精品解析：浙江省杭州市西湖区弘益中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区弘益中学八年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图为以科学家名字命名的图形，其中轴对称图形有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 【详解】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. x轴 B. y轴 C. 第一象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征．根据x轴上的所有点的纵坐标为0，确定点A的位置即可． 【详解】解：∵点， ∴点A在x轴的负半轴上， 故选：A． 3. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“大小小大中间取”和不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集． 【详解】解：该数轴表示的不等式的解集为1＜x＜2． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线，解题关键是掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法． 4. 若三角形的两边长分别为，，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围：第三边的范围为大于两边差且小于两边和． 【详解】解：设第三边为x， 则6-2＜x＜6+2， 故4＜x＜8， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和． 5. 下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，掌握勾股定理逆定理、三角形内角和是是解题的关键．根据三角形内角和定理可判断选项A、B是否是直角三角形：根据勾股定理逆定理可判断选项C、D是否是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴是锐角三角形， 故A符合题意： ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ，符合勾股定理逆定理． ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 6 若4≤x≤6，则( ) A. 2x－1>8 B. 2x+1≥9 C. x+5≤9 D. 3－x>－2 【答案】B 【解析】 【分析】依据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：若4≤x≤6，则8≤2x≤12， 7≤2x-1≤11，故A选项错误； 9≤2x+1≤13，故B选项正确； 9≤x+5≤11，故C选项错误； 则-6≤-x≤-4，则-3≤3-x≤-1，故D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式的性质，并能依据性质对不等式正确变形是解题关键． 7. 在中，线段，分别是高线，中线和角平分线，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可判断．本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：∵是边上高线， ∴根据垂线段最短可知：， 故选：A． 8. 已知命题“关于x的不等式组的解集为无解”，说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组无解得出k的取值范围，进而解答即可． 此题考查命题问题，关键是根据不等式组无解得出k的取值范围． 【详解】解：解不等式 可得：， ∵关于x的不等式无解， 所以：， 解得：， 故这个命题是假命题的反例是， 故选：A． 9. 如图是测量一颗玻璃球体积的过程： (1)将的水倒进一个容量为的杯子中； (2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； (3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在() A. 以上，以下 B. 以上，以下 C. 以上，以下 D. 以上，以下 【答案】C 【解析】 【分析】设玻璃球的体积为，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设玻璃球的体积为，根据题意可得 不等式组， 解得， 即一颗玻璃球的体积在以上，以下． 10. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E．下列结论正确的有（ ） ①； ②的度数随着点C位置的变化而改变； ③点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是； ④当点C的坐标为时，四边形的面积S与m的函数关系式为． A. ③④ B. ①③④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质及勾股定理的运用，本题中求证是解题的关键． ①易证，即可证明，即可解题； ②根据（1）容易得到，可得，可得度数不会随着点C位置的变化而改变：即可证明该结论错误； ③根据，根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半可以得到，从而利用勾股定理得到E的坐标是固定的． ④过点B作轴于F，过点D作轴于H，根据，可得四边形的面积，即可解题． 【详解】解：①∵是等边三角形， ， 又∵是等边三角形， ， ， 即， 在和中，， ；①正确； ②∵， ， 又， ， 的度数不会随着点C位置的变化而改变；②错误； ③， ， ， ， ∴， ∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为；③正确： ④∵，点C的坐标为， ∴，， 过点B作轴于F，过点D作轴于H， ∵是等边三角形，， ∴， ∴，， ， ∴， ∴四边形的面积 ，故④错误； 综上，正确的有①③两个； 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 根据“x的4倍与5的差小于8”列出的不等式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．x的4倍与5的差，表示为，再根据小于8，从而可得出不等式． 【详解】解：“x的4倍与5的差小于8”列出的不等式是． 故答案为：． 12. 在中，，，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据直角三角形角的性质直接得到答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了直角三角形角的性质：所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键． 13. 一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度h（米）随飞行时间t（秒）的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在0～5秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为__________米． 【答案】8 【解析】 【分析】根据函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即可得出答案． 【详解】解：观察图象，当时，最高点， 当或时，最低点， ∴最高高度与最低高度的差为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度，最低高度是解题的关键． 14. 已知等腰，的相邻外角为，则这个三角形的顶角为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分为顶角和底角两种情况，再结合三角形内角和定理可求得顶角． 【详解】∵的相邻外角是， ∴， 当为顶角时，则顶角为， 当为底角时，则顶角为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 15. 如图，以点为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过四点，它们依次是，，，，则______（填或“>”、“=”或“<”） 【答案】＝ 【解析】 【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系． 【详解】解：连接BC， ∵B（1，2），C（2，4），D（5，3），E（5，1）， ∴AE＝DE＝2， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝45°， 又∵AB＝， 同理可得BC＝， AC＝， 则在△ABC中，有AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∴∠BAC＝∠DAE， 故答案为：＝． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形． 16. 如图，已知等边的边长为4，点P是边BC上一点，，则_________，若点Q是边AC上一点，，则_________． 【答案】 ①. ②. 3或1 【解析】 【分析】连接AP，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD=CD=BC=×4=2，∠BAD=30°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：连接，过作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 过作于， 当在线段之间时，连接， ， ， ， ， 当在线段之间时， 同理可求， ， 综上：或1， 故答案为：，3或1． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______； （2）在平面直角坐标系中画出，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是关于y轴对称的点的坐标，三角形的面积，熟知关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． （1）根据关于y轴对称点的坐标特点解答即可； （2）在坐标系内描出各点，再利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵．点D与点C关于y轴对称， ∴点D的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 如图，即为所求作： ∴ ． 18. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； 【小问2详解】 解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 19. 已知． （1）比较与的大小，并说明理由； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质判断即可． 【小问1详解】 解：，理由： ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，已知点，m是任意实数． （1）当时，点P在第几象限？ （2）当点P在第三象限时，求m的取值范围． （3）判断命题“点P不可能在第一象限”的真假，并说明理由． 【答案】（1），点P在第二象限； （2）＜m＜3； （3）真命题，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求得点P坐标即可得出所在的象限； （2）根据第三象限的点（x，y）满足x＜0，y＜0列出关于m的不等式组，解之即可求解； （3）分点P的横坐标大于0、横坐标等于0和横坐标小于0求解判断即可． 【小问1详解】 解：当m=0时，点P坐标为（－3，5）， ∴点P在第二象限； 【小问2详解】 解：∵点P在第三象限， ∴， 解得：＜m＜3； 【小问3详解】 解：“点P不可能在第一象限”是真命题，理由为： 当m－3＞0时，m＞3， ∴－2m＜－6，即5－2m＜－1＜0， ∴点P在第四象限； 当m－3=0时，m=3， ∴5－2m=－1，即点P坐标为（0，－1）， ∴点P在y轴的负半轴； 当m－3＜0时，m＜3，即－2m＞－6， ∴5－2m＞－1， ∴点P在第二象限或第三象限， 综上，点P不可能在第一象限，是真命题． 【点睛】本题考查点所在的象限、解一元一次不等式（组），熟记象限内点的坐标的符号特点是解答的关键． 21. 等腰三角形中，于点D，， （1）求的度数； （2）如图2，垂直平分，交于点F，连接，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质,三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设，则，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ； 【小问2详解】 证明：连接， ∵垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元． （1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据学校实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80；（2）30个． 【解析】 【分析】（1）设一个足球、一个篮球分别为x、y元，就有3x+2y=310和2x+5y=500，由这两个方程构成方程组求出其解即可； （2）设最多买篮球m个，则买足球（96-m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过5720元建立不等式求出其解即可． 【详解】（1）解：设一个足球、一个篮球分别为x、y元，根据题意得 ，解得， ∴一个足球50元、一个篮球80元； （2）设买篮球m个，则买足球（96-m）个，根据题意得 80m+50(96-m)≤5720，解得x≤， ∵m为整数，∴m最大取30 ∴最多可以买30个篮球 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，应熟练掌握列方程解应用题以及列不等式解应用题的步骤. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年浙江省杭州市西湖区弘益中学八年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图为以科学家名字命名的图形，其中轴对称图形有（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. x轴 B. y轴 C. 第一象限 D. 第四象限 3. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的两边长分别为，，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判定为直角三角形是（ ） A. B. C. D. 6. 若4≤x≤6，则( ) A. 2x－1>8 B. 2x+1≥9 C. x+5≤9 D. 3－x>－2 7. 在中，线段，分别是高线，中线和角平分线，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知命题“关于x的不等式组的解集为无解”，说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是测量一颗玻璃球体积的过程： (1)将水倒进一个容量为的杯子中； (2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； (3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球体积在() A. 以上，以下 B. 以上，以下 C. 以上，以下 D. 以上，以下 10. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E．下列结论正确的有（ ） ①； ②的度数随着点C位置的变化而改变； ③点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是； ④当点C的坐标为时，四边形的面积S与m的函数关系式为． A ③④ B. ①③④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 根据“x的4倍与5的差小于8”列出的不等式是______． 12. 在中，，，，则________． 13. 一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度h（米）随飞行时间t（秒）的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在0～5秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为__________米． 14. 已知等腰，的相邻外角为，则这个三角形的顶角为________． 15. 如图，以点为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过四点，它们依次是，，，，则______（填或“>”、“=”或“<”） 16. 如图，已知等边的边长为4，点P是边BC上一点，，则_________，若点Q是边AC上一点，，则_________． 三、解答题：本题共6小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______； （2）在平面直角坐标系中画出，求的面积． 18. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 19. 已知． （1）比较与大小，并说明理由； （2）若，求a的取值范围． 20. 在平面直角坐标系中，已知点，m是任意实数． （1）当时，点P在第几象限？ （2）当点P在第三象限时，求m的取值范围． （3）判断命题“点P不可能在第一象限”的真假，并说明理由． 21. 等腰三角形中，于点D，， （1）求的度数； （2）如图2，垂直平分，交于点F，连接，求证：． 22. 某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元． （1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据学校实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $