第一章 三角形的证明及应用章末重点题型汇编（二十一大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

第一章 三角形的证明及应用章末重点题型汇编 （二十一大题型） 【题型1 与三角形的内角和有关的计算】 【题型2 三角形折叠中的角度问题】 【题型3 三角形的外角的定义及性质】 【题型4多边形内角和问题】 【题型5多边形截角后的边数问题】 【题型6多边形对角线的条数问题】 【题型7对角线分成的三角形个数问题】 【题型8正多边形的外角问题】 【题型9多边形外角和的实际应用】 【题型10多边形内角和与外角和综合】 【题型11 等腰三角形的性质】 【题型12 等腰三角形个数的讨论】 【题型13 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型14 等边三角形的性质】 【题型15 等边三角形中动点综合问题】 【题型16 直角三角形的判定】 【题型17 全等性质与HL综合】 【题型18 垂直平分线的性质及应用】 【题型19 角平分线的性质及应用】 【题型20 角平分线判定与全等三角形综合】 【题型21 角平分线与垂直平分线的作图】 【题型1 与三角形的内角和有关的计算】 1．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等，三角形内角和定理即可求出结果． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴ ∵两个三角形全等，同时在第二个三角形中，为边b的对角， ∴对应第一个三角形中的， ∴． 故选：B． 2．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．由，求得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，平分交于点D， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，分别为，的角平分线，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵分别为，的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的公理及性质、三年级内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键． 过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出、，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点作，则 ，，， ， 故选C． 【题型2 三角形折叠中的角度问题】 6．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：D． 7．如图，将的一角折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，三角形的内角和为180度．根据折叠的性质得出，根据三角形的内角和定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得到， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8．如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点C落在内，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和、四边形的内角和，正确地分析是解题的关键．根据四边形内角和定理可得：， 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：B． 9．如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边上点处，折痕为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到，是的角平分线，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：根据折叠的性质得到，是的角平分线， ， ． 故选B． 10．如图，中，，，将折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交、于点D、E，当中有两个角相等时，的度数为（   ）． A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识点．分三种情况，利用三角形的内角和定理先求出的度数，再利用折叠的性质和三角形的外角性质求出． 【详解】解：由折叠的性质知：， ①当， ∴； ②当， 则， ∴； ③当， 则， ∴． 故选：D． 【题型3 三角形的外角的定义及性质】 11．如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的外角的性质，即可求． 【详解】根据三角形外角的性质可得． 12．将一副三角板按如图方式叠放，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：C． 13．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果 ，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角定理﹒先根据角平分线定义求出，再根据三角形外角定理即可求出﹒ 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴， ∴﹒ 故选：D 14．如图，在中，，的平分线交于点O，外角的平分线交的延长线于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 根据角平分线的定义可得，再根据，得出，先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断②正确；先根据三角形的外角性质可得，再结合结论①即可判断②正确；根据角平分线定义和结论①即可判断③正确；假设④正确，从而可得，再根据结论①可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵平分为外角的平分线， ， ， ， 平分， ， ，故②正确； ∴ ， 故③正确； 又 ∵， ， ∴，结论①正确； 假设， 解得， ∴，由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误； 故①②③正确，共3个， 故选：C． 15．利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握三角形外角的性质定理．延长交于点E，利用三角形外角的性质定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点E． ∵，． ∴． ∵， ∴， 故选：C． 【题型4多边形内角和问题】 16．一个五边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形内角和，多边形内角和定理边形的内角的和（大于等于3），据此解答．直接利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】∵ 边形内角和公式为， ∴ 当时，内角和． 故选：C． 17．若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质，求出正多边形的边数，即可得出答案． 【详解】 ． ∴该正多边形的内角和的度数为． 18．如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可． 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 19．如图，已知五边形中，，则图形中 x 的值是（   ） A．75 B．80 C．85 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，平行线的性质，根据平行线的性质，求出的度数，求出五边形的内角和，再减去其他四个角的度数，即可求解． 【详解】解：∵五边形， ∴内角和为：， ∵， ∴， ∴； 故选A． 20．如图，在五边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，求一个角的补角，理解相关知识是解答关键． 根据平行线的性质得到，再求出五边形的内角和度数，再利用求、、之和的补角，结合五边形的内角度数求解． 【详解】解：， ． 五边形的内角和为， ． 故选：C． 【题型5多边形截角后的边数问题】 21．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 22．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【题型6多边形对角线的条数问题】 23．一个多边形的内角和是，则从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是（    ） A．11 B．13 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．先根据多边形的内角和公式求出，再根据从多边形一个顶点出发所画对角线条数是求解即可． 【详解】∵多边形的内角和为 ∴，解得： ∴ ∴从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是10 故选：D． 24．一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形的对角线条数为（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，多边形的对角线的条数的计算公式，多边形外角和为，根据多边形的内角和是即可求得多边形的内角和，然后根据多边形的内角和求得边数，进而求得对角线的条数． 【详解】设这个多边形有条边，由题意，得 解得 ∴这个多边形的对角线的条数是． 故选：D． 25．一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（    ） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】D 【分析】本题考查多边形的外角和，以及从n边形的一个顶点引的条对角线数量，掌握多边形中的基本结论是解题关键．由多边形的外角和为，先求出该多边形的边数n，然后利用即可求解． 【详解】解：多边形的边数：， 从一个顶点出发可以引对角线的条数：（条）， 故选：D． 26．一个多边形的内角和为，则从这多边形的一个顶点最多可以引出几条对角线？（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．2条 【答案】A 【分析】设多边形的边数为n，根据题意列出一元一次方程，求出多边形的边数，则同一个顶点的对角线的条数等于边数减去3，即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意有：， 解得， 则从一个顶点引出的对角线最多有：（条）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和的计算公式，掌握“n边形的内角和为：，多边形的对角线数量问题”是解题的关键． 【题型7对角线分成的三角形个数问题】 27．若一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和 ，根据题意得到多边形的内角和为，列出等式计算即可． 【详解】解：从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形， 多边形的内角和为， 多边形的内角和为， ， ． 故选：A． 28．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查了从多边形的一顶点出发，连接其余各个顶点得到的“三角形个数多边形的边数”这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键． 可根据多边形的一顶点，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【详解】解：根据“多边形的边数=三角形个数”，题干得到2025个三角形，则这个多边形的边数为． 故选：D． 29．一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成________个三角形． 【答案】6 【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算分成三角形的个数． 【详解】解：设此多边形的边数为，由题意得：， 解得；， 从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成的三角形个数：8-2=6， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形的内角和公式，理解从一个n边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成(n-2)个三角形． 【题型8正多边形的外角问题】 30．如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为_______ ． 【答案】20/二十 【分析】根据多边形外角和为，正多边形的每个外角都相等，多边形外角的个数等于多边形的边数，据此计算求解即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等． 可得这个正多边形的边数为：． 31．图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 【答案】8 【分析】延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ∵是正边形纸片， ∴， 即正多边形的一个外角为， ． 【点睛】重点掌握正多边形和外角的关系． 32．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意可知，，结合，求得． 【详解】解：如图所示，延长交于点． 根据题意可知，， 所以． 因为， 所以． 故答案为： 33．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形的外角，三角形的内角和定理；根据正多边形的外角分别求得，再根据三角形的内角和公式，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，． ∴． 故答案为：． 34．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上．若，则的度数为__________． 【答案】/16度 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握多边形的外角和是解题的关键． 根据正多边形的外角和可得，再由平行线的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， ∴， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型9多边形外角和的实际应用】 35．如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 36．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 【答案】90 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解决本题的关键是求解出正多边形的边数． 利用多边形外角和为求出正多边形的边数，进而求得其周长． 【详解】解：因为小明每次向右转的角度就是这个正多边形的外角， 已知每次向右转，且多边形的外角和是固定的． 设这个正多边形的边数为，可得， 即这个正多边形是九边形． 已知小明每次前进米， 可得该正多边形的周长米． 故答案为：． 37．完美五边形是指能够与其他一模一样的五边形拼合起来，既不重叠也不留缝隙，密铺出一个平面的五边形，如图是完美五边形的示意图，是完美五边形的外角，已知，则___________． 【答案】/285度 【分析】本题考查了多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形外角和为． 利用多边形外角和为，结合已知，求出的度数． 【详解】， ， 故答案为：． 38．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为_________．    【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（米）． 故答案为：． 【题型10多边形内角和与外角和综合】 39．一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和． 【答案】该正多边形边数为8，内角和为. 【分析】先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求解出正多边形的外角，再根据多边形的外角和等于即可求出正多边形的边数，再根据多边形内角和定理求出内角和即可． 【详解】解：设多边形的每个外角的度数为，则内角为， ， 解得， 即这个多边形的边数是：． 这个多边形的内角和是：． 40．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键． 先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得，即这个多边形的边数为． 总对角线条数为． 41．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，设这个多边形的边数是n，根据多边形内角和及外角和列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得： ， 解得：． 答：这个多边形的边数是8． 42．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【题型11 等腰三角形的性质】 43．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 44．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线，可得，由，可得即可． 【详解】解：∵直线， ∴， 又∵， ∴． 45．如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据题意得到并且平分，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，是的平分线， 并且平分， 在中，， ． 46．如图，在等腰中，，过点C作且，过点A作于点D，过点E作交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质． 先由三线合一得到，再证明，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 47．如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B．垂线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∴垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的． A、等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合，能解释房梁是水平的； B、垂线段最短，不能解释房梁是水平的； C、直角三角形的两个锐角互余，垂线段最短，不能解释房梁是水平的； D、等边对等角，垂线段最短，不能解释房梁是水平的． 故选：A． 【题型12 等腰三角形个数的讨论】 48．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【答案】C 【分析】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 49．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 50．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【详解】解：如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D． 【题型13 等腰三角形中动点引起的分类】 51．如图，中，，，，点D为边上的点，且．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）． (1)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a是多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据线段的和差关系，结合点P速度，依据可证； （2）根据点P、Q的运动速度不相等可得，根据可得，，，结合点P速度可求出t值，进而可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 点P、Q的运动速度相等， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：点P、Q的运动速度不相等， ， 与全等，且， ， ，， ，， ， ， 解得， 当时，能够使与全等． 52．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)若，求证：； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25；115，小 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 53．如图，在中，已知，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交于点 (1)在图①中，在点运动过程中，若，求证：为等腰三角形； (2)在图①中，若时，求证：； (3)在图②中，若时，过点作的垂线交于点，探究线段、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质得，再由可得,即可得证； （2）先证，再证，利用角边角即可证明； （3）将沿翻折得到，再连接则，，，先证，再证，得，，从而证为直角三角形，即可得 【详解】（1）证明：在图①中， ∵， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：在图①中， ∵是的一外角， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴； （3）解：．理由如下: 将沿翻折得到，再连接则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， 即为直角三角形， ∴由勾股定理得 ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、平行线的性质、三角形的外角以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【题型14 等边三角形的性质】 54．如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．由题意可得：即，由等边三角形的性质可得，为中线，得到，即可求解． 【详解】解：等边中，， 则，， ∵， ∴，即 ∴为中线，则， 故选：C ． 55．如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出，根据垂直得出，利用含角的直角三角形的性质，得出，最后利用线段中点的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴的边长为8， 故选：C． 56．如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 57．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，因此．结合可计算出，最后利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 58．如图，，点，，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的边长为（    ） A．2026 B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，由题意得：，推出，，即的边长为；同理可得：，，即的边长为；，，即的边长为；即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴，即的边长为； 同理可得：， ∴，即的边长为； ， ∴，即的边长为； …. ∴的边长为， 故选：C． 【题型15 等边三角形中动点综合问题】 59．如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明 得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 60．综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)①；②见解析 【分析】（1）由题意可得是等边三角形，推出当为的中点时，，此时是直角三角形，得到，即可求解； （2）根据题意可得：，，进而得到，由是等边三角形，可得，分两种情况：当时，当时，根据含角的直角三角形的性质，列出关于的方程即可求解； （3）①根据三角形的外角性质可得，推出是等腰三角形，此时只能使，然后证明是直角三角形，再列出关于的方程即可求解；②过点作交于点，过点作于点，可得是等边三角形，推出，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解： ， 是等边三角形， 当为的中点时，，此时是直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）根据题意可得：，， ， 是等边三角形， ， 当时，， ， ， ， 解得：； 当时，， ， ，即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）① 是等边三角形， ， ， 是等腰三角形，此时只能使， ，， ，， ， ， ， 解得：， 当为时，是等腰三角形， 故答案为：； ②证明：如图，过点作交于点，过点作于点， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 和的高均为， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 61．已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点． (1)如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为秒，连接，． ①当时，求的度数． ②当为何值时是直角三角形？ (2)如图2，当点在的延长线上，在上，若，请判断、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②当或秒时，为直角三角形 (2)，理由见解析 【分析】（1）①利用等边三角形的判定，得出是等边三角形，，进而即可求解； ②利用分类思想，分两种情形：当时，当时，分别根据直角三角形的性质，列出方程，解方程即可； （2）过点作，交于，证明，得出，根据，得出，即可证明结论. 【详解】（1）解：①根据题意得：当时，， ∵等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴； ②由题意知，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， 得， 解得； ∴当或秒时，为直角三角形； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点作，交于， 则是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，数学分类思想，构造辅助线，证明三角形的全等是解题的关键. 62．如图1，在等边三角形中，．点E，F分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)当点在线段上运动时，求之间的数量关系． (3)如图2，当点在线段的延长线上运动时， ①_________； ②如图3作，再以为边向右侧作等边三角形，连接，证明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①60；②见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意得和，进而证明结论； （2）利用等边三角形的性质得到，证明可得，再根据线段和差以及等量代换即可解答； （3）①利用等边三角形的性质得到，证明可得即可求得答案；②由，结合题意可得，利用即可证明结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ∵， ，即， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ∵是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：①∵和都是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，即． ②证明：∵和都是等边三角形， ， ∵， ， ∴． ， ，． 由①可得： ，即． 【题型16 直角三角形的判定】 63．如图，，，点在上，与交于点． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据得，又因为，，得，故； （2）结合，得，故是等腰三角形．即可作答． 【详解】（1）证明：， ， ． ，， ， ． （2）解：是等腰三角形． 由（1）知， ， 则是等腰三角形． 64．如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为2 【分析】（1）根据是的中点，可得，证明，进而即可得证； （2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中： ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵是中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 65．如图，已知：中，于A，点F在上，连接，交于点D，， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“斜边直角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据，再结合可得，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 【题型17 全等性质与HL综合】 66．如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先通过线段和差关系证明，根据平行线的性质结合证明，进而证明，最后根据全等三角形的对应角相等即可得证； （2）先通过线段和差关系求解，的长，在中，由勾股定理求解的长，证明，得到的长，以及，在中，由勾股定理求解的长，进而根据求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 67．已知：如图，在中，于点为上一点，连接交于点，满足． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即． （2）解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以． 68．如图，，E是上的一点，且，． (1) 与全等吗？并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，则，得，由勾股定理得，再由勾股定理求的长． 【详解】（1）与全等，理由如下： 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【题型18 垂直平分线的性质及应用】 69．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 70．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，的周长为，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先推导出，得到，则的周长为，即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为， ∴， ∴， ∴的周长为． 71．如图，在中，，，的面积为48，的垂直平分线交于点，交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．11 B．14 C．19 D．22 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一，连接，由三线合一定理得到，由等面积法可求出的长，根据线段垂直平分线的性质得到，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，，为边的中点， ∴， ∵的面积为48， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∴的周长的最小值为， 故选：C． 【题型19 角平分线的性质及应用】 72．如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，，再根据三角形面积计算公式可求出的面积． 【详解】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵，，， ∴． 73．如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用角平分线的性质证明，由全等三角形的性质得，最后由即可得解． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 的周长． 【点睛】解题关键是利用角平分线的性质证明． 74．如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，等高的三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键．过P点作于D，于E，于F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【详解】解：过P点作于D，于E，于F，如图， 设、、的面积分别为、、， ∵和 的角平分线交于点P， ∴，（角平分线的性质）， ∴， 设， ∵根据三角形的面积公式得， , ， ， ， ∴、、的面积之比为． 75．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 【题型20 角平分线判定与全等三角形综合】 76．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 77．如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理得到，，进而得到，从而得到结论； （2）易证得和，进而得到和，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 点在的角平分线上， ∴平分； （2）解：，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 78．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，求的大小； (2)求证； (3)在上，若平分，求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质、角平分线的性质定理与判定定理，解题的关键是灵活运用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，结合角平分线的定义推导角度关系，利用角平分线的性质定理与判定定理证明点F的位置． （1）先根据角平分线定义求出，再利用三角形外角性质 求解； （2）由角平分线得，结合三角形外角性质分别表示和，联立推导等式； （3）过点作三边的垂线，利用角平分线的性质证明垂线段相等，再根据角平分线判定定理得出结论． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， 答：的大小为。 （2）证明：∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴，① ∵是的外角， ∴，② 将②代入①得：， 整理得：。 （3）证明：过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【题型21 角平分线与垂直平分线的作图】 79．作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【答案】(1)见详解 (2)①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质； （1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图，点G即为所求， （2）解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 80．尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点． 【详解】解：如图，点为所求． 81．在一个城市的特定区域内，有两条相交的主要街道和，该街道内有两个大型商场和．为了提高火灾应急响应能力，保障区域内的生命和财产安全，市政府计划在内建设一个消防站，消防站的位置需要满足以下条件： ①到两条主要街道、的距离相等；②到、两个大型商场的距离相等． 请利用尺规作图法确定消防站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．分别作的角平分线与线段的垂直平分线交于点P，即可． 【详解】解：如图，点P即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及应用章末重点题型汇编 （二十一大题型） 【题型1 与三角形的内角和有关的计算】 【题型2 三角形折叠中的角度问题】 【题型3 三角形的外角的定义及性质】 【题型4多边形内角和问题】 【题型5多边形截角后的边数问题】 【题型6多边形对角线的条数问题】 【题型7对角线分成的三角形个数问题】 【题型8正多边形的外角问题】 【题型9多边形外角和的实际应用】 【题型10多边形内角和与外角和综合】 【题型11 等腰三角形的性质】 【题型12 等腰三角形个数的讨论】 【题型13 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型14 等边三角形的性质】 【题型15 等边三角形中动点综合问题】 【题型16 直角三角形的判定】 【题型17 全等性质与HL综合】 【题型18 垂直平分线的性质及应用】 【题型19 角平分线的性质及应用】 【题型20 角平分线判定与全等三角形综合】 【题型21 角平分线与垂直平分线的作图】 【题型1 与三角形的内角和有关的计算】 1．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 3．如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别为，的角平分线，，则（　　） A． B． C． D． 5．把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 三角形折叠中的角度问题】 6．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将的一角折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点C落在内，若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边上点处，折痕为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．如图，中，，，将折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交、于点D、E，当中有两个角相等时，的度数为（   ）． A．或 B．或 C．或或 D．或或 【题型3 三角形的外角的定义及性质】 11．如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 12．将一副三角板按如图方式叠放，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 13．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果 ，则等于（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，的平分线交于点O，外角的平分线交的延长线于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型4多边形内角和问题】 16．一个五边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 17．若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 18．如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 19．如图，已知五边形中，，则图形中 x 的值是（   ） A．75 B．80 C．85 D．不能确定 20．如图，在五边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型5多边形截角后的边数问题】 21．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 22．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【题型6多边形对角线的条数问题】 23．一个多边形的内角和是，则从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是（    ） A．11 B．13 C．9 D．10 24．一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形的对角线条数为（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 25．一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（    ） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 26．一个多边形的内角和为，则从这多边形的一个顶点最多可以引出几条对角线？（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．2条 【题型7对角线分成的三角形个数问题】 27．若一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 29．一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成________个三角形． 【题型8正多边形的外角问题】 30．如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为_______ ． 31．图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 32．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为_____． 33．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则的度数为______． 34．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上．若，则的度数为__________． 【题型9多边形外角和的实际应用】 35．如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 36．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 37．完美五边形是指能够与其他一模一样的五边形拼合起来，既不重叠也不留缝隙，密铺出一个平面的五边形，如图是完美五边形的示意图，是完美五边形的外角，已知，则___________． 38．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为_________．    【题型10多边形内角和与外角和综合】 39． 一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和． 40． 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 41．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 42．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【题型11 等腰三角形的性质】 43．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 44．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 46．如图，在等腰中，，过点C作且，过点A作于点D，过点E作交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 47．如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B．垂线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角 【题型12 等腰三角形个数的讨论】 48．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 49．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 50．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型13 等腰三角形中动点引起的分类】 51．如图，中，，，，点D为边上的点，且．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）． (1)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a是多少时，能够使与全等？ 52．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)若，求证：； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 53．如图，在中，已知，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交于点 (1)在图①中，在点运动过程中，若，求证：为等腰三角形； (2)在图①中，若时，求证：； (3)在图②中，若时，过点作的垂线交于点，探究线段、、之间的关系，并说明理由． 【题型14 等边三角形的性质】 54．如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 55．如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 56．如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 57．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 58．如图，，点，，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的边长为（    ） A．2026 B． C． D．2025 【题型15 等边三角形中动点综合问题】 59．如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 60．综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 61．已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点． (1)如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为秒，连接，． ①当时，求的度数． ②当为何值时是直角三角形？ (2)如图2，当点在的延长线上，在上，若，请判断、和之间的数量关系，并说明理由． 62．如图1，在等边三角形中，．点E，F分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)当点在线段上运动时，求之间的数量关系． (3)如图2，当点在线段的延长线上运动时， ①_________； ②如图3作，再以为边向右侧作等边三角形，连接，证明：． 【题型16 直角三角形的判定】 63．如图，，，点在上，与交于点． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 64．如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 65．如图，已知：中，于A，点F在上，连接，交于点D，， (1)求证：； (2)求证：． 【题型17 全等性质与HL综合】 66．如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 67．已知：如图，在中，于点为上一点，连接交于点，满足． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 68．如图，，E是上的一点，且，． (1) 与全等吗？并说明理由． (2)若，求的长． 【题型18 垂直平分线的性质及应用】 69．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 70．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，的周长为，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 71．如图，在中，，，的面积为48，的垂直平分线交于点，交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．11 B．14 C．19 D．22 【题型19 角平分线的性质及应用】 72．如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 73．如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 74．如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为（   ） A． B． C． D． 75．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【题型20 角平分线判定与全等三角形综合】 76．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 77．如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 78．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，求的大小； (2)求证； (3)在上，若平分，求证：点在的平分线上． 【题型21 角平分线与垂直平分线的作图】 79．作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 80．尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 81．在一个城市的特定区域内，有两条相交的主要街道和，该街道内有两个大型商场和．为了提高火灾应急响应能力，保障区域内的生命和财产安全，市政府计划在内建设一个消防站，消防站的位置需要满足以下条件： ①到两条主要街道、的距离相等；②到、两个大型商场的距离相等． 请利用尺规作图法确定消防站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 1 学科网（北京）股份有限公司 $