专题1.1 三角形内角和定理 同步讲义（题型归纳+题型解读+达标测试）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册.

专题1.1 三角形内角和定理 同步讲义 （新教材·北师大版） ★题型归纳 题型1三角形内角和定理的证明 题型2与平行线有关的三角形内角和问题 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4三角形内角和定理的应用 题型5三角形折叠中的角度问题 题型6三角形的外角的定义及性质 题型7多边形的概念与分类 题型8多边形截角后的边数问题 题型9多边形对角线的条数问题 题型10对角线分成的三角形个数问题 题型11多边形内角和问题 题型12正多边形的内角问题 题型13多（少）算一个角问题 题型14多边形截角后的内角和问题 题型15正多边形的外角问题 题型16多边形外角和的实际应用 题型17多边形内角和与外角和综合 题型18平面镶嵌 题型19达标测试 ☘知识清单 知识点一、三角形内角和定理 1.三角形三个内角的和等于180°。 常用推论: 直角三角形的两个锐角互余（和为90°）； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 一个三角形中最多有一个钝角或一个直角，至少有两个锐角。 知识点二、多边形的基本概念 1.在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 2.各边、各角都相等的多边形叫做正多边形。 3.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线。 知识点三、多边形内角和公式 n边形内角和：(n−2)×180∘（n≥3，n 为整数） 知识点四、多边形外角和 任意多边形的外角和都等于 360°，与边数 n 无关。 知识点五、正多边形相关计算 设正 n 边形： 那么每个内角的度数:​；每个外角的度数:​ 已知外角度数求边数：n=​ 知识点六、多边形对角线条数 n边形对角线总条数：​ 知识点七、常用结论 1.正三角形（等边三角形）：每个内角 60°，外角 120° 2.正方形：每个内角 90°，外角 90° 3.正五边形：内角 108° 4.正六边形：内角 120° 5.任意多边形外角和恒为 360° 知识点八、常见题型 1.利用内角和公式求多边形边数； 2.已知内角求外角，或已知外角求边数； 3.正多边形内角度数、外角度数计算； 4.结合三角形内角和进行角度综合计算； 5.对角线数量计算。 ✏题型解读 题型1三角形内角和定理的证明 例1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 变式1．如图，，，．若，则________．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，由题意可证，可得，再根据三角形内角和即可得． 【详解】证明：如图，设交于点，    在和中， ， ， ， ，,， ． 故答案为：． 变式2．如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 题型2与平行线有关的三角形内角和问题 例2．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 变式1．如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________． 【答案】/90度 【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴． 变式2．．如图，若，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义可知的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 变式1．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 变式2．．如图，已知是的角平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到； （2）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型4三角形内角和定理的应用 例4．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质与三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图所示，记与相交于点， ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 变式1．将一块三角板和一块直尺按照如图所示的位置摆放，若，，则的度数_________． 【答案】 【分析】首先根据平行线的性质求得的度数，然后在中，利用内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 在中， ． 变式2．．如图，已知，平分，平分，点D是射线上一动点，连接，当D点在射线（不包括B点）上滑动时 (1)求度数； (2)的度数是否发生变化？若不变请求出度数？若变化，说明理由． 【答案】(1) (2)的度数不会发生变化，度数是 【分析】（1）根据，得出，根据平分，平分，得出，则，再根据三角形内角和定理即可得． （2）根据三角形外角的性质和，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点D是射线上一动点， ∴， ∵， ∴． 故的度数不会发生变化，度数是． 题型5三角形折叠中的角度问题 例5．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 变式1．如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的下方；当点在的上方，分别画图解答即可． 【详解】解：当点在的下方，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的上方，如图，    ∵，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 变式2．．如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 题型6三角形的外角的定义及性质 例6．如图，从光源点发出一束光，过凸透镜焦点的光线，经凸透镜折射后平行于主光轴（即：）射出，过光心的光线，不改变方向．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线平行同位角相等、三角形外角性质列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，， ， ∵是的一个外角， ∴， ． 变式1．如图，在中，点D在的延长线上，点E在的延长线上，点F在上，则__________．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角的定义及性质，掌握三角形外角等于与其不相邻的两个内角和是解题的关键． 根据三角形外角的性质，得到，，进而可得． 【详解】解：由题可知，为的外角， ， ， 又为的外角， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．如图，在中，是的角平分线，，交于点，，，求各内角的度数． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角的性质，求出的度数，角平分线求出的度数，平行线的性质求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ． ，交于点， ， ， ． 题型7多边形的概念与分类 例7．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 变式1．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 变式2．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形______________是正边形（填“一定”或“不一定”）； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______________条对角线． 【答案】(1)不一定 (2)这个边形的内角和为； (3)3 【分析】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线， （1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可； （2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可； （3）根据从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，据此列式解答即可． 【详解】（1）解：∵一个边形的每一个外角都等于， ∴该边形的每一个内角都等于：， 但该n边形的各边不一定都相等， 故该边形不一定是正边形， 故答案为：不一定； （2）解：∵多边形的外角和是， ∴， ∴内角和是：， ∴这个边形的内角和为； （3）解：从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线， ∵， ∴， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出3条对角线． 故答案为：． 题型8多边形截角后的边数问题 例8．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 变式1．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 变式2．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下几个角？画图说明． 【答案】还剩下3个或4个或5个角，见解析 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 综上，还剩下3个或4个或5个角． 题型9多边形对角线的条数问题 例9．过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的一个顶点可以引出条对角线，即可求解． 【详解】解：过六边形的一个顶点可以引出对角线的数量为条． 变式1．已知一个边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点出发可以画_____条对角线． 【答案】10/十 【分析】本题考查了多边形内角和以及多边形对角线，解题关键是掌握边形的内角和为，从一个顶点出发可以画条对角线．设多边形的边数为，利用多边形内角和公式求出边数，再求从一个顶点出发的对角线条数． 【详解】解：设多边形的边数为， 则内角和为， 解得， 即从一个顶点出发的对角线条数为， 故答案为：10． 变式2．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 题型10对角线分成的三角形个数问题 例10．如果从多边形的一个顶点可以画出a条对角线，那么这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，将n边形分为个三角形．据此求解即可． 【详解】解：设该多边形为边形， ∵从一个顶点可以作条对角线， ∴， ∴， ∵这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为， ∴三角形个数为． 变式1．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成9个三角形，则这个多边形的边数为________． 【答案】11 【分析】根据多边形对角线的性质，从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，n为多边形边数． 【详解】解：∵过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成9个三角形， ∴这个多边形的边数为． 变式2．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）（2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据探索，可发现规律从而得到答案． 【详解】（1）解：根据公式 当 时为 通过以上分析和总结，图①共有条对角线． （2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有条对角线，图③共有条对角线． （3）解：对于n边形（），从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，因为有个顶点，且每条对角线重复计算了一次，所以共有条对角线． （4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作条对角线，它把四边形分为个三角形； 五边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 六边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成个三角形． 题型11多边形内角和问题 例11．如图，四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 故． 变式1．若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 【答案】 5 【详解】解：设该多边形的边数为. 根据多边形内角和公式，得 解得． 变式2．（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【答案】（1）10 （2）27 【分析】（1）根据内角与相邻外角互补的关系，结合题目条件求出单个外角的度数，再利用多边形外角和为，即可求出边数； （2）先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式计算即可得到结果，掌握相关计算公式是解题的关键． 【详解】解：（1）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得 ： ， 解得， 多边形的外角和为， 这个多边形的边数为； （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线． 题型12正多边形的内角问题 例13．如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 变式1．如图，在正八边形中，对角线交于点，则__________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质得出是它的一条对称轴，，即可得出的度数，从而求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴是它的一条对称轴，， ∴， ∴， ∴． 变式2．如下图，若用五个相同的等腰三角形拼成的五边形图案是正五边形，求等腰三角形的顶角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的内角计算，等腰三角形的性质，掌握正五边形内角的计算方法，结合等腰三角形的角度关系推导顶角是解题的关键． 先计算正五边形的内角，再结合等腰三角形的角度关系，推导顶角的度数． 【详解】解：如图，该五边形是用五个全等的等腰三角形拼成的，且是正五边形， ，，， ， ， ． 题型13多（少）算一个角度 例13．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 变式1．如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 变式2．小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【答案】， 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 题型14多边形截角后的内角和问题 例14．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形． 则， 解得：， ∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， ∴原多边形的边数可能为7或8或9， 故选：D． 变式1．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 变式2．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 题型15正多边形的外角问题 例15．若一个八边形的每个外角都是，则x的值为（   ） A．30 B．45 C．135 D．150 【答案】B 【分析】根据任意多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，八边形的每个外角都是， ∴， 即． 变式1．若正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数是_________． 【答案】10 【分析】任意多边形的外角和都为，正多边形每个外角都相等，根据该性质计算即可得到边数． 【详解】解：这个正多边形的边数为． 变式2．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了 (2) 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，得这个正多边形的外角为， 该正多边形的边数为， ． 答：小明一共走了． （2） 解：由（1）知这个正多边形的边数为9边形，则这个正多边形的内角和为． 题型16多边形外角和的实际应用 例16．如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 变式1．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【答案】 【分析】本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周． 【详解】解：依据题中的图形，可知机器人一共转了， ∵， ∴机器人一共行走． ∴该机器人从开始到停止所需时间为． 变式2．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型17多边形内角和与外角和综合 例17．一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【答案】B 【分析】根据任意四边形外角和为，以及外角的比例求出四个外角的度数，再计算对应内角，判断锐角个数即可． 【详解】解：设四个外角的度数分别为，，，， ∵任意多边形的外角和为， ∴， 解得， ∴四个外角分别为，，，， ∵内角与相邻外角和为， ∴四个内角分别为，，，， ∵锐角是小于的角，此处和为锐角， ∴这个四边形有2个锐角． 变式1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 变式2．（1）十二边形的内角和是多少度？ （2）如果一个多边形的内角和是外角和的倍，那么这个多边形的边数是多少？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，列式计算即可得解； （2）边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：（1）十二边形的内角和是． （2）设这个多边形的边数为， 依题意得：， 解得， 故这个多边形的边数为． 题型18平面镶嵌 例18．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 变式1．图形的镶嵌（或称图形的密铺）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如果我们只用一种正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是①正三角形②正方形③正五边形④正六边形_____．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查平面镶嵌的知识，正多边形能单独镶嵌的关键是在一个公共顶点处，各正多边形的内角之和为，据此判断各正多边形内角是否能整除即可． 【详解】解：正三角形的内角为，，即6个正三角形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 正方形的内角为，，即4个正方形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 正五边形的内角为，，不是整数，无法使顶点处内角和为，不能镶嵌． 正六边形的内角为，，即3个正六边形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 变式2．相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答． （1）利用内角的整数倍能等于即可； （2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系求解即可； 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵正三角形的内角和为， ∴正三角形的每一个内角为． ∵， ∴正三角形能镶嵌成一个平面图形． （2）解：能，理由如下： ∵正十二边形的内角和为， ∴正十二边形的每一个内角为． ∵， ∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形． ✍ 达标测试 一、单选题 1．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 2．若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质，求出正多边形的边数，即可得出答案． 【详解】． ∴该正多边形的内角和的度数为． 3．如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角平分线求出，由三角形外角的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴ ∴． 4．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形内角的计算及三角形内角和定理，正确理解正多边形的内角计算公式是解题的关键． 根据正多边形的内角计算公式和多边形的外角知识，推出，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示： 正五边形的每一个内角都等于， ， 正六边形的每一个内角都等于， ， ． 故选：D． 5．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 6．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 二、填空题 7．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 【答案】1080 【分析】根据n边形从一个顶点出发的对角线条数为，结合已知条件求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得 ． 解得． 根据多边形内角和公式，得： ． 8．已知三角形中一个内角的余角是，则与这个内角相邻的外角是________ 度． 【答案】140 【分析】根据余角的定义先求出原内角的度数，再根据邻补角的和为，计算得到这个内角相邻的外角的度数即可. 【详解】解：∵三角形中一个内角的余角是， ∴这个内角的度数为 ， ∵这个内角与它相邻的外角（邻补角）的和为， ∴这个内角相邻的外角为. 9．如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 10．如图，直线，，，则的度数为_____． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 11．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 【答案】90 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解决本题的关键是求解出正多边形的边数． 利用多边形外角和为求出正多边形的边数，进而求得其周长． 【详解】解：因为小明每次向右转的角度就是这个正多边形的外角， 已知每次向右转，且多边形的外角和是固定的． 设这个正多边形的边数为，可得， 即这个正多边形是九边形． 已知小明每次前进米， 可得该正多边形的周长米． 故答案为：． 12．如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则______度． 【答案】55 【分析】首先，由折叠的性质得，，再由平角的定义得，进而得出，最后，由三角形的内角和定理得出结论即可． 【详解】解：∵将纸片沿折叠，点落在点处， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 三、解答题 13．请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【答案】(1) (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和均为360度进行求解即可； （2）设甲的边数为n，则乙的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴甲与乙的外角和相加的度数为； （2）解：设甲的边数为n，则乙的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲的边数为3，乙的边数为9． 14．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和为是解本题的关键． （1）直接根据多边形对角线公式求解即可； （2）根据多边形的外角和为，然后根据多边形内角和列方程求解即可． 【详解】（1）解：，多边形对角线为 （2）解： 解得． 15．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 16．如图，六边形． (1)过点作这个多边形的对角线共有______条，这些对角线把多边形分成的三角形个数是______个； (2)连接，若，，，求的值． 【答案】(1)3，4 (2) 【分析】本题考查多边形的对角线，多边形的内角和： （1）根据从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，把边形分成个三角形进行求解即可； （2）根据平行线的性质，推出，根据多边形的内角和公式，求出六边形的内角和再减去的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵六边形， ∴过点作这个多边形的对角线共有条，这些对角线把多边形分成的三角形个数是个； 故答案为：3，4； （2）∵，， ∴， ∴， 即：， ∴． 17．（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键． （1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答； （2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答． 【详解】证明：（1）如图，过点A作直线l，使． ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得 解得． 18．如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角形内角和定理 同步讲义 （新教材·北师大版） ★题型归纳 题型1三角形内角和定理的证明 题型2与平行线有关的三角形内角和问题 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4三角形内角和定理的应用 题型5三角形折叠中的角度问题 题型6三角形的外角的定义及性质 题型7多边形的概念与分类 题型8多边形截角后的边数问题 题型9多边形对角线的条数问题 题型10对角线分成的三角形个数问题 题型11多边形内角和问题 题型12正多边形的内角问题 题型13多（少）算一个角问题 题型14多边形截角后的内角和问题 题型15正多边形的外角问题 题型16多边形外角和的实际应用 题型17多边形内角和与外角和综合 题型18平面镶嵌 题型19达标测试 ☘知识清单 知识点一、三角形内角和定理 1.三角形三个内角的和等于180°。 常用推论: 直角三角形的两个锐角互余（和为90°）； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 一个三角形中最多有一个钝角或一个直角，至少有两个锐角。 知识点二、多边形的基本概念 1.在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 2.各边、各角都相等的多边形叫做正多边形。 3.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线。 知识点三、多边形内角和公式 n边形内角和：(n−2)×180∘（n≥3，n 为整数） 知识点四、多边形外角和 任意多边形的外角和都等于 360°，与边数 n 无关。 知识点五、正多边形相关计算 设正 n 边形： 那么每个内角的度数:​；每个外角的度数:​ 已知外角度数求边数：n=​ 知识点六、多边形对角线条数 n边形对角线总条数：​ 知识点七、常用结论 1.正三角形（等边三角形）：每个内角 60°，外角 120° 2.正方形：每个内角 90°，外角 90° 3.正五边形：内角 108° 4.正六边形：内角 120° 5.任意多边形外角和恒为 360° 知识点八、常见题型 1.利用内角和公式求多边形边数； 2.已知内角求外角，或已知外角求边数； 3.正多边形内角度数、外角度数计算； 4.结合三角形内角和进行角度综合计算； 5.对角线数量计算。 ✏题型解读 题型1三角形内角和定理的证明 例1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 变式1．如图，，，．若，则________．    变式2．如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 题型2与平行线有关的三角形内角和问题 例2．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________． 变式2．．如图，若，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 变式2．．如图，已知是的角平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型4三角形内角和定理的应用 例4．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式1．将一块三角板和一块直尺按照如图所示的位置摆放，若，，则的度数_________． 变式2．．如图，已知，平分，平分，点D是射线上一动点，连接，当D点在射线（不包括B点）上滑动时 (1)求度数； (2)的度数是否发生变化？若不变请求出度数？若变化，说明理由． 题型5三角形折叠中的角度问题 例5．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 变式2．．如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    题型6三角形的外角的定义及性质 例6．如图，从光源点发出一束光，过凸透镜焦点的光线，经凸透镜折射后平行于主光轴（即：）射出，过光心的光线，不改变方向．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，点D在的延长线上，点E在的延长线上，点F在上，则__________．（填“”“ ”或“”） 变式2．如图，在中，是的角平分线，，交于点，，，求各内角的度数． 题型7多边形的概念与分类 例7．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 变式1．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 变式2．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形______________是正边形（填“一定”或“不一定”）； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______________条对角线． 题型8多边形截角后的边数问题 例8．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 变式1．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 变式2．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下几个角？画图说明． 题型9多边形对角线的条数问题 例9．过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 变式1．已知一个边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点出发可以画_____条对角线． 变式2．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 题型10对角线分成的三角形个数问题 例10．如果从多边形的一个顶点可以画出a条对角线，那么这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为（   ） A．a B． C． D． 变式1．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成9个三角形，则这个多边形的边数为________． 变式2．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． 题型11多边形内角和问题 例11．如图，四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 变式2．（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 题型12正多边形的内角问题 例13．如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在正八边形中，对角线交于点，则__________． 变式2．如下图，若用五个相同的等腰三角形拼成的五边形图案是正五边形，求等腰三角形的顶角的度数． 题型13多（少）算一个角度 例13．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式1．如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 变式2．小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 题型14多边形截角后的内角和问题 例14．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 变式1．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 变式2．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 题型15正多边形的外角问题 例15．若一个八边形的每个外角都是，则x的值为（   ） A．30 B．45 C．135 D．150 变式1．若正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数是_________． 变式2．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 题型16多边形外角和的实际应用 例16．如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 变式1．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 变式2．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型17多边形内角和与外角和综合 例17．一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 变式1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 变式2．（1）十二边形的内角和是多少度？ （2）如果一个多边形的内角和是外角和的倍，那么这个多边形的边数是多少？ 题型18平面镶嵌 例18．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 变式1．图形的镶嵌（或称图形的密铺）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如果我们只用一种正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是①正三角形②正方形③正五边形④正六边形_____．（填序号） 变式2．相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． ✍ 达标测试 一、单选题 1．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 6．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 二、填空题 7．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 8．已知三角形中一个内角的余角是，则与这个内角相邻的外角是________ 度． 9．如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 10．如图，直线，，，则的度数为_____． 11．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 12．如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则______度． 三、解答题 13．请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 14．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 15．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 16．如图，六边形． (1)过点作这个多边形的对角线共有______条，这些对角线把多边形分成的三角形个数是______个； (2)连接，若，，，求的值． 17．（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 18．如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $