精品解析：河南省信阳高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期03月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算：=（ ） A. -1 B. 0 C. D. 3. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，函数若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量与满足，且，则向量在向量上投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，不正确的有（ ） A. 已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B. 若与共线，则 C. 与向量不平行 D. 在平面直角坐标系中，若，，三点共线，则 10. 已知，正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若函数存在两个零点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最大值为__________. 13. 已知，分别是的两个实数根，则_______. 14. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，，其中. （1）若全集，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知向量，满足，且向量与的夹角为． （1）若向量与向量共线，求k的值； （2）求． 17 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的值域. 18. 如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点． （1）求的值； （2）求的值； （3）直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值． 19. Sigmoid函数是一个特殊函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是 （1）判断单调性，并用定义证明； （2）设函数 求 的值； （3）若函数 在 上有零点，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期03月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 计算：=（ ） A. -1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦两角和差的逆应用即可求解. 【详解】由，故C正确. 故选：C. 3. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数定义域性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则． 因为，所以， 所以. 5. 已知，函数若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，求得，结合列出方程，即可求解. 【详解】由题意可得， 则，解得， 故选：B. 6. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定等式，结合对数运算及对数函数单调性求出，再利用同角公式计算即得. 【详解】由，得， 依题意，，则， 又， 因此，即，而， 所以. 故选：C 7. 已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定的形状，再利用投影向量的意义求解作答 【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量， 由，可得的角平分线与垂直， 所以为等腰三角形，且， 又，得，所以， 又，所以, 所以为等边三角形， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：B. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，不正确的有（ ） A. 已知，，则与可以作为平面内所有向量一组基底 B. 若与共线，则 C. 与向量不平行 D. 在平面直角坐标系中，若，，三点共线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，，故与共线，A错误；B选项，举出反例；C选项，根据向量平行所满足坐标公式进行判断；D选项，先表达出，根据平行得到方程，求出，D错误. 【详解】A选项，因为，所以与共线，不可以作为平面内所有向量的一组基底，A错误； B选项，若与同向共线，则，若与反向共线，则，B错误； C选项，， 所以向量不平行，C正确； D选项，，若，，三点共线， 则，解得，D错误. 故选：ABD 10. 已知，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，求得，结合，可得，即可判断A；对于B，求得，结合，可得，即可判断B；对于C，由A，B可得，由商数关系可得，即可判断C；由C即可判断D. 【详解】解：对于A，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由A，B可得， 所以，故C正确； 对于D，由C可知，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若函数存在两个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意求得与的解析式，分别求和，判断A；计算，判断B；根据是奇函数，结合其单调性，解不等式，判断C；若函数存在两个零点，则方程存在两个实数根，即的图象与直线有两个不同的交点，分析函数的单调性，画出其简图，求出的取值范围，判断D. 【详解】因为，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且， 所以，即. 所以. ，，所以A不正确； ，所以B正确； 由，得. 因为是减函数，是减函数，所以是减函数， 所以，所以.所以C正确； 若函数存在两个零点，则方程存在两个实数根，即的图象与直线有两个不同的交点. 设，则. 因为，所以，即； 因为，所以，所以，所以. 所以，即. 所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减. 又，所以结合图象可知，，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 13. 已知，分别是的两个实数根，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得真数等于1，利用韦达定理结合两角和的正切化简求解 【详解】由题意可得，即，由根与系数关系， ，则 故答案为：. 14. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________． 【答案】. 【解析】 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案. 【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转， 此次点走过的路径是. 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是. 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是. 故答案为:. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，，其中. （1）若全集，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 集合或，， ，. 【小问2详解】 ，或，，其中. ，解得， 的取值范围是. 16. 已知向量，满足，且向量与的夹角为． （1）若向量与向量共线，求k的值； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的性质，若两个向量共线，则存在实数，使得一个向量等于乘以另一个向量，联立方程组求解即可； （2）利用向量的数量积公式，及向量模长的平方等于向量自身的平方，计算求解即可. 【小问1详解】 因为向量与向量共线，则存在实数， 使得， 所以，解得． 【小问2详解】 因为，，且向量与的夹角为， 所以， 则. 17. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）直接代入函数解析式，再利用特殊角的三角函数值，计算可得； （2）首先利用三角恒等变换公式将函数化简为，再根据的取值范围，求出的取值范围，从而求出函数的值域； 【详解】解：（1）. （2） . 因为，所以， 所以. 18. 如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点． （1）求的值； （2）求的值； （3）直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以，为基底表示，，可得； （2）以，为基底表示，进而计算模长； （3）根据向量共线定理分别可表示，，进而确定. 【小问1详解】 设， ， ，即； 【小问2详解】 ， ， ； 【小问3详解】 设，即，， 因为在上，所以，即， ， 即，即， 即， 由于，，三点共线，所以， ，， 设，则， 即， 又上，则，即， ， 由于，，三点共线，所以，即， 所以，. 19. Sigmoid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是 （1）判断的单调性，并用定义证明； （2）设函数 求 的值； （3）若函数 在 上有零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析 （2）1012 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）根据结构特征，，采用首位相加求解即可； （3）依题意得，，换元令，转换为关于的方程在上有解，进而得到答案. 【小问1详解】 在上单调递增，证明：任取，且， ， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由题意得， 所以， 故. 所以 . 【小问3详解】 故， 令，当时，. 在上有零点，故关于的方程在上有解. 方程可化为. 令，则，且， 因为函数在上单调递增，所以当时，， 故实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问，重点考查倒序相加法求解，关键在于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $