精品解析：湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（ ） A. 38 B. 42 C. 46 D. 50 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数，则解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在上单调递减，则 10 已知向量，，则（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 若，则 C. 为偶函数 D. 若时，是连续函数，且在区间上单调递减，则当时，不等式的解集为 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为__________. 13. 已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 14. 已知实数满足，，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合 （1）求 （2）若 求实数a的取值范围. 16. 已知函数 （1）求函数 在上的单调递增区间; （2）若函数在的值域为 求α的取值范围. 17. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 （1）求的值； （2）求最小值. 18. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. （1）求函数的解析式; （2）若是函数的一个零点，求的值； （3）若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 19. 已知偶函数 的最小值为. （1）求实数，的值; （2）设 ，证明：在区间上存在唯一零点，且 ； （3）设 ，记 ，试求的最大值.（注： ）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”. 2. 设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断得用. 【详解】若，则，而当时，或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，故，则， 又在上减函数，所以， 即. 4 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 5. 某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（ ） A. 38 B. 42 C. 46 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立函数模型，代入数值求解即可. 【详解】设经过 t 个月后的数量为 ，每 18 个月翻一番，则 令，可得，即， 因为，所以，代入上式可得. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，结合两角差正切公式求，结合二倍角公式，平方关系将所求式子转化为齐次式，利用齐次式的方法求结论. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以. 故选：C. 7. 学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设高一（7）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（7）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加这三项比赛的人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加这三项比赛的人数为1人. 故选：B 8. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段讨论，结合函数在区间内的值域和解析式解不等式. 【详解】函数， 当时，单调递增，则， 当时，，单调递减，， 当时，，单调递增，， 当时，单调递增，， 故当时，，此时，，满足， 当时，，此时，， 满足， 当时，，此时可得， 解得， 综上可知，的解集为. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在上单调递减，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A选项，函数恒过定点，故A错误； 对于B选项，函数与的图象关于对称， 即函数与的图象关于直线对称，故B正确； 对于C选项，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数， 所以时，恒有，故C正确； 对于D选项，由幂函数性质可得，幂函数在单调递减，则，故D正确. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出，的关系，进而可判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于A选项，若，则，所以，故A正确； 对于B选项，若，则，所以， 又，解得或，故B错误； 对于C选项， ，其中， 当时，取得最大值，故C错误； 对于D选项，若，则，即， 所以， 所以 ，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 若，则 C. 为偶函数 D. 若时，是连续函数，且在区间上单调递减，则当时，不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B正确；令，求得，再令，得到可判定C错误；把原不等式转化为，得到，结合函数的单调性，列出不等式组，可判定D正确. 【详解】由题意知，函数的定义域为，且满足， 对于A，令，可得，可得，所以A正确； 对于B，令，，可得， 解得，所以B正确； 对于C，令，可得，可得， 再令，可得，所以为奇函数，所以C错误； 对于D，结合以上分析可知， 由，可得， 又因为，当时，， 所以， 则不等式，即为，即 因为时，为单调递减函数，且当时，， 所以，解得， 即不等式的解集为，所以D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长，面积公式计算即可求解. 【详解】由题意，圆心角，弧长， 由弧长公式，得扇形的半径， 则扇形面积. 故答案为： 13. 已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 14. 已知实数满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由与的交点关于对称，结合，，从而有与关于对称得到且，即可求. 【详解】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合 （1）求 （2）若 求实数a的取值范围. 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）解出集合中的不等式，化简集合，再利用补集的定义即可求出； （2）先求出集合，再利用建立不等式求解即可. 【小问1详解】 解不等式，得，，或， 解不等式，得，， 根据交集的定义得，或. 【小问2详解】 ，在上单调递增，，即， 又， 或，解得或. 综上，实数a的取值范围为. 16. 已知函数 （1）求函数 在上的单调递增区间; （2）若函数在的值域为 求α的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，由，得到，结合正弦函数性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，根据题意，得到，结合正弦函数的性质，得到，即可求解. 【小问1详解】 由函数 ， 因为，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由，可得， 因为函数的值域为，即， 当时，即时，； 当时，即时，， 要使得，根据正弦函数的性质，则满足， 解得，所以实数取值范围为. 17. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 （1）求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正余弦定理的边角关系及向量数量积的定义，结合已知可得，再由三角形的面积公式列方程求各边长； （2）根据是上的点，结合（1）得到，，进而得，最后应用基本不等式的“1”的代换求目标式的最小值. 【小问1详解】 由，则， 所以，故，则，故， 由，则， 综上，； 【小问2详解】 由，且是上的点， 所以，且， 所以，则， 当且仅当，且，即时取等号， 所以的最小值. 18. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. （1）求函数的解析式; （2）若是函数的一个零点，求的值； （3）若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，再由三角函数的图象变换，结合三角函数的性质，求得，得到，即可求得的解析式； （2）根据题意，转化为，得到，再由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，化简得到，代入即可求解； （3）令，根据题意，利用正弦函数的性质，转化为方程在上有2个不相等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 可得函数的最小正周期为，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为为偶函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：因为是函数 的一个零点， 即，可得， 由（1）知，所以，即， 又由， 因为，所以. 【小问3详解】 解：由（1）知，因为，可得， 令，当时，有两个解；当或时，有一个解， 若方程在上有4个不相等的实数根， 即为关于的方程在上有2个不相等的实数根， 设，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 19. 已知偶函数 的最小值为. （1）求实数，的值; （2）设 ，证明：在区间上存在唯一零点，且 ； （3）设 ，记 ，试求的最大值.（注： ）. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求出，再利用函数的最值即可求出； （2）根据指数函数，对数函数，正弦函数的单调性确定函数的单调性，再根据零点存在性定理证明函数在存在唯一零点，由此可得，再证明，由此可证明 ； （3）先利用复合函数的单调性求证在上的单调性，再设，结合函数的单调性可求结论. 【小问1详解】 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立，所以， 所以． 设，令，则，时等号成立， 所以， 又的最小值为，所以； 小问2详解】 由（1）得， 所以 ， ​令，则在上单调递减， 故在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递减， 当时，，又正弦函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 又，，故， 所以在存在唯一零点，且， 所以， 两边取的指数得：  计算，结合得， 故，得，故​， 所以 ， 所以 ； 【小问3详解】 由（1）知，令， 若，则， 因为对勾函数在单调递减，在单调递增，单调递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减． 设，， 由于， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $