精品解析：湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期寒假作业反馈练习数学试题

湖南师大附中高一寒假作业反馈练习数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如果角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C. “，”是假命题 D. “”是“”的必要不充分条件 10 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 11. 对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“k—利普希兹”条件，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则在上相对于不满足“2—利普希兹”条件 B. 若，，在上相对于满足“k—利普希兹”条件，则k的最小值为 C. 若，，在上相对于满足“4—利普希兹”条件，则a最大值为 D. 若，，在非空数集D上相对于满足“1—利普希兹”条件，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 13. 已知定义在R上的单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______. 14. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知关于x的不等式的解集是M. （1）若，求解集M； （2）若，解关于x不等式. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，若，，求的值. 17. 某种植园种植某菌类的年固定成本为3万元，每产出x吨该菌类需另外投入成本万元，该菌类可以每吨6万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润=销售额-成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元. （1）求年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：吨）的函数关系式； （2）年利润是否有最大值？最大值是多少？此时产量是多少？ 18. 对于函数，若存在非零常数T，使得对任意，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”. （1）求证：，是“T函数”； （2）若函数是“函数”，求实数k的取值范围； （3）对于定义域为的函数，.函数是奇函数，且是严格递增函数，若，，求的值. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中高一寒假作业反馈练习数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解不等式，求出，根据交集的定义求得. 【详解】因为函数是增函数，且，所以，即. 又，所以. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解不等式，，再根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】由，得，解得； 由，得. 因为，推不出， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由向量，可得， 则向量在向量上的投影向量为. 4. 若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用零点存在定理列不等式组，即可求解. 【详解】因为函数在区间和上各有一个零点，且函数的图像开口向下，所以，解得，所以实数k的取值范围是. 故选：A. 5. 如果角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：先求出，再由弦化切公式转化为进行求解；方法二：直线过第一象限和第三象限．分别求若的终边在第一象限，可取终边上一点，与若的终边在第三象限，可取终边上一点，再由三角函数的定义进行求解． 【详解】方法一： 因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 方法二： 直线过第一象限和第三象限． 若的终边在第一象限，可取终边上一点， 则，， 则． 若的终边在第三象限，可取终边上一点， 则，， 则 故选：B 6. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】不等式 可化为， 当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立； 当 时， 的图象开口向下，不满足题意， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，且 ； 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值为 . 7. 设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得. 【详解】由已知， ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 8. 已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值. 所以； 由，得. 所以. 令，则. 由在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，所以， 所以. 所以，解得. 若，，此时取可使成立. 当时，，其中或时，，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，其中或时，，所以. 若时，，此时取可使成立. 当时，，其中时，. 所以时满足题意. 故的最大值为. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C. “，”是假命题 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”必要不充分条件，D选项正确； 10. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A；由正切函数最小正周期公式求解判断B；根据函数的对称性求解判断C；根据正切函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于A，，错误； 对于B，中，则最小正周期为，正确； 对于C，函数的对称轴为， 令，解得， 则函数图象的对称轴为，令得，错误； 对于D，令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令得，所以是图象的一个对称中心，正确． 故选：BD 11. 对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“k—利普希兹”条件，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则在上相对于不满足“2—利普希兹”条件 B. 若，，在上相对于满足“k—利普希兹”条件，则k的最小值为 C. 若，，在上相对于满足“4—利普希兹”条件，则a的最大值为 D. 若，，在非空数集D上相对于满足“1—利普希兹”条件，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据“k—利普希兹”条件的定义，将各选项问题转化为不等式恒成立问题，再结合函数单调性对各选项求解即可判断结果. 【详解】对于A，因为的定义域为， 令，则，； 此时，即在上相对于不满足“2—利普希兹”条件，即A正确； 对于B，由题可知，均有成立， 当时显然成立； 不妨设，则， 又因为，所以， 所以，即，故，即B正确； 对于C，由题可知，均有成立， 即， 当时显然成立； 当时，则可得恒成立， 又因为，，所以，即， 所以a的最大值为，故C正确； 对于D，由题意可得非空数集D上恒成立， 当时显然成立； 不妨设，则， 所以成立， 令，则函数在非空数集上单调递增， 因为， 当时，，函数单调递增，单调递减， 又单调递增，所以在上单调递减， 这与函数在非空数集上单调递增矛盾，因此D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数恒过定点可得. 【详解】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P坐标为. 13. 已知定义在R上单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______. 【答案】17 【解析】 【分析】设，则.分析与的取值，列得相应的不等式，即可求得的最小值. 【详解】设（常数），是R上的单调函数，所以唯一确定，是常数. 故. 易知是增函数. 由，得，所以. 所以. ，，所以； ，，所以，所以. 因为，，，…， ，使得成立， 所以. 所以，所以. 所以n的最小值为. 14. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况，分析函数的单调性及值域，即可得实数a的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 若，则当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即，解得， 即时，函数的值域为； 若，则当时，.此时的值域为，不合题意； 若，则当时，单调递增， 当时，；当时，，故，即. 综上，实数a的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知关于x的不等式的解集是M. （1）若，求解集M； （2）若，解关于x的不等式. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，解二次不等式可求； （2）由二次不等式的解集与二次方程的根的关系可先求出，然后解分式不等式即可求解． 【小问1详解】 若，， 方程的根为， 所以，解得或， 故或； 【小问2详解】 因为不等式的解集， 所以的一个解为， 所以，解得， 此时的解集为，满足题意. 不等式即， 等价于，解得， 故不等式的解集为． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，若，，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差的正弦公式化简，再求最小正周期及的单调递减区间； （2）求出的图象变换后的解析式，再求出的正余弦值利用凑角可得答案. 【小问1详解】 . 的最小正周期为， 由，，解得，， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 将的图象先向左平移个单位长度，得到函数， 再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数， 据题意有，且，则， 则 . 17. 某种植园种植某菌类的年固定成本为3万元，每产出x吨该菌类需另外投入成本万元，该菌类可以每吨6万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润=销售额-成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元. （1）求年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：吨）的函数关系式； （2）年利润是否有最大值？最大值是多少？此时产量是多少？ 【答案】（1） （2）年利润有最大值，最大值是，此时产量是吨. 【解析】 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入- 固定成本-另外投入成本”求得； （2）结合二次函数的性质以及基本不等式即可求得分段函数的最大值. 【小问1详解】 由题可知，当时，总成本为，故有，解得. 因此当时，； 当时，. 综上，. 【小问2详解】 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，在处取得最大值，最大值为. 当时，. 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足， 所以当时，在处取得最大值，最大值为. 综上，年利润有最大值，最大值是，此时产量是吨. 18. 对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”. （1）求证：，是“T函数”； （2）若函数是“函数”，求实数k的取值范围； （3）对于定义域为的函数，.函数是奇函数，且是严格递增函数，若，，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可； （2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案； （3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案. 【小问1详解】 证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. 【小问2详解】 函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； 【小问3详解】 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，所以， 因为严格递增函数，所以， 则. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 【答案】（1）不是“伪奇函数“，也不是“伪偶函数“， （2）实数的取值范围为； （3）整数的取值集合为 【解析】 【分析】（1）判断“伪奇函数”：计算，看是否有非零解；判断“伪偶函数”：计算，看是否有非零解； （2）先确定幂函数，再根据“伪奇函数”定义得方程，通过换元法结合函数性质求范围； （3）根据“伪奇函数”定义得方程，换元后转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围. 【小问1详解】 由题可知，则， 则，因为恒成立， 不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”； ，， 若，则， 故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”； 【小问2详解】 因为是幂函数，则，所以， 故，所以， 则，所以，因为且， 所以在上有非零实数解，则且， 令，且，令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以，当且，， 故， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由定义可得，，则， 所以在上存在非零实数解， 令，，故， 即方程在开区间上存在非零实数解， 令，，对称轴为， 当时，，满足题意； 当时，则， 所以，故； 当时，则， 即，即. 综上，，则满足整数的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $