浙江省杭州市西湖区上泗中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区上泗中学八年级（上）月考数学 试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2.在下列长度的四根木棒中，能与5cm、1cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A.4cm B.5cm C.14cm D.16cm 3.在中，若，，则为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 4.对于命题“如果，那么.”能说明它是假命题的反例是（ ） A. B.， C.， D.， 5.如图，已知，，下列添加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6.如图，在中，，，是边AC上两点，，BD平分，下列说法中不正确的是（ ） A.BE是的中线 B.BD是的角平分线 C. D.BC是的高 7.如图，AD，BE，CF是的三条中线，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为（ ） A.15 B.14 C.12 D.10 8.如图，已知为BC上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9.如图，BF是的平分线，CE是的平分线，BF与CE交于，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10.如图，在中，和的平分线AE，BF相交于点，AE交BC于，BF交AC于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则.其中正确的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11.有一个命题“如果，那么”，该命题是______（填“真”或“假”）命题. 12.已知：如图，，只需补充条件______，就可以根据“SAS”得到. 13.如图，BD平分，于点，，，则的面积为______. 14.如图.在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线MN交AB于点，连结CD，若，，则的周长为______. 15.已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以OP为边作，则的度数为______. 16.已知：如图，在和中，，，，连接CD，，，三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下五个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 其中正确的结论是______（填序号）. 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题6分）如图，小河CD边有两个村庄村、村，现要在河边建一自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置.（保留作图痕迹，不写作法） 18.（本小题6分）如图，AB与CD交于点，点是线段AB的中点，，连接AC、BD. 求证：. 19.（本小题6分）如图，在中，AD是BC边上的高线，AE平分，若，求的度数. 20.（本小题8分）如图，在中，是BC边上的一点，是AD的中点，，且.求证：是BC的中点. 21.（本小题8分）如图所示，已知，于. （1）求证：； （2）已知，，求AF的长. 22.（本小题10分）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接BD. （1）求证：； （2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明. 23.（本小题10分）通过对数学模型“字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： ［模型呈现］如图1，，，过点作于点，过点作于点. 求证：. ［模型应用］如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______. ［深入探究］如图3，，，，连接BC，DE，且于点，DE与直线AF交于点.若，，则的面积为______. 24.（本小题12分）已知：OP平分，的顶点在射线OP上，射线CD交射线OA于，射线CE交射线OB于G. （1）如图①，若，，请直接写出线段CF与CG的数量关系：______； （2）如图②，若，，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明； （3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件. 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形. 故选：C. 根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.据此解答即可. 本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 2.【答案】B 【解析】解：设第三边的长为， 则，即， ∴四根木棒中，长度为5cm的木棒，能与、长的两根木棒钉成一个三角形， 故选：B. 根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可. 本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键. 3.【答案】A 【解析】解：，， ， 故是锐角三角形， 故选：A. 根据三角形的内角和定理得出，进而解答即可. 此题考查三角形的内角和定理，关键是根据三角形的内角和定理得出解答. 4.【答案】A 【解析】解：、满足，但不满足，满足题意； B、，满足命题“如果，那么.”，不符合题意； C、，不满足命题“如果，那么.”，不符合题意； D、，不满足命题“如果，那么.”，不符合题意； 故选：A. 能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可. 考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键. 5.【答案】A 【解析】解：， ， 即， 在与中， ， 在与中， ， 在与中， ， 故B、C、D选项正确符合题意，A选项B不符合题意， 故选：A. 根据全等三角形的判定定理即可得到结论. 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键. 6.【答案】C 【解析】解：A、， 是的中线，故本选项说法正确，不符合题意； B、平分， 是的角平分线，故本选项说法正确，不符合题意； C、，但、与的关系不确定， 故本选项说法错误，符合题意； D、， 是的高，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C. 根据角平分线、中线和高的概念判断即可. 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键. 7.【答案】D 【解析】解：，BE，CF是的三条中线，交于点， ，，， ， 故选：D. 由三角形的中线得，，，即可得出结论. 本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键. 8.【答案】B 【解析】解：，， ，， 是的外角，， 故选：B. 先根据，出，再由三角形外角的性质即可得出结论. 本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键. 9.【答案】B 【解析】解：连接BC. ，， ，， 是的平分线，CE是的平分线， ， ，. 故选：B. 根据三角形内角和定理可求得的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得的度数，从而不难求得的度数. 本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键. 10.【答案】C 【解析】解：和的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故①正确； ，， ，BF分别是与的平分线， ， ，，， 如图，在AB上取一点，使，连接OH， 是的平分线，， 在和中， ，， ，， ， 在和中， ，， ，， 故②正确； 作于，于， 和的平分线相交于点， ∴点在的平分线上，， ， ， 故③正确. 故选：C. 由角平分线的定义结合三角形的内角和可求解与的关系，进而判定①； 在AB上取一点，使，证得，得到， 再证得，得到，进而判定②正确； 作于，于，根据三角形的面积可证得③正确. 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键. 11.【答案】真 【解析】解：命题“如果，那么”，是真命题， 故答案为：真. 根据真假命题的定义、实数的平方判断即可. 本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理. 12.【答案】 【解析】【分析】 此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.根据SAS的判定方法可得出答案. 【解答】解：补充条件 理由：在和中， ，， 故答案为：. 13.【答案】16 【解析】解：过作于， 平分，于点， ， 的面积. 故答案为：16. 由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积. 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出. 14.【答案】9 【解析】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线， ， 的周长为. 故答案为：9. 由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，可得， 则的周长为，即可得出答案. 本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键. 15.【答案】或 【解析】解：由作法得OP平分， ， 当OC在内部时， ； 当在内部时， ； 综上所述，的度数为或. 故答案为或. 利用作法得OP平分，则， 讨论：当OC在内部时，； 当在内部时，. 本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作. 16.【答案】①③④ 【解析】解：①， ， 即：， 在和中， ，， ，故结论①正确； ②中，， ，故结论②错误； ③由①可知：，， ，， ，， ， ， ， ，故结论③正确； ④， 又， ， ，故结论④正确； ⑤不一定是的平分线，与相等， 与不一定相等，故⑤错误， 故答案为：①③④. 由“SAS”可证，可得，故结论①正确； 由三角形三边关系可得，故结论②错误； 由全等三角形的性质可得，由角的数量关系可证，故结论③正确； 由周角的性质可求，故结论④正确； 由BD不一定是的平分线，可证与不一定相等，故⑤错误，即可求解. 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键. 17.【答案】解：如图所示：点即为所求. 【解析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线CD的对称点，再连接交CD于点，即可得出答案. 此题主要考查了应用设计与作图以及轴对称求最短路径，得出点对称点是解题关键. 18.【答案】证明：∵点是线段AB的中点，， 在和中， ，. 【解析】先利用线段中点定义得到，然后根据“ASA”判断 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件. 19.【答案】解：在中，， ，， 是BC边上的高线，， ， 平分，， . 【解析】先根据各角的比求出，，的度数，再利用求出的度数，利用AE平分求出的度数，利用解答即可. 本题考查了三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，角平分线的定义是解题的关键. 20.【答案】证明：，， 是AD的中点，， 在与中， ，， ， 又，， 是BC的中点. 【解析】根据AAS证明可推出结论. 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键. 21.【答案】（1）证明：， ， 又，，； （2）解：，， ，， ，. 【解析】（1）由，得出，再利用三角形内角和即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，即可得出，进而解决问题. 此题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质是解决问题的关键. 22.【答案】（1）证明：， ， 即， 在和中 ，. （2）BD、CE特殊位置关系为. 证明如下：由（1）知，. ，， . 即. 、CE特殊位置关系为. 【解析】要证（1），现有，，需它们的夹角，而由很易证得. （2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系. 要证，需证，需证可由直角三角形提供. 本题考查了全等三角形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键. 23.【答案】50 63 【解析】［模型呈现］证明：，， ，， ，， ， 在和中， ，， ； ［模型应用］解：由［模型呈现］可知，，， ，，，， 则 ， 故答案为：50； ［深入探究］过点作于，过点作交AG的延长线于， 由［模型呈现］可知，，， ，，，， 在和中， ，， ，，， ，， ， 故答案为：63. ［模型呈现］证明，根据全等三角形的对应边相等得到； ［模型应用］根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； ［深入探究］过点作于，过点作交AG的延长线于， 根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出AG，根据三角形的面积公式计算即可. 本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键. 24.【答案】（1） （2），如图②中，作于，于. 平分，，， ，， ， ，， ， 在和中， ，，. （3） 【解析】解：（1）结论. 理由：如图①中， 平分，，， . （2）结论：. 理由：如图②中，作于，于. 平分，，， ，， ， ， ，， 在和中， ，，. （3）当时，在（2）中得到的结论仍然成立. 理由：如图②中，作于，于. 平分，，， ， ，， ，， 在和中， ，，. （1）结论，由角平分线性质定理即可判断. （2）结论：，如图②中，作于，于， 只要证明即可解决问题. （3）当时，在（2）中得到的结论仍然成立， 如图②中，作于，于，证明方法类似（2）. 本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型. 学科网（北京）股份有限公司 $