵活性。 难点 1.多项式型公因式的识别与提取，尤其是含与的多项式，难以快速进行符号转化和公因式确定。 2.分组提公因式法的分组技巧，无法快速找到合理的分组方式，导致分组后无法继续提取公因式。 3.提公因式法的规律探究与归纳，难以从已知过程中总结规律，并应用规律解决高次、多顶式的因式分解问题。 4.提公因式法的综合运用，在实际情境和跨学科问题中，难以快速建立多项式模型并进行因式分解，实现数学与实际的结合。 5.因式分解的彻底性把控，多次提公因式时易遗漏公因式，导致分解结果不满足“不能再分解”的要求。 【对应练习题】 一、单选题 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 2．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 3．利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 二、填空题 5．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，准确找出多项式的公因式即可求解． 【详解】解： ． 6．因式分解______． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可完成分解． 【详解】解：． 7．已知实数，满足，，则 _______． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， 将，代入，得原式． 8．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形体积的割补是解题的关键． 图②图形的体积有两种计算方法：（1）三个长方体体积相加；（2）大正方体体积减去小正方体体积，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图②分成三个长方体， 可得体积为 ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．因式分解． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可因式分解； （2）将化为，再提公因式，即可因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 10．如图，长方形A的长和宽分别为a，b，长方形B的长和宽分别为，b，面积分别为和． (1)_______，_______．（请用含a，b的代数式表示） (2)试证明． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确表示出和是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求可得，可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，；； （2）证明：， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 12．小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的运算，代数式求值，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据题意可得，据此可得a、b的值； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （3）利用提公因式法分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵， ∴ 13．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 【答案】(1)提公因式法 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）通过观察每一步提取公因式的操作，判断使用的方法即可； （2）列举第一次、第二次的提取公因式结果，根据规律写出第n次提取公因式的结果即可； （3）先提取公因式，再根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ∴需应用提公因式法n次； （3）解： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $