专题05 旋转重难点题型（五大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题05 旋转重难点题型 【题型1 手拉手模型】...................................................................................................................1 【题型2 “半角”模型】..............................................................................................................4 【题型3 构造旋转模型解题 】....................................................................................................6 【题型4 奔驰模型】....................................................................................................................7 【题型5 费马点模型】................................................................................................................8 【题型1 手拉手模型】 1．如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 2．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 3．我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结．试说明：．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整． 解：∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴① ；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转② ，能够与③ 重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等） 【拓展应用】 （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求的度数，聪明的同学们你能解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）． 【尝试解决】 （3）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，连结，与交于点，点恰好为中点． ①直接写出的度数为 ； ②若，求的面积． 4．综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 5．【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 【题型2 “半角”模型】 1．如图1，在中，，D、E是AC边上的两点，且满足．以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，其他条件不变．求证：． 2．已知四边形中，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E、F． (1)当 绕B点旋转到时（如图1），求证：． (2)当绕B点旋转到时，在图2种情况下，求证：． (3)当绕B点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 3．小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长． (1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： (2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 【题型3 构造旋转模型解题 】 1．在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 2.（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【题型4 奔驰模型】 1．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 2．数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断． (1)在图中画出绕点顺时旋转60°后的，并判断的形状是___________； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)由（1）、（2）两问可知：___________． 3．如图，点是正方形中一点，将绕点顺时针旋转．    (1)画出旋转后的； (2)若，求的度数． 【题型5 费马点模型】 1．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    2．已知是等腰直角三角形，，． (1)如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：； (2)如图，点M在外，，，，求． (3)如图，在中，，，，点P是三角形内一点，连，，，则的最小值是 ． 3．如图，点P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，将绕点B逆时针旋转60°得到，其中点P的对应点是Q． (1)请画出（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的最小值． 4．【阅读理解】 （1）如图1，等边内有一点，若，求的度数． 将绕顶点旋转至处，得，可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程． 【基本运用】 （2）请你利用第（1）题的解答方法，解答问题： 如图2，中，为上的点，且，，求的长． 【能力提升】 （3）如图3，在中，，点为内一点，连接则的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 旋转重难点题型 【题型1 手拉手模型】...................................................................................................................1 【题型2 “半角”模型】..............................................................................................................10 【题型3 构造旋转模型解题 】....................................................................................................16 【题型4 奔驰模型】....................................................................................................................21 【题型5 费马点模型】................................................................................................................26 【题型1 手拉手模型】 1．如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【详解】（1） 解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． （2） 解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 2．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)见解析 (2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析 (3)DE＝BD 【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝A，∠CA＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据旋转的性质可得AD＝A，再利用“边边边”证明△ADE和△AE全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解； （3）求出∠CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得E＝C，再根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴AD＝A，∠CA＝∠BAD， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAE＝∠AE， 在△ADE和△AE中， ∵， ∴△ADE≌△AE（SAS）， ∴DE＝E； （2）解：∠DAE＝∠BAC． 理由如下：在△ADE和△AE中， ， ∴△ADE≌△AD′E（SSS）， ∴∠DAE＝∠AE， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAC； （3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°， ∴∠CE＝45°＋45°＝90°， ∵△EC是等腰直角三角形， ∴E＝C， 由（2）DE＝E， ∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴BD＝ ， ∴DE＝BD． 【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键． 3．我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结．试说明：．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整． 解：∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴① ；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转② ，能够与③ 重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等） 【拓展应用】 （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求的度数，聪明的同学们你能解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）． 【尝试解决】 （3）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，连结，与交于点，点恰好为中点． ①直接写出的度数为 ； ②若，求的面积． 【答案】（1）①；②；③；（2），过程见解析；（3）①，②18 【分析】（1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）①利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质即可得到答案；②过点作，垂足为点，利用全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识即可求出答案． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转，能够与重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等）； （2）为等边三角形， ， ， 由（1）可知：， ， ， （3）①解：∵和均为等腰直角三角形，， ， ， ∵由（1）得：， ， ； ②过点作，垂足为点， ， ，， ， ， ， 为中点， ， 由①得：， 又， ， ∴，， ∴． 4．综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），过程见解析；（3） 【分析】此题考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解． （1）通过判定证明全等即可； （2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可； （3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ， 又，， ， 在与中 ， ， ； （2）解：由（1）可知 ，， 在等边中，由可得 则， 在中，，， 由勾股定理可得：； （3）解：连接， ， ， 在与中 ， ， ，， ， ， ． 5．【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 【答案】（1）；理由见解析（2）①；②；（3）8 【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）由（1）可知，则，，再根据等边三角形的性质和角之间的等量代换，易得，从而可求； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，易得是等边三角形，由旋转的性质知，从而可得，再根据勾股定理，计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： 和都是等边三角形， ，，，， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①；② 理由：由（1）可知绕点逆时针旋转得到， 则， ，； 等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：①；②； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质知， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等的性质，勾股定理等知识点，掌握“手拉手模型”是解题的关键． 【题型2 “半角”模型】 1．如图1，在中，，D、E是AC边上的两点，且满足．以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，其他条件不变．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据可知，再由图形旋转的性质可知，，故可得出，由全等三角形的性质即可得出，故可得出结论； （2）把逆时针旋转，由于是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，，所以，由（1）证，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵由旋转而成， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵将按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 同（1）可得， ∴． 【点睛】本题考查的是图形的旋转及勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键． 2．已知四边形中，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E、F． (1)当 绕B点旋转到时（如图1），求证：． (2)当绕B点旋转到时，在图2种情况下，求证：． (3)当绕B点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不成立， 【分析】（1）首先利用证明，得，再证明是等边三角形，且，得可证明结论； （2）将顺时针旋转120°，得，利用证明，得，可得结论； （3）将顺时针旋转120°，得，同理利用证明，得，可得结论． 【详解】（1）∵ ∴, 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∴ （2）如图，将顺时针旋转120°，得， ∴ ∵ ∴点A与点C重合， ∵ ∴ ∴点G、C、F三点共线， ∵ ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∴； （3）不成立，，理由如下： 如图，将顺时针旋转120°，得， ∴， 由（2）同理得，点C、F、G三点共线， ∵ ∴点A与点C重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在与中， ， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 3．小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长． (1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： (2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)90°，； (2)，见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的长； （2）将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，证明点F，D，G在同一条直线上，进而证明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可证明EF＝BE＋FD． 【详解】（1）解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF， ∴ 在中， BD＝3，CE＝1， 故答案为：90°； （2）猜想：EF=BE＋FD； 理由如下： 如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG， ∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG， ∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上． ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF， 即∠GAF＝∠EAF． 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG ∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，掌握性质的性质是解题的关键． 【题型3 构造旋转模型解题 】 1．在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到，根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到； （2）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵将绕着点按逆时针方向旋转后得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 2.（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 【题型4 奔驰模型】 1．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 【答案】（1），（2）6，（3）． 【分析】（1）根据旋转的定义及性质可得三角形全等，利用全等三角形的性质，然后结合图形即可得旋转角为； （2）根据（1）及全等三角形性质可得为等边三角形，即可确定点P与点之间的距离； （3）由（1）（2）可得各边长，然后利用勾股定理逆定理，可确定为直角三角形，即，又因为，即可确定的度数． 【详解】解：（1）∵由绕点A旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴旋转角度数为； （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴, 即点P与点之间的距离为6； （3）在中， 由（1）得：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的度数为． 【点睛】题目主要考查旋转的定义、性质，三角形全等的性质及勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握知识点并融会贯通，是解题关键． 2．数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断． (1)在图中画出绕点顺时旋转60°后的，并判断的形状是___________； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)由（1）、（2）两问可知：___________． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形，理由见解析 (3)150° 【分析】(1)利用旋转的定义，画出△AP1B；连接PP1，根据旋转的性质得AP1 = AP，∠PAP1 = 60°，则利用等边三角形的判定方法可判断△AP1 P为等边三角形； (2)根据旋转的性质得BP1 = PC=5，再利用△AP1 P为等边三角形得到PP1 = AP= 3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△BP1P为直角三角形，∠BPP1 = 90°； (3)由∆AP1P为等边三角形得到∠APP1 = 60°，由(2)得∠BPP1 = 90°，则∠APB=∠APP1＋∠BPP1， 即可求解． 【详解】（1）如图，△AP1 B为所作；连接PP1， △AP1 P为等边三角形理由如下： ∵△APC绕点A顺时针旋转60°后得△AP1 B， ∴AP1=AP， ∠PAP1 = 60°， ∴△AP1P为等边三角形； （2）∵△AP1P为等边三角形； ∴PP1=AP=3， 又根据旋转的性质得BP1=PC=5， PP12 + PB2=32+42=25， BP12=CP2=52=25， ∴PP12 + PB2=BP12 ∴△BP1P为直角三角形，∠BPP1 = 90°； （3）∵△APP1为等边三角形， ∴∠APP1 = 60°， 而∠BPP 1= 90°； ∴∠APB= 90°+ 60°= 150°， 故答案为：150°． 【点睛】本题考查了作图一旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理． 3．如图，点是正方形中一点，将绕点顺时针旋转．    (1)画出旋转后的； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的基本性质和全等三角形基本性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）根据题意画图即可． （2）如图，连接，根据旋转可得，则，故，，证明是直角三角形，则，即可求解． 【详解】（1）解：画出旋转后的，如解图，    （2）解：如图，连接， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 又， 是直角三角形，且， ． 【题型5 费马点模型】 1．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析 (2)7 (3) 【分析】（1）①根据题目所给的推理步骤即可解答；②当时，根据大边对大角得出，进而求出顶点A到另两个顶点距离和最小，即可求证； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， 求出，则，根据勾股定理可得：，最后根据勾股定理得出即可求解； （3）根据题意可得：总的铺设成本为万元，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求出，则当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，用和（2）同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由几何公理：两点之间选的最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．    ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵， ∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”．    （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，    由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则 根据勾股定理可得：， ∴； （3）解：根据题意可得： 总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为， ∴总铺设成本最少为万元． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 2．已知是等腰直角三角形，，． (1)如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：； (2)如图，点M在外，，，，求． (3)如图，在中，，，，点P是三角形内一点，连，，，则的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）设、交于，根据等腰直角三角形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到； （2）作，且，连接，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到 ，过作于，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到； （3）如图3中，将绕点逆时针旋转得到，得到，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：设、交于， ，都是等腰直角三角形，，， ， ，即， ， ， 又， ， ； （2）解：作，且，连接，， 为等腰直角三角形， ， ∵是等腰直角三角形，，． ∴，即， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ，， ∴ ， ； （3）解：如图3中， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，， 在中，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．如图，点P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，将绕点B逆时针旋转60°得到，其中点P的对应点是Q． (1)请画出（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点与点为圆心，以长为半径画弧，交于点 ，同理，以点 与点 为圆心，以 长为半径画弧，交于点 ，连接，， ，则 为所求三角形； （2）过点D作BC的垂线，垂足为E，连接PQ，CD，由题可知，即可证得是等边三角形，根据是等边三角形，即可得到、的长，继而根据勾股定理求得、的长，于是根据由两点之间，线段最短可得，故当C，P，Q，D四点共线时，即可得到的最小值． 【详解】（1）解： 如图所示，即为所求作的三角形． （2）解：过点D作BC的垂线，垂足为E，连接PQ，CD， ∴． ∵绕点B逆时针旋转60°得到，其中点P的对应点是Q， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，∴， ∴，∴． 在中，． 在中，． 由两点之间，线段最短可得， 当且仅当C，P，Q，D四点共线时，等号成立， ∴，即， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，尺规作三角形，掌握相关性质以及定理是解题的关键． 4．【阅读理解】 （1）如图1，等边内有一点，若，求的度数． 将绕顶点旋转至处，得，可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程． 【基本运用】 （2）请你利用第（1）题的解答方法，解答问题： 如图2，中，为上的点，且，，求的长． 【能力提升】 （3）如图3，在中，，点为内一点，连接则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可以得到边相等角相等，再利用相等的边证明三角形全等，最后进行等边转化，进而求出的长； （3）根据旋转的性质可以得到等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求出当四点共线的时候的值最大，最后根据勾股定理即可得到值． 【详解】（1）解：∵由旋转的性质可知 ∴，， ∴ ∴为等边三角形，， ∴ ∴是直角三角形 ∴ （2）解：如图所示，把绕点逆时针旋转得到 由旋转的性质可知，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在和中 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴由勾股定理： ∴ ∵， ∴ （3）解： ∵在中，，， ∴ ∴ ∵绕点顺时针方向旋转 ∴如图所示 ∴ ∵，， ∴ ∵绕点顺时针方向旋转，得到 ∴，， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∴当四点共线，的值最小 在中 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，利用旋转构造全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $