第二章 不等式与不等式组章末重点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

第二章 不等式与不等式组章末重点题型汇编 （十大题型） 【题型1 不等式﹑一元一次不等式（组）的定义】 【题型2 不等式的性质】 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 【题型4 解一元一次不等式（组）】 【题型5 根据一元一次不等式解集求参数】 【题型6 根据一元一次不等式组的解集求参数】 【题型7 不等式组和方程组的结合问题】 【题型8 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【题型9 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【题型10 一元一次不等式（组）的应用】 【题型1 不等式﹑一元一次不等式（组）的定义】 1．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 3．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 4．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 【题型2 不等式的性质】 5．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 6．若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故A、B、D成立，不符合题意； C不成立，符合题意． 7．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系． 【详解】 解：设为a，为b，为c， 则由第一个图可知， ， ， 由第二个图可知， ， ， 这三种物体按质量从大到小排列应为． 故选：C． 8．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，数轴和不等式的性质等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据数轴得出，再根据不等式的性质进行变形即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故答案为：． 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在数轴上表示不等式的解集时注意：大于号向右，小于号向左，带等号实心，不带等号空心． 【详解】 解：不等式组的解集在数轴上表示． 10．在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示时，向右且用实心点，即选项D符合题意． 11．一元一次不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能正确解不等式是解此题的关键． 根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上表示出来，即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得 ， ∴一元一次不等式的解集在数轴上表示为 ． 故选A． 12．如图，数轴所表示的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示不等式的解．关键是掌握实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 观察数轴上表示的解集，判断即可． 【详解】解：由数轴可以看出，两个解集公共部分为， ∴数轴所表示的不等式为， 故选：B． 【题型4 解一元一次不等式（组）】 13．解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解，进而得出不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【详解】解：去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为，得． 解集在数轴上表示如图所示： 14．解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． 15．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解，再在数轴上表示解集． 【详解】（1）解：， 移项并合并同类项，得， 系数化为1得． 该解集在数轴上表示为 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 （3）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 16．下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据所给解一元一次不等式的步骤，写出每步的依据即可． 【详解】解：由题知， 第一步的依据是：不等式的基本性质2， 第二步的依据是：不等式的基本性质1， 第三步的依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3． 17．小明解不等式时出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，    第二步 移项、合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 (1)小明的解答过程从第 步开始出现错误，其错误原因是 ． (2)写出此题正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，不等式的右边没有乘各分母的最小公倍数（合理即可） (2)见解析 (3)解不等式需要注意不等式两边同乘或除以同一个负数时，不等号方向要发生改变（合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的步骤，去分母时每一项都要乘，系数为负时不等号方向改变是解题的关键． （1）观察小明的步骤，第一步去分母时，不等式右边的没有乘各分母的最小公倍数，导致错误； （2）按照解一元一次不等式的正确步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为进行求解； （3）结合解不等式的易错点，给出合理建议． 【详解】（1）解：∵解不等式 时，去分母需要将不等式两边的所有项都乘以分母的最小公倍数， ∴正确的去分母结果应为 ∵小明的解答过程第一步为 ∴小明的解答过程从第一步开始出现错误，其错误原因是去分母时，不等式右边的常数项没有乘以最小公倍数． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：示例：解不等式需要注意不等式两边同乘或除以同一个负数时，不等号方向要发生改变（合理即可）． 18．求不等式组：，并求出所有整数解 【答案】不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为 【分析】先求出每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集，即可求出整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 则不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为． 19．求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】，， 【分析】先求出不等式组的解集，再写出其中的非负整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集表示在数轴上为： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的所有非负整数解为：，，． 【题型5 根据一元一次不等式解集求参数】 20．若的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据不等式两边同除以同一个负数，不等号的方向改变进行求解. 【详解】解：∵的解集为， ∴， 即：. 21．若不等式的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】该题考查了一元一次不等式，根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变．由解集可知，除以后不等号方向改变，故． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴不等号方向改变， ∴， ∴． 故答案为：． 22．不等式的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．根据不等式的解集是，即可得出，进而可求出． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为： 23．已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先根据不等式的性质可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型6 根据一元一次不等式组的解集求参数】 24．关于的不等式组的解集是，则的值为______． 【答案】3 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集是：， 关于的不等式组的解集是， ， ， 故答案为：3 ． 25．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 【答案】 【分析】先求解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：由不等式得：， 因此原不等式组的解集为， 不等式组只有4个整数解， 4个整数解为0、1、2、3， 可得， 不等式两边同时加2，得：． 26．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 27．若不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 移项得， 合并同类项得， 解得． 28．若关于x的不等式组有整数解，则a的值可以是________． 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有整数解确定的取值范围，即可得到符合条件的的值. 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 不等式组有整数解， ， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 【题型7 不等式组和方程组的结合问题】 29．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 30．已知中的x，y满足，k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程组两方程相减表示出，代入不等式计算即可求出k的范围． 【详解】解：， ①②得：， 代入不等式得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握其解法是解本题的关键． 31．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】②①得：，然后将其代入，再来解关于k的不等式即可的解． 【详解】解：， ②①得：， ∵方程组的解满足不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变． 32．若关于、的方程组满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组求出，再根据得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解： 用①+②得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出是解题的关键． 【题型8 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 33．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 34．如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 35．一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故选A． 36．一次函数的图象如图，则当时，函数值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象，利用数形结合思想是解题的关键．根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再结合函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象可得，当时，函数值的范围是． 故选：D． 37．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．直接根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 【题型9 根据两条直线的交点求不等式的解集】 38．如图，函数与的图象相交于点，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：观察图象可知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， 当时，的取值范围是． 39．如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可得到该不等式的解集． 【详解】解：， ，即为， ∵直线与直线的交点横坐标为1， ∴由图象可得，的解集为， 故答案为：． 40．如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 41．如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象的位置关系确定不等式的解集． 不等式的解集，对应直线的图象在直线图象下方时的取值范围；结合两直线交点，确定该取值范围． 【详解】解：不等式的解集，即直线在直线下方时的取值范围． 由图知，两直线交于，当时，的图象在的图象下方． 故答案为：． 42．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 利用待定系数法，将点代入，求得的值，解不等式即可． 【详解】解：将点代入得： ， 解得， 则 解得， 故答案为：． 【题型10 一元一次不等式（组）的应用】 43．某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知篮球的单价比足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球． (1)求篮球和足球的单价各是多少元？ (2)由于近期篮球价格上涨（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少为246元，求涨价后篮球的单价至少为多少元？ 【答案】(1)篮球单价为54元，足球单价为36元 (2)涨价后篮球价格至少为58元 【分析】（1）设篮球单价为x元，足球单价为y元，根据“篮球的单价比足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球”列出方程组，求解即可； （2）设篮球涨价后价格为n元，根据“花费资金至少为246元”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设篮球单价为x元，足球单价为y元． 解，得： 答：篮球单价为54元，足球单价为36元． （2）解：设篮球涨价后价格为n元． 答：涨价后篮球价格至少为58元． 44．端午节前期，某商店决定购进、两种类型的粽子，若购进种粽子包，种粽子包，需要花费元；若购进种粽子包，种粽子6包，需要花费元． (1)求购进、两种粽子每包各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种粽子共包，考虑到市场需求，购进种粽子的数量不超过种粽子数量的倍，那么该商店最多可以购买种粽子多少包？ (3)在（2）条件下，由于资金周转，该商店购买包粽子的资金不超过元，该商店有哪几种购进方案？ 【答案】(1)种粽子每包元，种粽子每包元 (2)该商店最多可以购买包种粽子 (3)该商店共有种购进方案：方案①：购进种粽子包，种粽子包；方案②：购进种粽子包，种粽子包；方案③：购进种粽子包，种粽子包；方案④：购进种粽子包，种粽子包 【分析】（1）设种粽子每包元，种粽子每包元，根据购进种粽子包，种粽子包，需要花费元；若购进种粽子包，种粽子6包，需要花费元，列方程组求解即可； （2）设该商店购进包种粽子，购进种粽子的数量不超过种粽子数量的倍，列不等式求解即可； （3）根据商店购买包粽子的资金不超过元，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种粽子每包元，种粽子每包元， 根据题意可得：， 解得：， 种粽子每包元，种粽子每包元； （2）解：设该商店购进包种粽子，则， 解得：， 是整数， 该商店最多可以购买包种粽子； （3）解：由题意可得：， 解得：， 又，且是整数， ， 的值为：，，，， 该商店共有种购进方案： 方案①：购进种粽子包，种粽子包； 方案②：购进种粽子包，种粽子包； 方案③：购进种粽子包，种粽子包； 方案④：购进种粽子包，种粽子包． 45．为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案． 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元 (2)可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，由“购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元”列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元， 根据题意得：， 解得， 答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元； （2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 解得： 为正整数， 当时，， 当时，， 答：可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵． 46．云南某特产公司组织20辆汽车装运酸角糕、普洱茶、鲜花饼三种特产共100吨去省外销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能运送同一种特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题： 特产种类 酸角糕 普洱茶 鲜花饼 每辆汽车装载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元／吨） 120 160 100 设装运酸角糕的车为（辆），装运普洱茶的车为（辆），且装运酸角糕和装运普洱茶的车辆数均不少于4辆． (1)求与之间的函数解析式（也称关系式），并直接写出的取值范围． (2)若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费． 【答案】(1) (2)安排装运酸角糕的车8辆，普洱茶的车4辆，鲜花饼的车8辆时，总运费最少，最少总运费为12160元 【分析】（1）由题意可得装运鲜花饼的车辆数为，从而得出，整理即可得出，再结合题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围即可得出结果； （2）设总运费为元，求出关于的关系式，再由一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得，装运酸角糕的车为（辆），装运普洱茶的车为（辆），则装运鲜花饼的车辆数为， 则有， 整理得， ∴装运酸角糕，普洱茶，鲜花饼三种特产的车辆数分别为，，， ∴由题意得， 解得． 与之间的函数解析式为． （2）解：设总运费为元， 则． ， 的值随的增大而减小， ∴当时，总运费最小，最小（元）． （辆）． 答：安排装运酸角糕的车8辆，普洱茶的车4辆，鲜花饼的车8辆时，总运费最少，最少总运费为12160元． 47．某校在“书香阅读”活动期间为学生购买甲、乙两种图书．已知购买甲种图书20本，乙种图书30本，共花费1550元；每本甲种图书的价格比每本乙种图书多15元． (1)甲、乙两种图书每本各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进甲、乙两种图书共40本，此时正逢书店“优惠促销”活动，每本甲种图书打8折，每本乙种图书优惠5元．如果此次学校购买甲、乙两种图书的总费用不超过1150元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的2倍．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)甲种图书每本40元，乙种图书每本25元 (2)1124元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种图书每本x元，乙种图书每本y元，根据题意，列方程组，解之即可求解； （2）设学校再次购进甲种图书m本，则再次购进乙种图书本，根据题意列不等式组得，解之可得的取值范围，由于只能取整数，即可得到m的取值为27，28，29，然后列出一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种图书每本x元，乙种图书每本y元 根据题意，得 解得 答：甲种图书每本40元，乙种图书每本25元； （2）解：设学校再次购进甲种图书m本，则购进乙种图书本根据题意，得 解得 ∵m为正整数 ∴m的取值为27，28，29 设本次购买的总费用为W（元），则 ∵ ∴W随m的增大而增大 ∴当时，W取得最小值， 答：本次购买最少花费1124（元） 48．制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 【答案】(1)见解析 (2)一共有3种运输方案，分别如下：方案1：安排34件产品运往甲地，安排68件产品运往乙地，安排198件产品运往丙地；方案2：安排35件产品运往甲地，安排70件产品运往乙地，安排195件产品运往丙地；方案3：安排36件产品运往甲地，安排72件产品运往乙地，安排192件产品运往丙地 【分析】（1）根据运往丙地的产品件数总件数运往甲地的产品件数运往乙地的产品件数；运费相应件数一件产品的运费，即可补全图表； （2）根据经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的倍，且总运费不超过元，求出的取值范围，再根据只能取整数，即可得出运输方案． 【详解】（1）解：表格填写如下： 甲地 乙地 丙地 产品件数 运费/元 （2）解：根据题意，得 解得 ∴该不等式组的解集为． 为正整数， 可取或或． 故一共有种运输方案，分别如下： 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意只能取整数． 49．为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组章末重点题型汇编 （十大题型） 【题型1 不等式﹑一元一次不等式（组）的定义】 【题型2 不等式的性质】 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 【题型4 解一元一次不等式（组）】 【题型5 根据一元一次不等式解集求参数】 【题型6 根据一元一次不等式组的解集求参数】 【题型7 不等式组和方程组的结合问题】 【题型8 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【题型9 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【题型10 一元一次不等式（组）的应用】 【题型1 不等式﹑一元一次不等式（组）的定义】 1．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 不等式的性质】 5．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 8．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____（填“”“”或“”）． 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 11．一元一次不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，数轴所表示的不等式为（    ） A． B． C． D． 【题型4 解一元一次不等式（组）】 13．解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 14．解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 15．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 17．小明解不等式时出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，    第二步 移项、合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 (1)小明的解答过程从第 步开始出现错误，其错误原因是 ． (2)写出此题正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 18．求不等式组：，并求出所有整数解 19．求不等式组：的所有非负整数解． 【题型5 根据一元一次不等式解集求参数】 20．若的解集为，则的取值范围是__________． 21．若不等式的解集是，则的取值范围是___________． 22．不等式的解集是，则的取值范围是________． 23．已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是______． 【题型6 根据一元一次不等式组的解集求参数】 24．关于的不等式组的解集是，则的值为______． 25．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 26．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 27．若不等式组无解，则的取值范围是______． 28．若关于x的不等式组有整数解，则a的值可以是________． 【题型7 不等式组和方程组的结合问题】 29．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 30．已知中的x，y满足，k的取值范围是_________． 31．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 32．若关于、的方程组满足，则的取值范围是______． 【题型8 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 33．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 35．一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．一次函数的图象如图，则当时，函数值的范围是（   ） A． B． C． D． 37．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是______． 【题型9 根据两条直线的交点求不等式的解集】 38．如图，函数与的图象相交于点，则当时，的取值范围是______． 39．如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为_________． 40．如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 41．如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集是______． 42．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【题型10 一元一次不等式（组）的应用】 43．某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知篮球的单价比足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球． (1)求篮球和足球的单价各是多少元？ (2)由于近期篮球价格上涨（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少为246元，求涨价后篮球的单价至少为多少元？ 44．端午节前期，某商店决定购进、两种类型的粽子，若购进种粽子包，种粽子包，需要花费元；若购进种粽子包，种粽子6包，需要花费元． (1)求购进、两种粽子每包各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种粽子共包，考虑到市场需求，购进种粽子的数量不超过种粽子数量的倍，那么该商店最多可以购买种粽子多少包？ (3)在（2）条件下，由于资金周转，该商店购买包粽子的资金不超过元，该商店有哪几种购进方案？ 45．为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案． 46．云南某特产公司组织20辆汽车装运酸角糕、普洱茶、鲜花饼三种特产共100吨去省外销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能运送同一种特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题： 特产种类 酸角糕 普洱茶 鲜花饼 每辆汽车装载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元／吨） 120 160 100 设装运酸角糕的车为（辆），装运普洱茶的车为（辆），且装运酸角糕和装运普洱茶的车辆数均不少于4辆． (1)求与之间的函数解析式（也称关系式），并直接写出的取值范围． (2)若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费． 47．某校在“书香阅读”活动期间为学生购买甲、乙两种图书．已知购买甲种图书20本，乙种图书30本，共花费1550元；每本甲种图书的价格比每本乙种图书多15元． (1)甲、乙两种图书每本各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进甲、乙两种图书共40本，此时正逢书店“优惠促销”活动，每本甲种图书打8折，每本乙种图书优惠5元．如果此次学校购买甲、乙两种图书的总费用不超过1150元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的2倍．求本次购买最少花费多少钱． 48．制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 49．为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $