第九章　图形的相似 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第九章　图形的相似 2　平行线分线段成比例 1        平行线分线段成比例的基本事实 1.(2024黑龙江哈尔滨中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC, 点E在AB上,EF∥AD交CD于点F,若AE∶BE=1∶2,DF=3,则 FC的长为 (　　　)   A.6　　　    B.3　　　    C.5　　　    D.9     A     解析　∵在四边形ABCD中,AD∥BC,EF∥AD, ∴AD∥EF∥BC,∴ = ,即 = , ∴FC=6.故选A. 2.(2025山东淄博周村一中月考改编)如图,直线l1∥l2∥l3,直 线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.若 = ,DE=2, 则EF的长是 (　　　)   A.4　　　    B.6　　　    C.1　　　    D.2     A     解析　∵直线l1∥l2∥l3,∴ = , ∵ = ,DE=2,∴ = ,∴DF=6, ∴EF=DF-DE=4.故选A. 3.图1是李华新购买的置物架,示意图如图2,其中AB∥CD∥ EF,AF与BE相交于点G,如果AG=40 cm,GD=20 cm,DF=80 cm, 求BC∶CE的值. 　　　图1     图2 解析　∵AB∥CD∥EF,∴ = , ∵AG=40 cm,GD=20 cm,DF=80 cm, ∴ = = .  　平行线分线段成比例的基本事实的推论 4.【学科特色·教材变式P92例】(2025山东淄博张店期末)如 图,在△ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,且EF∥BC.若AE= 2,BE=4,AF=1,则FC的长是 (　　　)   A. 　　　    B.1　　　    C.2　　　    D.3     C     解析　∵EF∥BC,∴ = ,即 = ,∴FC=2.故选C. 5.如图所示,在平面直角坐标系中,点A,C在y轴上,点B,D在x轴 上,并且AB∥CD,若点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(3,0),点D 的坐标为(7,0),求四边形ABDC的面积.   解析　根据题意,得OA=2,OB=3,OD=7. ∵AB∥CD,∴ = ,∴ = ,∴OC= , ∴S四边形ABDC=S△OCD-S△OAB= ×7× - ×2×3= , 即四边形ABDC的面积为 .   6.(2025山东青岛莱西期末,★★☆)已知下列图中的虚线均为 平行线,则线段a,b,c,d的数量关系为ab=cd的是 (　　　)  　　　       　　　          C     解析    A.∵虚线均为平行线,∴ = ,∴ad=bc,不符合题意; B.∵虚线均为平行线,∴ = ,∴ad=bc,不符合题意;C.∵虚线均 为平行线,∴ = ,∴ab=cd,符合题意;D.∵虚线均为平行线, ∴ = ,∴ac=bd,不符合题意.故选C. 7.【学科特色·数形结合思想】(2025山东烟台莱州期中,★★ ☆)如图所示,直线l1∥l2∥l3,直线l1,l2,l3对应刻度尺上的刻度读 数分别是5 cm,8 cm,14 cm,若AC=12 cm,则BC=_________cm.       8     解析　如图,设BC的长为x cm,   ∵l1∥l2∥l3,∴ = , ∵DE=8-5=3(cm),EF=14-8=6(cm),AC=12 cm, ∴ = ,解得x=8,∴BC=8 cm. 8.【学科特色·分类讨论思想】(★★☆)在△ABC中,AB=6,AC =12,点D在直线AB上,且AD=2,过点D作DE∥BC交边AC所在 直线于点E,则CE的长为____________.     8或16     解析　如图1,当点D在边AB上时, ∵AB=6,AC=12,AD=2,∴BD=AB-AD=6-2=4, ∵DE∥BC,∴ = ,即 = ,∴CE=8.  　      如图2,当点D在边BA的延长线上时, ∵AB=6,AC=12,AD=2,∴BD=AB+AD=6+2=8, ∵DE∥BC,∴ = ,即 = ,∴CE=16. 综上,CE的长为8或16. 9.(2025山东泰安新泰期末,★★☆)如图,在△ABC中,延长CB 至点D,使BD=BC,在AC上取一点F,连接DF交AB于点E,过点F 作FH∥AB交CD于点H,已知AC= ,DE=3,EF=2. (1)求DB∶BH的值. (2)求AF的长.   解析    (1)∵DE=3,EF=2,∴DE∶EF= , ∵FH∥AB,∴DB∶BH=DE∶EF= . (2)∵BD=BC,DB∶BH= ,∴BC∶BH= , ∵FH∥AB,∴AC∶AF=BC∶BH= , ∵AC= ,∴AF= .   10.【新课标·抽象能力】在△ABC中,D为BC边的中点,E为AC 边上任意一点,BE交AD于点O,李瑞同学在研究某一问题时,发 现: (1)当 = = 时,有 = = (如图①); (2)当 = = 时,有 = = (如图②); (3)当 = = 时,有 = = (如图③).   在图④中,当 = (n为正整数)时,参照上述研究结论,请用 含n的代数式表示 的一般结论并证明. 解析     = (n为正整数).证明如下: 过点D作DF∥BE交AC于F,如图,   ∵DF∥BE,∴ = =1,∴EF=CF. ∵ = ,∴ = ,∴ = = , ∵OE∥DF,∴ = = , ∴ = (n为正整数). $第九章　图形的相似 第1课时　位似图形的定义、性质及画法 9　利用位似放缩图形  　位似多边形的概念 1.(2025山东日照东港月考)下列相似图形不是位似图形的是  (　　　)  　　　       　　　          D     解析    A,B,C中的两个相似图形都是位似图形;D中的两个相 似图形对应顶点的连线不能相交于一点,故不是位似图形.故 选D.  　位似图形的性质 2.如图,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变化 得到的,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是 (　　　) A.2DE=3MN　　　    B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F　　　   D.2∠A=3∠F     B     解析　由题意得DE∶MN=AB∶FG=2∶3, ∴3DE=2MN.故选B. 3.(2024四川攀枝花中考)如图,△ABC与△DEF是位似图形,点 O为位似中心.已知OA∶AD=2∶1,则△ABC与△DEF的相似 比为 (　　　)   A.2∶3　　　    B.1∶3 C.2∶1　　　    D.3∶2     A     解析　∵ = ,∴ = , ∵△ABC与△DEF是位似图形,点O为位似中心,∴AC∥DF, ∴ = = .故选A. 4.(2025山东菏泽定陶期中)若一个多边形的内角和为1 080°, 则这个多边形的位似图形是______边形. 　八     解析　设n边形的内角和为1 080°, ∴(n-2)×180°=1 080°,解得n=8, 则原多边形是八边形, ∴这个多边形的位似图形是八边形. 5.如图,△DEF是△ABC经过位似变化得到的,位似中心是 点O,请确定点O的位置,如果OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,求这两个 三角形的相似比.   解析　如图,连接AD,CF,相交于一点,这一点即为点O.   因为OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,所以OC∶OF=3∶2, 所以△ABC与△DEF的相似比为3∶2.  　位似图形的画法 6.【学科特色·教材变式P125T2】如图,已知五边形ABCDE,试 把它的边缩小为原来的 ,画出一种满足条件的图形.   解析　在五边形ABCDE的外部任取一点O,连接OA,OB,OC, OD,OE,分别取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连 接A',B',C',D',E',A',即五边形A'B'C'D'E'是五边形ABCDE各边缩 小为原来的 得到的图形,如图.答案不唯一.   7.如图,作出以O点为位似中心、与四边形ABCD位似的图形, 且它与四边形ABCD的相似比为2∶1.   解析　如图,四边形A'B'C'D'和四边形A″B″C″D″即为所 求.     8.(2025山东临沂郯城四中模拟,★★☆)茗茗同学在活动课上 做“小孔成像”实验,他认为小孔成像是光在均匀介质中沿 直线传播形成的一种物理现象,也可以利用数学知识解决隐 藏在其中的问题.如图,若OB=30 cm,OB'=20 cm,蜡烛火焰倒立 像A'B'=6 cm,则下列说法中,错误的是 (　　　)       D     A.蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形 B.△ABO∽△A'B'O C.蜡烛火焰AB的长是9 cm D.线段AB的中点与线段A'B'的中点的连线不一定经过点O 解析　由题意得,AB∥A'B', ∴∠ABO=∠A'B'O, ∵∠AOB=∠A'OB', ∴△ABO∽△A'B'O, ∵蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'的任意一组对应点的连 线都经过点O, ∴蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形, ∵△ABO∽△A'B'O, ∴ = ,即 = ,∴AB=9 cm, ∴蜡烛火焰AB的长是9 cm, 故A,B,C选项正确; 线段AB的中点与线段A'B'的中点的连线一定经过点O,故D选 项不正确.故选D. 9.(2025黑龙江绥化海伦模拟,★★☆)如图,△ABC与△A'B'C' 位似,位似中心为O.△ABC与△A'B'C'的面积之比为9∶1,若 OA'=4,则OA的长度为     (　　　)   A.6　　　   　 B.12 C.18　　　     D.20     B     解析　∵△ABC与△A'B'C'位似, ∴△ABC∽△A'B'C',A'B'∥AB, ∴∠ABO=∠A'B'O,∠BAO=∠B'A'O, ∴△ABO∽△A'B'O,∴ = , ∵△ABC与△A'B'C'的面积之比为9∶1, ∴ =3,∴ =3, ∵OA'=4,∴OA=12.故选B. 10.【新考向·数学文化】(2025广东深圳南山三模,★★☆) 《周髀算经》记载:“圆出于方,方出于矩.”度方知圆,感悟数 学之美.如图,正方形ABCD的边长为2,以其对角线交点为位似 中心,作它的位似图形A'B'C'D',若AB∶A'B'=1∶2,则四边形A'B 'C'D'的面积是__________.       16     解析　∵正方形ABCD的边长为2, ∴正方形ABCD的面积为4, ∵正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是位似图形, AB∶A'B'=1∶2, ∴正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的相似比为1∶2, ∴正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的面积比为1∶4, ∴正方形A'B'C'D'的面积为4×4=16. 11.(2025山东淄博高新区期末,★★☆)如图,在由边长为1个单 位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点和点O均为格 点(网格线的交点). (1)以点O为位似中心,在网格中画出△ABC的位似图形△A1B1 C1,且满足△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2. (2)若△ABC的面积为3 cm2,求△A1B1C1的面积.   解析    (1)如图,△A1B1C1即为所求.   (2)∵△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2, ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1∶4. ∵△ABC的面积为3 cm2, ∴△A1B1C1的面积为12 cm2.   12.【新课标·抽象能力】(2025山东聊城东阿期中)由12个有 公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形,已知∠AOB= ∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB 位似的三角形的面积为 (　　　)       C     A. 　　　    B. 　　　     C. 　　　    D.  解析 　在Rt△AOB中,∠AOB=30°,设AB=a,则OB=2a,OA= a, ∴OB= OA,同理OC= OB,∴OC= OA, …… 依此类推,OG= OA, 由位似图形的概念可知,△GOH与△AOB位似,且相似比为  ∶1, ∵S△AOB=1,∴S△GOH= = .故选C. $第九章　图形的相似 6　黄金分割    　黄金分割的有关概念 1.(2025山东济南历下一模)如图,点C是线段AB的黄金分割点 (AC>BC),下列结论错误的是 (　　　)   A. = 　　　   　 B.BC2=AC·AB C. = 　　　     D. ≈0.618     B     解析　∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC), ∴ = = ≈0.618,∴AC2=AB·BC.故选项A,C,D中结论 正确,B中结论错误.故选B. 2.【新考向·数学文化】(2025山东青岛崂山期中)黄金分割在 文艺复兴时期被视为金子般的比例,比值约等于0.618.有研究 发现,成人的理想体重与身高的关系是体重(kg)=身高(cm)× (1-0.618).若王老师的身高是170 cm,则下列选项中,最接近她的 理想体重的是 (　　　) A.60 kg　　　    B.63 kg　　　    C.65 kg　　　    D.67 kg     C     解析　王老师的理想体重=170×(1-0.618)≈65(kg).故选C. 3.【新考向·数学文化】(2025山东济南市中二模)古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度 之比是 ,著名的“断臂维纳斯”便是如此,如图.若小明 的身高满足此比例,且肚脐至足底的长度为108 cm,则小明的 身高约为 (　　　)   A.155 cm　　　    B.165 cm　　　     C.175 cm　　　    D.185 cm     C     解析　设小明的身高为x cm,则 = , 解得x=54( +1)≈175, ∴小明的身高约为175 cm.故选C. 4.如图,点C是线段AB的黄金分割点,即 = ,若S1表示以 CA为边的正方形的面积,S2表示长为AB,宽为CB的矩形的面 积,则S1与S2的大小关系是 (　　　)   A.S1>S2　　　    B.S1<S2 C.S1=S2　　　    D.无法确定     C     解析　∵ = ,∴AC2=BC·AB,∴ = =1,∴S1=S2.故 选C. 5.【跨生物·树叶】(2025山东济南市中月考)大自然巧夺天工, 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金 分割点(AP>PB),如果AB的长为8,那么AP的长是____________.       4 -4     解析　因为P是AB的黄金分割点(AP>PB), 所以 = ,所以AP=8× =4 -4. 6.【学科特色·方程思想】如图,若P,Q是线段AB上的两个黄 金分割点,且PQ=2 -4,则AB=_________.       2     解析　设AB=x, ∵P,Q是线段AB上的两个黄金分割点, ∴AQ=BP= x, ∴AP=AB-BP=x- x= x, ∵PQ=AQ-AP, ∴ x- x=2 -4,解得x=2.∴AB=2. 7.【学科特色·教材变式P113T2】宽与长之比为 ∶1的 矩形叫黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、 匀称的美感,如图,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么 矩形CDFE还是黄金矩形吗?请证明你的结论.   解析　矩形CDFE是黄金矩形. 证明:由题意知AB=DC=AF, ∵ = ,∴ = , ∴点F是线段AD的黄金分割点, ∴ = = ,∴ = , ∴矩形CDFE是黄金矩形.   8.(2024四川南充中考,★★☆)如图,已知线段AB,按以下步骤 作图:①过点B作BC⊥AB,使BC= AB,连接AC;②以点C为圆 心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长 为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为 (　　　)       A     A. 　　　    B.  C. -1　　　      D. -2 解析　设AB的长为2a,则BC= AB=a, 在Rt△ABC中,AC= = a. 因为CD=CB,AE=AD,所以AE=AD=AC-CD=( -1)a, 则AE= AB,所以m的值为 .故选A. 9.【新课标·中华优秀传统文化】(2024山西中考,★★☆)黄金 分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书 写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端 点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔 画“丶”的位置在AB的黄金分割点C处,且 = .若NP= 2 cm,则BC的长为_____________cm(结果保留根号).     ( -1)     解析　∵四边形MNPQ是正方形, ∴MN∥PQ,∠N=90°, 又∵AB∥NP,∴四边形ANPB是平行四边形, ∵∠N=90°,∴四边形ANPB是矩形, ∴AB=NP=2 cm. ∵ = ,∴BC=( -1)cm. 10.(2025山东青岛市南期中,★★☆)如图,点C是线段AB的黄 金分割点(AC>BC),如果分别以点C,B为圆心,AC的长为半径 作弧相交于点D,那么∠B的度数是___________.       72°     解析　∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),∴AC2=BC·AB, 由作图得,CD=AC=BD,∴BD2=BC·AB, 即BD∶BC=AB∶BD, 又∠ABD=∠DBC,∴△BDC∽△BAD, ∴∠A=∠BDC, 设∠A=x,∵CD=AC,∴∠ADC=∠A=x, ∴∠DCB=∠ADC+∠A=2x,又∵CD=BD,∴∠DCB=∠B=2x, ∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,∴∠B=72°.   11.【新课标·推理能力】如图,在△ABC中,点D在边AB上,且 BD=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2. (1)求∠B的度数. (2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的一腰长与底边长的比(或者底边长与一腰长的比)等于黄金比 . ①写出图中所有的黄金三角形, 并说明理由. ②求AD的长. 解析    (1)设∠B=x, ∵BD=DC,∴∠DCB=∠B=x, ∴∠ADC=∠B+∠DCB=2x, ∵AC=DC,∴∠A=∠ADC=2x, ∵∠ACE=∠B+∠A,∴x+2x=108°,解得x=36°, 即∠B的度数为36°. (2)①△DBC,△ABC,△CAD都是黄金三角形. 理由如下:∵DB=DC,∠B=36°, ∴△DBC为黄金三角形; ∵∠BCA=180°-∠ACE=72°,∠A=2×36°=72°, ∴∠A=∠ACB, ∵∠B=36°,∴△ABC为黄金三角形; ∵∠ACD=∠ACB-∠DCB=72°-36°=36°,CA=CD, ∴△CAD为黄金三角形. ②∵△BAC为黄金三角形,∴ = , ∵BC=AB=2,∴AC= -1,∴BD=CD=CA= -1, ∴AD=AB-BD=2-( -1)=3- . $第九章　图形的相似 第2课时　相似三角形的性质定理2 8　相似三角形的性质  　相似三角形的性质定理2 1.(2024四川内江中考)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为 1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是 (　　　) A.1∶1　　　    B.1∶3　　　    C.1∶6　　　    D.1∶9     B     解析　∵△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3, ∴△ABC与△DEF的周长之比为1∶3.故选B. 2.(2024重庆中考A卷)若两个相似三角形的相似比是1∶3,则 这两个相似三角形的面积比是(　　　) A.1∶3　　　    B.1∶4　　　    C.1∶6　　　    D.1∶9     D     解析　∵两个相似三角形的相似比是1∶3, ∴这两个相似三角形的面积比是12∶32=1∶9. 故选D. 3.【学科特色·教材变式P129T6】(2025山东济南历城月考)已 知△ABC与△DEF相似且面积比为 ,则周长比为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      A     解析　∵△ABC与△DEF相似且面积比为 , ∴△ABC与△DEF的相似比为 , ∴△ABC与△DEF的周长比为 .故选A. 4.(2025山东枣庄台儿庄期中)如图,AB与CD交于点O,且AC∥ BD.若 = ,则 =_________.   解析　∵AC∥BD,∴△AOC∽△BOD, ∴ = , ∵ = ,∴ = . 5.已知两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm和 14 cm. (1)若它们的周长相差60 cm,求这两个三角形的周长. (2)若它们的面积相差588 cm2,求这两个三角形的面积. 解析    (1)∵两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm 和14 cm, ∴这两个三角形的相似比为5∶2, ∴这两个三角形的周长比为5∶2. ∴设较大的三角形的周长为5x cm,则较小的三角形的周长为 2x cm, ∵它们的周长相差60 cm,∴5x-2x=60,∴x=20, ∴5×20=100 cm,2×20=40 cm, ∴较大的三角形的周长为100 cm,较小的三角形的周长为40 cm. (2)∵这两个三角形的相似比为5∶2, ∴这两个三角形的面积比为25∶4. ∴设较大的三角形的面积为25y cm2,则较小的三角形的面积 为4y cm2, ∵它们的面积相差588 cm2, ∴25y-4y=588,∴y=28, ∴25×28=700 cm2,4×28=112 cm2, ∴较大的三角形的面积为700 cm2,较小的三角形的面积为 112 cm2. 6.(2025青海西宁大通模拟)如图,在▱ABCD中,E是CD边的中 点,连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证:AE=FE. (2)求证:▱ABCD的面积是△CEF面积的4倍.   证明    (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE, 又∵E是CD边的中点, ∴DE=CE,∴△DAE≌△CFE(AAS).∴AE=FE. (2)∵AB∥CE,CD=AB, ∴CE= CD= AB,∠ABC=∠ECF,∠BAF=∠CEF, ∴△CEF∽△BAF, ∵ = ,∴ = = , 由(1)得S△DAE=S△CFE, ∴S△BAF=S▱ABCD,∴S▱ABCD=4S△CEF.   7.(2025山东枣庄滕州期中,★★☆)如图,△ABC∽△ADE,S△ABC∶ S四边形BDEC=1∶2,其中CB= ,则DE的长为 (　　　)   A. 　　　    B.2 　　　    C.3 　　　    D.6     A     解析　∵S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2, ∴S△ABC∶S△ADE=1∶3, ∵△ABC∽△ADE,∴ = = , ∵CB= ,∴DE= .故选A. 8.【学科特色·数形结合思想】(2025山东淄博张店八中期中, ★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC∽△A'B'C'且A (1,0),B(2,0),A'(4,2),B'(6,1),若△ABC的面积为1,则△A'B'C'的面 积为 (　　　)       D     A. 　　　    B.3　　　    C. 　　　    D.5 解析　∵点A(1,0),B(2,0),A'(4,2),B'(6,1), ∴AB=2-1=1,A'B'= = , ∵△ABC∽△A'B'C',∴ = = , ∴S△A'B'C'=5S△ABC, ∵△ABC的面积为1, ∴△A'B'C'的面积为5.故选D. 9.(2025河北石家庄新华月考,★★☆)两个相似三角形的面积 比是4∶9,其中一个三角形的周长为6,则另一个三角形的周长 为___________.     4或9     解析　设另一个三角形的周长为x, ∵两个相似三角形的面积比是4∶9, ∴两个相似三角形的周长比是2∶3, ∵其中一个三角形的周长为6, ∴当 = 时,解得x=9;当 = 时,解得x=4. 故答案为4或9. 10.【学科特色·分类讨论思想】(2025辽宁沈阳月考,★★☆) 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2 ,AC=2 ,BE⊥AB于 点B,点D为射线BE上一点,连接AD,若△ABD与△ABC相似. (1)求AD的长. (2)请直接写出△ABD与△ABC的面积比.   解析    (1)在Rt△ABC中,AB=2 ,AC=2 ,∠ACB=90°, ∴BC= = =2, 当△ABD∽△ACB时, = ,即 = , ∴AD=3 ; 当△ABD∽△BCA时, = ,即 = , ∴AD=6. 综上,AD的长为6或3 . (2)△ABD与△ABC的面积比为 或3. 详解:当△ABD∽△ACB时,面积比为 = = ; 当△ABD∽△BCA时,面积比为 = =3. 综上,△ABD与△ABC的面积比为 或3.   11.【新课标·推理能力】如图,△ABC中,点E,P在边AB上,且 AE=BP,过点E,P作BC的平行线,分别交AC于点F,Q.记△AEF 的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3. (1)求证:EF+PQ=BC. (2)若S1+S3=S2,求 的值. (3)若S3-S1=S2,直接写出 的值. 解析    (1)证明:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC, ∴ = ,同理 = , ∵AE=BP,∴ = = =1, ∴EF+PQ=BC. (2)如图,过点A作AH⊥BC于H,分别交EF,PQ于M,N,则AM⊥ EF,AN⊥PQ.   设EF=a,PQ=b,AM=h,则BC=a+b,S1= ah,易知△AEF∽△APQ, ∴ = ,∴AN= ,∴MN= h,同理NH=h, 则S2= (a+b) h,S3= (b+a+b)h, ∵S1+S3=S2, ∴ ah+ (b+a+b)h= (a+b) h,则b=3a, ∵△AEF∽△APQ,∴ = = ,∴AP=3AE, ∴ =2. (3) = . 微专题　利用相似求面积     (2025山东淄博周村期末)如图,点D,E分别在△ABC的 边AB,AC上,且DE∥BC,AD∶DB=2∶3,若△ADE的面积是4, 则四边形DBCE的面积是__________.       21     例题 解析　∵AD∶DB=2∶3,∴ = , ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴ = = = , ∵S△ADE=4,∴S△ABC= S△ADE= ×4=25, ∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=25-4=21. 变式1　如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,S四边形BCED= 15,则S△ADE=_________.       5     解析　∵D,E分别是AB,AC的中点, ∴DE∥BC,DE= BC, ∴△ADE∽△ABC,∴ = = , ∴S△ADE∶S四边形BCED=1∶3,即S△ADE∶15=1∶3,∴S△ADE=5. 变式2    (2025山东济南莱芜期末改编)如图,在△ABC中,点D, E分别在AB,AC上,∠ADE=∠C,如果AE=2,AB= ,△ADE的面 积为9,则四边形BDEC的面积为__________.       16     解析　∵∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB, ∵AE=2,AB= ,∴ = = , ∵S△ADE=9,∴S△ACB=25,∴S四边形BDEC=S△ACB-S△ADE=16. $第九章　图形的相似 第2课时　平面直角坐标系中的位似变化 9　利用位似放缩图形  　平面直角坐标系中的位似变化 1.【学科特色·教材变式P127T2】(2025河北唐山迁安期中)如 图,△OA1B1是由△OAB变化得到的,则各顶点的变化情况是  (　　　)     B     A.横坐标和纵坐标都加2 B.横坐标和纵坐标都乘2 C.横坐标和纵坐标都除以2 D.横坐标和纵坐标都减2 解析　由题图得,A(1,2),A1(2,4),B(2,1),B1(4,2),∴△OA1B1是由 △OAB各顶点的横坐标和纵坐标都乘2得到的.故选B. 2.如图,在平面直角坐标系中,以点O为位似中心,把△AOB的 各边扩大后得到△COM,使得△AOB∽△COM,则点M与图中 的 (　　　) A.点D重合 B.点E重合 C.点F重合 D.点G重合       C     解析　∵点A的坐标为(-3,0),点C的坐标为(6,0),∴△AOB与 △COM的相似比为1∶2,∵点B的坐标为(-1,2),∴点M的坐标为 (2,-4),则点M与点F重合,故选C. 3.(2025内蒙古中考)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点 坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心,在第三 象限画△OA'B'与△OAB位似,若△OA'B'与△OAB的相似比为 2∶1.则点A的对应点A'的坐标为 (　　　)   A.(-2,-1)　　　    B.(-4,-2)     B     C.(-1,-2)　　　    D.(-2,-4) 解析　由题意,得点A(2,1)的对应点A'的坐标为(-2×2,-2×1),即 (-4,-2).故选B. 4.(2025云南楚雄期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶 点坐标分别为A(-2,2),B(-4,0),C(-4,-4),以原点O为位似中心, △A'B'C'与△ABC位似,且相似比为1∶2,点A'(1,-1). (1)在平面直角坐标系中画出△A'B'C'. (2)写出B',C'两点的坐标. 解析    (1)如图,△A'B'C'即为所求.   (2)由(1)中的图形可得,B'(2,0),C'(2,2).   5.(2025山东潍坊二模,★★☆)如图,每个小正方形的边长为1, △OAB的顶点在格点上.以点O为位似中心,画△OA1B1,使 △OA1B1与△OAB位似,已知A,B的对应点分别为A1,B1,且△OA1B1 与△OAB的相似比为3∶1,则下列说法正确的是 (　　　) A.点A1的坐标是(1,3) B.△OA1B1与△OAB的周长比为 ∶1 C.A1B1=3  D.△OA1B1一定在第一象限内       C     解析    A.点A1的坐标是(3,3)或(-3,-3),故A选项说法错误,不符 合题意;B.由△OA1B1与△OAB的相似比为3∶1得,△OA1B1与 △OAB的周长比为3∶1,故B选项说法错误,不符合题意;C.A1B1 =3AB=3× =3 ,故C选项说法正确,符合题意;D.△OA1B1可能在第一象限内,也可能在第三象限内,故D选项说法错误, 不符合题意.故选C. 6.(2025山东烟台蓬莱二模,★★☆)如图,在菱形ABCD中,点B 的坐标为(2,1),点C的坐标为(1,0),点D在y轴正半轴上,以点C 为位似中心,在x轴的下方作菱形ABCD的位似图形菱形A'B' CD',并把菱形ABCD的边长放大为原来的2倍,则点B的对应点 B'的横坐标是 (　　　)       D     A.-1.5　　　    B.-0.5　　　    C.-2　　　     D.-1 解析　如图,过点B作BM⊥x轴于M,过点B'作B'N⊥x轴于N,   则∠CNB'=∠CMB=90°, 又∵∠B'CN=∠BCM, ∴△B'CN∽△BCM, ∴ = , ∵把菱形ABCD的边长放大为原来的2倍得到菱形A'B'CD', ∴CB'=2CB,∴ =  , ∵点B的坐标为(2,1),点C的坐标为(1,0), ∴OC=CM=1,∴CN=2, ∴ON=CN-CO=1, ∴点B'的横坐标是-1. 故选D. 7.(2025山东济南市中模拟,★★☆)如图,在平面直角坐标系 中,已知点A(2,4),B(3,2),以原点O为位似中心,作△OAB的位似 图形△OA'B'并把△OAB的边长缩小为原来的 ,则点A的对应 点A'的坐标是_____________________.       (1,2)或(-1,-2)     解析　∵以原点O为位似中心,△OA'B'与△OAB的相似比为  ,A(2,4), ∴点A的对应点A'的坐标是 或 2× ,4×  , 即(1,2)或(-1,-2).   8.【新课标·几何直观】正方形A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,…, AnAn+1BnCn按如图所示的位置依次摆放,已知点C1,C2,C3,…,Cn在 直线y=x上,点A1的坐标为(1,0). (1)写出正方形A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,…,AnAn+1BnCn的位似 中心的坐标. (2)写出正方形A4A5B4C4四个 顶点的坐标. 解析    (1)易知正方形A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,…,AnAn+1BnCn 的位似中心是原点,故位似中心的坐标为(0,0). (2)∵点C1,C2,C3,…,Cn在直线y=x上,点A1的坐标为(1,0), ∴OA1=A1C1=1,OA2=A2C2=2,OA3=A3C3=4,OA4=A4C4=8,OA5=A5C5= 16, ∴A4(8,0),A5(16,0),B4(16,8),C4(8,8). $第九章　图形的相似 第2课时　相似三角形的判定定理2 4　探索三角形相似的条件 *5　相似三角形判定定理的证明  　相似三角形的判定定理2 1.能判定△ABC和△A'B'C'相似的条件是(　　　) A. =  B. = 且∠A=∠C' C. = 且∠B=∠A' D. = 且∠B=∠B'     C     解析    选项C,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似,可判定△ABC和△A'B'C'相似,故选C. 2.【学科特色·教材变式P103T3】(2025山东淄博周村一中月 考)如图,点P在△ABC的边AC上,要判定△ABP∽△ACB,添加 一个条件,不正确的是 (　　　)   A.∠ABP=∠C　　　    B.∠APB=∠ABC C. = 　　　     D.AB2=AP·AC     C     解析    A.∵∠ABP=∠C且∠A=∠A, ∴△ABP∽△ACB,故该选项不符合题意; B.∵∠APB=∠ABC且∠A=∠A, ∴△ABP∽△ACB,故该选项不符合题意; C.当 = 时,无法判定△ABP∽△ACB, 故该选项符合题意; D.∵AB2=AP·AC,∴ = ,又∵∠A=∠A, ∴△ABP∽△ACB,故该选项不符合题意.故选C. 3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若 = , 则下列一定成立的是 (　　　)   A.△BOA∽△BAD　　　    B.△BOA∽△COD C.△BOC∽△BCD　　　    D.△COB∽△CBA     B     解析　∵ = ,∠AOB=∠DOC, ∴△BOA∽△COD,故选B. 4.(2025甘肃白银期末)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分 ∠BAD,AB=9,AC=6,则要使△ABC∽△ACD,只需要AD=______.       4 解析　∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD, ∴当 = 时,△ABC∽△ACD, ∵AB=9,AC=6,∴AD= = =4. 5.(2024广东广州中考)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边 BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.   证明　∵BE=3,EC=6,∴BC=3+6=9, ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°, ∵ = = , = ,∴ = ,∴△ABE∽△ECF. 6.(2025山东滨州一模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BD2=AD ·BC. (1)求证:△ADB∽△DBC. (2)若AB=1,BD=2,BC=3,求CD的长.   解析    (1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC, ∵BD2=AD·BC,∴ = ,∴△ADB∽△DBC. (2)∵△ADB∽△DBC,∴ = , ∵AB=1,BD=2,BC=3,∴ = ,∴CD= .   7.【学科特色·数形结合思想】(2025山东淄博张店龙凤苑中 学月考,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ ABC沿图中的线剪开,下列四种剪开的方法中,剪下的阴影三 角形与原三角形相似的是 (　　　)                        D     A.①②　　　    B.③④ C.①②③④　　　    D.①②④ 解析　①阴影三角形与原三角形有两个角对应相等,故两个 三角形相似; ②阴影三角形与原三角形有两个角对应相等,故两个三角形 相似; ③两个三角形夹等角的边不对应成比例,故两个三角形不相 似; ④∵(4-1)∶6=(6-4)∶4,∴两个三角形夹∠A的边对应成比例, 又∵∠A=∠A,∴两个三角形相似.故选D. 8.(2025山东济宁汶上一模,★★☆)如图,在正方形ABCD中,E 是BC的中点,F是CD上一点,且CF= CD,下列结论中错误的是  (　　　)   A.EF= AE　　　     　B.△ABE∽△AEF C.△ABE∽△ECF　　　    D.△ADF∽△ECF     D     解析　∵在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且 CF= CD, ∴∠B=∠C=90°,AB∶EC=BE∶CF=2∶1. ∴△ABE∽△ECF.∴AB∶EC=AE∶EF=2∶1,∠AEB=∠EFC. ∵BE=CE,∠FEC+∠EFC=90°,∴AB∶AE=BE∶EF,∠AEB+ ∠FEC=90°, ∴∠AEF=∠B=90°,∴△ABE∽△AEF. 故A,B,C正确,不符合题意,无法判定△ADF∽△ECF,故D错 误,符合题意.故选D. 9.【学科特色·8字型】(2025江苏苏州月考,★★☆)如图,AB, CD交于点O,且OC=45,OD=30,OB=36,当OA=____________时, △AOC与△BOD相似.       54或      解析　若△AOC∽△BOD,则 = ,即 = ,解得OA=54; 若△AOC∽△DOB,则 = ,即 = ,解得OA= . 综上所述,OA的长为54或 时,△AOC与△BOD相似. 10.(2025山东烟台莱山期末,★★☆)如图,四边形ABCD中,E为 CD边上一点,连接BD,AE交于点F,且DE2=EF·AE,∠ABD= ∠EAD. (1)求证:AB∥CD. (2)若DE=4,EF=2,BF=9,求AD的长.   解析    (1)证明:∵DE2=EF·AE,∴ = , ∵∠DEF=∠AED,∴△DEF∽△AED, ∴∠EDF=∠EAD, ∵∠ABD=∠EAD,∴∠ABD=∠EDF, ∴AB∥CD. (2)∵△DEF∽△AED,DE=4,EF=2, ∴ = = = ,∴DF= AD, ∵∠ABD=∠EAD,∠ADB=∠FDA,BF=9, ∴△ADB∽△FDA, ∴ = = , ∴AD2=DF(DF+9),∴AD2= AD , 解得AD=6或AD=0(不符合题意,舍去), ∴AD的长为6.   11.【新课标·模型观念】(2025山东济南市中月考节选)在△ ABC中,AB=AC,点D,E分别是BC,AC的中点,将△CDE绕点C按 顺时针方向旋转一定的角度,连接BD,AE. 【观察猜想】 (1)如图1,当∠BAC=60°时,填空: ① =_______. ②直线BD,AE所夹锐角为_______. 【类比探究】 (2)如图2,当∠BAC=90°时,试判断 的值及直线BD,AE所夹 锐角的度数,并说明理由.  　      解析    (1)①1;②60°. (2) = ,直线BD,AE所夹锐角为45°. 理由:如图,设AC交BD于O,AE交BD于T.   ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴△ACB是等腰直角三角形, ∴CB= AC,∠ACB=45°, ∵CD= BC,CE= AC,∠ECD=∠ACB=45°, ∴△ACB∽△ECD, ∴CD= CE,∠BCD=∠ACE, ∴ = = ,∴△BCD∽△ACE, ∴ = = ,∠CBD=∠CAE,∵∠BOC=∠AOT,∴∠ATB=∠ACB=45°. 综上, = ,直线BD,AE所夹锐角为45°. $第九章　图形的相似 第3课时　相似三角形的判定定理3 4　探索三角形相似的条件 *5　相似三角形判定定理的证明  　相似三角形的判定定理3 1.(2025陕西咸阳秦都期中)将△ABC的各边长作如下变化,得 到的新三角形与△ABC相似的是 (　　　) A.各边长都加2　　　     B.各边长都减2 C.各边长都乘2　　　     D.各边长都平方     C     解析　设△ABC的三边长分别为a,b,c,各边长都乘2,得到的新 三角形的三边长分别为2a,2b,2c,则 = , = , = ,∴得到 的新三角形与△ABC相似,故C选项符合题意.故选C. 2.(2025湖南永州蓝山期中)已知△ABC的三边长分别为12 cm, 15 cm,18 cm,△DEF的一边长为4 cm,当△DEF的另两边长是 下列哪一组时,这两个三角形相似 (　　　) A.2 cm,3 cm　　　    B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm　　　    D.6 cm,7 cm     C     解析　设△DEF的另两边长为x cm,y cm(y>x), 若△DEF中长度为4 cm的边的对应边长为12 cm,则 = =  ,解得x=5,y=6; 若△DEF中长度为4 cm的边的对应边长为15 cm,则 = =  ,解得x=3.2,y=4.8; 若△DEF中长度为4 cm的边的对应边长为18 cm,则 = =  ,解得x= ,y= .故选C. 3.(2025山东青岛市南期中)如图,每个小正方形的边长均为1, 则选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 (　　　)    　　　          B     解析　根据勾股定理,得AB= ,AC= ,BC=2, ∴△ABC的三边长从大到小依次为 ,2, . A选项中的三角形三边长从大到小依次为2 , ,1,∵ ≠  ≠ ,∴A选项中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似,故 该选项不符合题意; B选项中的三角形三边长从大到小依次为 , ,1,∵ =  = = ,∴B选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似,故 该选项符合题意; C选项中的三角形三边长从大到小依次为3, , ,∵ ≠  ≠ ,∴C选项中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似,故 该选项不符合题意; D选项中的三角形三边长从大到小依次为 , ,2,∵ ≠  ≠ ,∴D选项中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似,故 该选项不符合题意.故选B. 4.如图,四边形ABCD为矩形, = = ,则∠MAN=______ 度.       90 解析　∵ = = , ∴△DAM∽△BAN,∴∠DAM=∠BAN. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°, ∴∠DAM+∠MAB=90°,∴∠BAN+∠MAB=90°, ∴∠MAN=90°. 5.【学科特色·教材变式P105T3】(2025山东济南槐荫期中)如 图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,其顶点称为 格点,△ABC和△EFD的顶点都在格点上,则△ABC与△EFD 相似吗?请说明理由.   解析　△ABC与△EFD相似,理由如下: 由勾股定理,得AB= = , AC= =2 ,BC= =5, EF= = ,ED= =2 , FD= = , ∴ = = = ,∴△ABC∽△EFD.   6.(2025湖南永州新田期中,★★☆)已知点D,E,F分别为△ABC 的边AB,BC,AC的中点,连接DE,EF,DF,则下列结论不正确的 是 (　　　)   A.DE∥AC　　　    B. = = =  C.DF=EF　　　     D.△DEF∽△CAB     C     解析　∵点D,E,F分别为△ABC的边AB,BC,AC的中点, ∴DE,DF,EF是△ABC的中位线, ∴DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB,DE= AC,DF= BC,EF= AB, ∴ = = = , ∴△DEF∽△CAB,故A,B,D选项正确,不符合题意; 无法判定DF=EF,故C选项错误,符合题意.故选C. 7.【新课标·中华优秀传统文化】(2025天津和平一模,★★☆) 象棋是中华民族的文化瑰宝.在如图所示的象棋盘(各个小正 方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”下一步 可落在①~④处.要使“马”“炮”“卒”所在位置的点连成 的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的点连成的三角形 相似,则“马”下一步应落在 (　　　)     B       A.①处　　　    B.②处　　　    C.③处　　　    D.④处 解析　设各个小正方形的边长为1,由题图可知,“帅”“车” “相”所在位置的点连成的三角形的三边长分别为4,2,2 , “炮”“卒”和②所在位置的点连成的三角形的三边长分别 为2,1, , ∵ = = ,∴“马”下一步应落在②处.故选B. 8.(2025上海虹口期中,★★☆)在正方形网格中,每个小正方形 的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如 图,△ABC是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点 △ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点△ ADE只算一个),这样的格点三角形一共有_________个.       6     解析　如图,   这样的格点三角形一共有6个. 9.(★★☆)如图,在四边形ABCD中, = = ,∠ADC=90°, E为AB的中点,连接CE,连接DE交AC于点F. (1)求证:AC平分∠DAB. (2)求证:△AFD∽△CFE. (3)若AD=6,AB=8,求CF的长.   解析    (1)证明:∵ = = , ∴△ADC∽△ACB, ∴∠DAC=∠CAB, ∴AC平分∠DAB. (2)证明:∵△ADC∽△ACB, ∴∠ACB=∠ADC=90°, ∵在Rt△ACB中,E为AB的中点, ∴AE=CE=BE= AB,∴∠EAC=∠ECA, ∵∠DAF=∠EAC,∴∠DAF=∠ECF, 又∵∠DFA=∠EFC,∴△AFD∽△CFE. (3)∵ = ,AD=6,AB=8,∴ = , ∴AC2=48,∴AC=4 (负值舍去), ∵CE= AB,∴CE=4, ∵△AFD∽△CFE,∴ = = , ∴ = ,即 = ,∴ = ,∴CF= .   10.【新课标·推理能力】如图,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分 别是AB,A'B'上一点, = .  　      (1)当 = = 时,求证△ABC∽△A'B'C'. 证明的基本思路可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.   (2)当 = = 时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并 说明理由. 解析    (1)题图中的两个空依次填 = = ;∠A=∠A'. (2)△ABC∽△A'B'C'. 理由:如图,过点D,D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交AC于E,D' E'交A'C'于E'.  　      ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴ = = ,同理, = = , ∵ = ,∴ = ,∴ = , 同理, = , ∴ = ,即 = ,∴ = , ∵ = = ,∴ = = , ∴△DCE∽△D'C'E',∴∠CED=∠C'E'D', ∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°, 同理,∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°,∴∠ACB=∠A'C'B', ∵ = ,∴△ABC∽△A'B'C'. $第九章　图形的相似 第1课时　相似三角形的性质定理1 8　相似三角形的性质  　相似三角形的性质定理1 1.(2025山东聊城阳谷期中)如果两个相似三角形的相似比是 1∶4,那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是 ( ) A.1∶2　　　    B.1∶4　　　    C.1∶8　　　    D.1∶16     B 解析　∵相似三角形的对应中线的比等于相似比,∴这两个 相似三角形对应边上的中线之比为1∶4.故选B. 2.已知两个相似三角形对应角平分线的比为4∶3,那么这两个 三角形对应高的比是___________.     4∶3     解析　∵两个相似三角形对应角平分线的比为4∶3,∴这两 个三角形的相似比为4∶3,∴这两个三角形对应高的比是4∶ 3. 3.如图,△ABC∽△DAC,CE,CF分别是∠ACB和∠ACD的平分 线,若DC=4,BC=9,求CE∶CF的值.   解析　∵△ABC∽△DAC, ∴ = ,即 = , ∴AC2=4×9=36,∴AC=6(负值已舍去), ∴CE∶CF=BC∶AC=9∶6= .   4.【跨物理·小孔成像】【新考向·数学文化】(2025山东临沂 郯城模拟,★★☆)两千多年前,我国《墨子》中便记载了小孔 成像的实验:“景到,在午有端,与景长,说在端.”如图所示的 小孔成像实验中,若物距为10 cm,像距为15 cm,蜡烛火焰倒立 的像的高度是9 cm,则蜡烛火焰的高度是 (　　　)       A     A.6 cm　　　    B.8 cm　　　    C.10 cm　　　    D.12 cm 解析　设蜡烛火焰的高度是x cm, 由相似三角形对应高的比等于相似比,得 = , 解得x=6,即蜡烛火焰的高度是6 cm.故选A. 5.(★★☆)如图①所示的是装了液体的高脚杯示意图(数据如 图),用去一部分液体后如图②所示,此时液面AB= (　　　)   A.1 cm　　　    B.2 cm　　　    C.3 cm　　　    D.4 cm     C     解析　如图,过O作OM⊥CD,垂足为M,过P作PN⊥AB,垂足为 N,   易知△CDO∽△ABP,∴ = , ∵CD=6 cm,OM=15-7=8(cm),PN=11-7=4(cm), ∴ = ,∴AB=3 cm.故选C. 6.【学科特色·教材变式P118例1】(2025上海浦东新区月考, ★★☆)有一块三角形余料ABC,BC=120 mm,高AD=80 mm.如 果把它加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点 分别在AB,AC上,且此矩形由两个并排放置的正方形组成,如 图,此时,这个矩形零件的长和宽分别为多少毫米?   解析　∵四边形PQMN是矩形,∴PN∥BC, ∴△APN∽△ABC,∴ = , 又∵矩形PQMN是由两个并排放置的正方形组成的,BC=120 mm,AD=80 mm,∴ = , ∴PQ=  mm,∴PN= ×2= (mm). ∴这个矩形零件的长和宽分别为  mm,  mm. $专项突破8　相似三角形的五种基本模型      X字型(8字型) 1.(2025江西南昌模拟)如图,AC,BD相交于点O,且∠B=∠C, OC∶OB=1∶2,AB=6.求CD的长.   解析　∵AC,BD相交于点O, ∴∠AOB=∠DOC, 又∵∠B=∠C,∴△AOB∽△DOC, ∴ = = , 又∵AB=6,∴CD=3. 2.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,将△ABC绕点A逆时针旋转 60°得到△ADE,ED的延长线与BC相交于点F,连接AF,EC. (1)求证:AB∥EC. (2)求证:△DAF∽△DEC.   证明    (1)∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,∴△ ABC≌△ADE,∠EAC=∠BAD=60°,∴AC=AE,∴△AEC为等边 三角形, ∴∠ACE=60°=∠BAC,∴AB∥EC. (2)∵△ABC≌△ADE,∴∠AED=∠ACB, 又∵∠ADE=∠FDC,∴△ADE∽△FDC, ∴ = ,∴ = , 又∵∠ADF=∠EDC,∴△DAF∽△DEC.      A字型 3.矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,点M在AD边所在的直线上,且DM=1,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点M重合,折痕与AD,BC分别交于点E,F,则线段EF的长度为___________. 或 解析　连接BM,交EF于点O.当点M在AD上时,如图1,由题意得 AM=4,由勾股定理得BM=5,由折叠的性质知OM= .易知△ EOM∽△BAM,∴ = ,即 = ,解得OE= ,∴EF= ;        当点M在AD延长线上时,如图2,由题意得AM=6.由勾股定理得 BM=3 ,由折叠的性质知OM= ,易知△EOM∽△BAM,∴  = ,即 = ,解得OE= ,∴EF= .综上,EF=  或 . 4.(2025广东惠州期末)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,点D在边AC 上,且DE⊥AC交BC于点E. (1)求证:△CDE∽△CBA. (2)若AB=6,BC=8,E是BC的中点,求DE的长.   解析    (1)证明:∵DE⊥AC,∠B=90°, ∴∠CDE=90°=∠B. 又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA. (2)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,∴AC= =10, ∵E是BC的中点,∴CE= BC=4, ∵△CDE∽△CBA,∴ = ,即 = , ∴DE= =2.4. 5.(2025山东淄博张店月考)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,P是 AB上一点,且AP=3,若点Q在AC上,试确定点Q的位置,使以A,P, Q为顶点的三角形与△ABC相似.   解析　∵∠A是公共角, ∴当AP∶AB=AQ∶AC时,△APQ∽△ABC, 即3∶5=AQ∶4,解得AQ= ; 当AP∶AC=AQ∶AB时,△APQ∽△ACB, 即3∶4=AQ∶5,解得AQ= . ∴当AQ= 或 时,以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.  　旋转型(手拉手型) 6.(2025安徽滁州全椒期末)如图,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:AE· BC=AC·DE.   证明　由题意,得∠1+∠CAD=∠2+∠CAD, ∴∠BAC=∠DAE, ∵∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE, ∴ = ,∴AE·BC=AC·DE. 7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE(α为锐角),点 D与点B对应,连接BD,CE.求证:△ABD∽△ACE.   证明    ∵将△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE, ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE, ∴ = ,∴△ABD∽△ACE.  　子母型 8.如图,在△ABC中,P为AB上一点,下列四个条件:①∠ACP= ∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.请你从 中找出能使△ABC和△ACP相似的一个条件,并按下列格式进 行证明. 已知:_______. 求证:_______. 证明: 解析　答案不唯一,举例如下: 已知:在△ABC中,P为AB上一点,且∠ACP=∠B. 求证:△ABC∽△ACP. 证明:在△ABC和△ACP中,∠B=∠ACP,∠A=∠A, ∴△ABC∽△ACP. 9.(2025山东淄博张店九中期中)如图,在△ABC中,D为AC边上 一点,BC= ,AC=3,AD=1. (1)求证:∠DBC=∠A. (2)如果BD=3,求AB的长.   解析    (1)证明:∵AC=3,AD=1, ∴CD=2,∴ = = , = ,∴ = , ∵∠BCD=∠ACB,∴△BCD∽△ACB, ∴∠DBC=∠A. (2)∵△BCD∽△ACB, ∴ = ,∴ = ,∴AB= .          K字型(一线三等角型) 10.如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上一点,且CB⊥BE. 已知AB=8,AC=6,DE=4. (1)证明:△ABC∽△DEB. (2)求线段BD的长.   解析    (1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, ∴∠A=∠CBE=∠D=90°, ∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°, ∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB. (2)∵△ABC∽△DEB,∴ = ,∴ = , ∴BD=3. 11.(2025山东菏泽单县月考)如图,在△ABC中,AB=AC,点P为 BC边上一动点(不与点B,C重合),连接AP,过点P作射线PM交 AC于点M,使得∠APM=∠B.求证:△ABP∽△PCM.   证明　∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠APC=∠B+∠BAP,∠APC=∠APM+∠CPM,∠APM=∠B, ∴∠BAP=∠CPM,∴△ABP∽△PCM. $第九章　图形的相似 第2课时　合比性质与等比性质 1　成比例线段 1  　合比性质 1.(2025山东济南槐荫期中)已知 = (b≠0),则 的值是  (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     解析　∵ = ,∴ = ,∴ = = . 故选B. 2.已知 = ,那么 , , 的大小关系是 (　　　) A. > > 　　　    B. < <  C. > > 　　　    D. < , >      C     解析　∵ = ,∴ = = ,∴ = , ∴ = = ,∴ = = =7, 由7> > ,得 > > ,故选C. 3.(2025四川成都中考)若  =3,则 的值为_________.     4     解析　∵ =3= ,∴ = =4. 4.已知5a=4b≠0(a≠-b). (1)求 的值.　　　    (2)求 的值. (3)求 的值. 解析　由5a=4b,得 = . (1)由合比性质得 = =- . (2)由合比性质得 = = . (3)将(1)(2)中的两个等式相除,得 = =- .  　等比性质 5.【学科特色·多解法】(2025山东淄博周村一中段考)若 =  = (b+d≠0),则 的值为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.1     B     解析　【解法一】等比性质:∵ = = (b+d≠0), ∴ = . 【解法二】代入法:∵ = = (b+d≠0), ∴b=3a,d=3c,∴ = = = .故选B. 6.(2025山东青岛城阳期末)已知 = = = ,若b+d+f=9,则a+c +e=__________.     12     解析　∵ = = = ,∴ = , ∵b+d+f=9,∴a+c+e= ×9=12. 7.【学科特色·教材变式P89例2(2)】已知△ABC和△DEF,若  = = = ,且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米,求 △ABC和△DEF的周长. 解析　设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米. ∵ = = = ,∴ = = ①, 由题意得y-x=15②,由①得x= y③, 将③代入②,得y- y=15,解得y=45, 将y=45代入③,得x=30. 答:△ABC和△DEF的周长分别是30厘米和45厘米. 8.(2025甘肃兰州榆中期末)已知a,b,c为△ABC的三边,且a+b+ c=69, = = ,求a,b,c的值. 解析　∵ = = ,∴ = = = , ∵a+b+c=69,∴ =3= = = , ∴a=18,b=24,c=27.   9.(2025山东潍坊高密期中,★★☆)若 = (y≠-4),则下列式子 错误的是 (　　　) A. = 　　　    B. =  C. = 　　　   　  D. =4     D     解析　∵ = (y≠-4),∴ = = , = , = ,x= y, ∴ =  =  =-3,故A,B,C正确,D错误. 故选D. 10.(2025山东菏泽定陶期末,★★☆)若 = = (a,b,c均不为0,2 c≠b),则 =__________.     10     解析　∵ = = , ∴设 = = =k(k≠0),则a=4k,b=3k,c=2k, ∴ = = =10. 11.【学科特色·易错题】(2025山东烟台牟平期中,★★☆)若  = = =k,则k的值为____________.     4或-2     解析　∵ = = =k, ∴当a+b+c≠0时, k= = =4, 当a+b+c=0时,k= = =-2, ∴k的值为4或-2. 易错警示 此题易忽略等比性质的应用条件而漏掉-2. 12.【新考向·代数推理】(★★☆)设a,b,c是△ABC的三条边, 且 = = ,判断△ABC的形状,并说明理由. 解析　△ABC为等边三角形,理由如下: ∵a,b,c是△ABC的三条边,∴a+b+c≠0, ∵ = = , ∴ = = = =0, ∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c, ∴△ABC为等边三角形.   13.【新课标·抽象能力】若   = = = . (1)求 (b-d≠0)的值. (2)求 (2b+3d-4f≠0)的值. (3)比较(1)(2)的结论,把你发现的规律写出来. 解析    (1)∵ = = ,∴ = = ,∴ = . (2)∵ = = = ,∴ = = = , ∴ = . (3)若 = = =k(k≠0,lb+md+nf≠0), 则 =k. 14.【新课标·运算能力】(2025黑龙江哈尔滨道外期中)阅读 理解题:对于简单的比例,我们可以通过比例的基本性质进行 求解,但对于稍复杂的比例,我们怎么办呢? 例如:已知 = = ,a+2b+2c=16,求a的值. 数学中引入一种很重要的方法:设k法,过程如下: 解:设 = = =k,则a=2k,b=3k,c=4k, 所以2k+2×3k+2×4k=16, 所以16k=16, 解得k=1, 所以a=2k=2×1=2. 请根据上述方法解决下面的问题. 已知 = = ,a+2c-2b=4. 求:(1)a+b+c的值. (2) 的值. 解析　设 = = =k,则a=2k,b=5k,c=8k, ∴2k+2×8k-2×5k=4,∴8k=4,解得k= , ∴a=2× =1,b=5× = ,c=8× =4. (1)a+b+c=1+ +4=5+ = . (2) = = = . $第九章自主检测 时间：40分钟 满分：100分 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.(2025广东东莞期中)下面各组图形中,不是形状相同的图形 的是 (　　　)  　　　     　　　     　　　           C     解析    A,B,D中的两个图形的形状相同,大小不同,符合题意;C 中的两个图形的形状不同,不符合题意.故选C. 2.(2025山东淄博淄川期末)下列四条线段(单位:cm)中,不是成 比例线段的是 (　　　) A.1, , , 　 B.3,6,2,4 C.4,6,5,10　　　    D.2, ,2 ,      C     解析    A.1× = × ,故本选项的四条线段是成比例线段, 不符合题意; B.3×4=6×2,故本选项的四条线段是成比例线段,不符合题意; C.4×10≠6×5,故本选项的四条线段不是成比例线段,符合题 意; D.2× = ×2 ,故本选项的四条线段是成比例线段,不符 合题意.故选C. 3.(2025辽宁铁岭模拟)已知 = ,则 的值为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     解析　∵ = ,∴设x=2a,则y=5a, ∴ = = = ,∴ 的值为 .故选B. 4.(2025广东惠州期末)已知矩形ABCD中,AB=4,BC=2,下列四 个矩形与矩形ABCD相似的是(　　　)  　　　     　　　     　　　          A     解析　∵ = =2,∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似.故选 A. 5.(2025广东清远阳山三模)如图所示的是某景区大门部分建 筑,已知AD∥BE∥CF,AC=16 m,当DF∶DE=4∶3时,AB的长 是 (　　　)   A.10 m　　　    B.11 m　　　    C.12 m　　　    D.13 m     C     解析　∵AD∥BE∥CF,∴ = ,即 = , ∴AB=12 m.故选C. 6.(2025山东烟台莱山期末)如图,已知∠1=∠2,添加选项中的 条件,仍不能使△ABC∽△ADE的是 (　　　)   A.∠B=∠D　　　   B.∠C=∠E C. = 　　　    D. =      D     解析　∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, ∴∠BAC=∠DAE, A.∠B=∠D,根据两角分别相等的两个三角形相似可判定 △ABC∽△ADE,故A不符合题意; B.∠C=∠E,根据两角分别相等的两个三角形相似可判定 △ABC∽△ADE,故B不符合题意; C. = ,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可 判定△ABC∽△ADE,故C不符合题意; D. = ,无夹角相等,故不能判定△ABC∽△ADE,故D符合 题意.故选D. 7.下图是某晾衣架的侧面示意图,根据图中数据,则C,D两点间 的距离是 (　　　)   A.0.9 m　　　　B.1.2 m C.1.5 m　　　　D.2.5 m     B     解析　设C,D两点间的距离为x m,AD与BC交于点O(图略),由 题意可知AB∥CD,∴△AOB∽△DOC, ∴ = ,解得x=1.2, ∴C,D两点间的距离是1.2 m.故选B. 8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB,垂足为D, F为线段CD上一点,若 = ,则 = (　　　)   A. 　　　    B. 　　　    C.1　　　    D.      A     解析　过点D作DH∥BC交AE于点H,如图,   在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB, ∴BD=AD,∴DH为△ABE的中位线,∴BE=2DH, ∵DH∥BC,∴△DFH∽△CFE,∴DH∶EC=DF∶FC=1∶3, ∴EC=3DH, ∴ = = .故选A. 二、填空题(每小题4分,共16分) 9.(2025山东淄博张店龙凤苑中学月考)已知 = = ≠0,且a+2 b-3c=16,则a的值为__________.     12     解析　∵ = = ≠0,∴ =  = , ∴ = = =2,∴a=12. 10.【跨艺术·盆景】(2025山东枣庄山亭开学测试)大自然是 美的设计师,即使是一个小小的盆景,也蕴含着“黄金分割”. 如图,B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=20 cm,则BC的长为 ________________cm.(结果保留根号)       (30-10 )     解析　∵B为AC的黄金分割点(AB>BC), ∴ = . 又∵AC=20 cm,∴AB=(10 -10)cm, ∴BC=AC-AB=(30-10 )cm. 11.如图,在正方形网格中,以点O为位似中心,△ABC的位似图 形是_________(用图中字母表示),△ABC与该三角形的相似 比为___________.       1∶2     　△GEH     解析　根据位似图形的对应点的连线所在直线交于同一点可 判断△ABC的位似图形是△GEH, ∵BC∶EH=1∶2,∴△ABC与△GEH的相似比为1∶2. 12.(2024四川眉山中考)如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD= 120°,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接AE分别交 BD,CD于点F,G,则FG的长为_________.   解析　∵菱形ABCD的边长为6,∠BAD=120°, ∴AD=BC=CD=6,AD∥BC,∠BCD=120°, ∴∠DCE=60°, ∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°, 在Rt△DCE中,∵∠CDE=90°-∠DCE=30°,∴CE= CD=3, ∴DE= = =3 ,BE=BC+CE=9, ∵AD∥BE,∴∠ADE=180°-∠DEC=90°, 在Rt△ADE中,AE= = =3 , ∵AD∥BE,∴∠ADF=∠EBF,∠DAF=∠BEF, ∴△AFD∽△EFB, ∴ = = = ,∴AF= AE= ×3 = , ∵AD∥CE,∴∠ADG=∠ECG,∠DAG=∠CEG, ∴△AGD∽△EGC,∴ = = =2, ∴AG= AE= ×3 =2 , ∴FG=AG-AF=2 - = . 三、解答题(共52分) 13.(2025山东淄博桓台期末)(10分)如图,已知点O是坐标原点, 小方格的边长均为1,点A,B,C都在格点上,边BC与y轴交于 点M. (1)以点A为位似中心,在x轴的上方将△ABC放大为原图的2倍 (即新图与原图的相似比为2∶1),画出对应的△A'B'C'. (2)四边形BCC'B'的面积为_______.   解析    (1)如图,△A'B'C'即为所求.   (2)四边形BCC'B'的面积为7×5- ×3×2- ×1×3- ×6×4- × 4×1=35-3-   -12-2= .故答案为 . 14.(12分)如图,AD为△ABC的边BC上的中线,P为BD上一点, 过P作AD的平行线交AB于点Q,交CA的延长线于点R,求证:PQ +PR=2AD.   证明　由题意易得△QBP∽△ABD,△ACD∽△RCP,∴ =  , = , ∵AD为△ABC的边BC上的中线,∴BD=CD, ∴ + = + = = = =2, ∴PQ+PR=2AD. 15.(2025陕西西安三模)(14分)如图,小明为测量学校操场上大 树CD的高,站在一楼教室里的点A处,从教室的窗口望出去,恰 好能看见大树的整个树冠HD.经测量,窗口高EF=1.4 m,树干 高CH=1.2 m,点A与墙根点G的距离为1.6 m,点C与墙根点G的 距离为4.8 m,且A,G,C三点在同一条水平线上.请根据上面的 信息,帮助小明计算出大树CD的高. 解析　过点B作BM⊥DH于点M,交EF于点N(图略),则BN=AG, BM=AC, 由题意得FG∥DC, ∴∠BFE=∠BDH,∠BEF=∠BHD, ∴△BEF∽△BHD,∴ = , ∵AG=1.6 m,CG=4.8 m,EF=1.4 m, ∴BN=1.6 m,BM=AC=AG+CG=6.4(m), ∴ = ,∴DH=5.6 m, ∴CD=DH+HC=5.6+1.2=6.8(m). ∴大树CD的高为6.8 m. 16.(16分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD与BD分别是△ABC的 内角∠BAC,∠ABC的平分线,过点A作AE⊥AD,交BD的延长 线于点E,△ABC∽△EDA. (1)求∠ABC的度数. (2)求 的值. 解析    (1)如图,∵AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC,∠ABC 的平分线, ∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠BAC, ∵∠C=90°,∴∠1+∠2=  (∠ABC+∠BAC)= ×(180°-90°) =45°,∴∠3=∠1+∠2=45°, ∵△ABC∽△EDA,∴∠ABC=∠3=45°.   (2)∵∠3=45°,AE⊥AD,∴∠E=∠3=45°, ∴△ADE是等腰直角三角形, 如图,过A作AF⊥DE于点F,则F为ED的中点. 设AF=a,则DE=2a,DF=a. 在Rt△ADF中,由勾股定理得AD= a. ∵∠ABC=45°,∴∠BAC=45°, ∵2∠1=2∠2=45°,∴∠1=∠2, ∴BD=AD= a,∴BF=BD+DF= a+a. 在Rt△ABF中,由勾股定理得AB2=AF2+BF2=a2+( a+a)2=(4+2  )a2. ∵△ABC∽△EDA, ∴ = = = . $第九章　图形的相似 第1课时　相似三角形的判定定理1 4　探索三角形相似的条件 *5　相似三角形判定定理的证明  　相似三角形的有关概念 1.如图,△ADE∽△ABC,若AD=1,BD=2,则△ADE与△ABC的 相似比是 (　　　)   A.1∶2　　　    B.1∶3 C.2∶3　　　    D.3∶2     B     解析　△ADE与△ABC的相似比为 = = =1∶3.  　相似三角形的判定定理1 2.如图所示的三个三角形,相似的是 (　　　)             A.①②　　　    B.②③ C.①③　　　    D.①②③     A     解析　分别求出三个三角形中第三个角的度数,可知①②两 个三角形满足三个角分别对应相等,故①②相似,故选A. 3.【学科特色·教材变式P99T1】(2025上海嘉定期末)下列两 个三角形一定相似的是 (　　　) A.两个直角三角形 B.有一个内角为40°的两个直角三角形 C.两个等腰三角形 D.有一个内角为40°的两个等腰三角形     B     解析　有一个内角为40°的两个直角三角形的三组角分别相 等,故两个直角三角形相似.故选B. 4.(2025浙江杭州期末)如图,D是△ABC边BC上一点,∠BAD= ∠C,∠ABC的平分线交边AC于点E,交AD于点F,则在下列给 出的三角形中,与△BDF相似的是 (　　　)   A.△BFA　　　    B.△BAE C.△BEC　　　    D.△AEF     B     解析　∵∠BAD=∠C,∠ABD=∠ABC, ∴∠ADB=∠BAC, ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE, ∴△BAE∽△BDF.故选B. 5.(2024山东滨州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB, AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是____ ______________________.(写出一种情况即可)   ∠ADE=∠C(答案不唯一)     解析　∵∠DAE=∠CAB,∠ADE=∠C,∴△ADE∽△ACB.答 案不唯一. 6.如图,已知∠A=50°,∠B=65°,∠ADC=115°,则△ABC与__ _______相似.   　△CBD     解析　∵∠A=50°,∠B=65°, ∴∠ACB=180°-50°-65°=65°, ∵∠ADC=115°,∴∠CDB=65°,∴∠ACB=∠CDB, 又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD. 7.(2025山东淄博张店八中期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, CD⊥AB于点D. (1)求证:△ACD∽△CBD. (2)若CD= ,BD=1,求AD的长.   解析    (1)证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ADC=∠CDB=90°,∠A+∠B=90°, ∴∠B+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD, ∴△ACD∽△CBD. (2)∵△ACD∽△CBD,∴ = , ∵CD= ,BD=1,∴AD=3.   8.(2025河北中考,★★☆)如图,在五边形ABCDE中,AE∥BC, 延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后, 仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是(　　　)   A.∠B+∠4=180°  B.CD∥AB　　C.∠1=∠4　　D.∠2=∠3     D     解析　∵AE∥BC,∴∠AEM=∠CND,∠MAE=∠B. 当添加∠B+∠4=180°时,∵∠DCN+∠4=180°, ∴∠DCN=∠B,∴∠DCN=∠MAE, ∴△MAE∽△DCN,故A选项不符合题意; 当添加CD∥AB时,可得∠DCN=∠B, ∴∠DCN=∠MAE, ∴△MAE∽△DCN,故B选项不符合题意; 当添加∠1+∠4=180°时, ∵∠MAE+∠1=180°,∠DCN+∠4=180°, ∴∠DCN=∠MAE, ∴△MAE∽△DCN,所以C选项不符合题意; 当添加∠2=∠3时, ∵∠AEM+∠2=180°,∠CDN+∠3=180°, ∴∠AEM=∠CDN=∠CND, ∴不能判定△MAE∽△DCN,所以D选项符合题意.故选D. 9.(★★☆)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=45°,以AB为 腰作等腰直角三角形BAE,顶点E恰好落在CD边上,若AD=1,则 CE的长是(　　　) A. 　　　    B.      A     C.2　　　  　  D.1 解析　如图,过点E作EF⊥CD交BC于F,   ∵∠C=45°,∴△EFC是等腰直角三角形, ∴EF=CE,∠CFE=45°,∴∠BFE=180°-45°=135°, ∵∠CFE=∠FBE+∠BEF=45°,∠AED+∠BEF=90°-45°= 45°, ∴∠AED=∠FBE, ∵△ABE是等腰直角三角形,∴ = , ∵AD∥BC,∴∠C+∠D=180°, ∴∠D=180°-45°=135°,∴∠D=∠BFE, ∴△ADE∽△EFB,∴ = = , ∵AD=1,∴EF= ,∴CE=EF= .故选A. 10.(2024重庆中考A卷,★★☆)如图,在△ABC中,延长AC至点 D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F. 若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF=_________.       3     解析　∵CD=CA,DE∥CB,∴AF=EF, ∴CF是△ADE的中位线, ∴DE=2CF=2, ∵DE=DC,∴AC=2CF=2, ∵∠CAB=∠CFA,∠ACF=∠BCA, ∴△CAF∽△CBA,∴AC∶BC=CF∶CA, ∴2∶BC=1∶2,∴BC=4, ∴BF=BC-FC=3. 11.(2025山东泰安肥城期中,★★☆)如图,线段AD,BC相交于 点O,∠A=∠C,若AD=5,OD=2,CO∶OB=1∶4,则BC的长为____ _____ .   解析　∵线段AD,BC相交于点O,CO∶OB=1∶4,∴CO=  BC= BC,OB= BC= BC, ∵AD=5,OD=2, ∴AO=AD-OD=3,∵∠AOB=∠COD,∠A=∠C, ∴△AOB∽△COD,∴ = , ∴CO·OB=AO·OD,∴ BC× BC=3×2, ∴BC= (负值已舍去). 12.(2025山东济南章丘期末,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB =3 cm,BC=5 cm,点E为边AD上一点,ED=1 cm,连接BE.点P从 点B出发,沿BE方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点C出 发,沿CB方向匀速运动,速度为1 cm/s.设运动时间为t s(0<t<5).   (1)用含t的代数式表示:BP=_______cm,BQ=_______cm. (2)连接PQ,若存在某一时刻,使得以P,Q,B为顶点的三角形与 △ABE相似,请求出此时t的值. 解析    (1)t;(5-t). (2)由题意得,∠AEB=∠EBC,AD=BC=5 cm, ∵ED=1 cm,∴AE=4 cm, ∴在Rt△ABE中,BE= =5(cm), 当∠BPQ=90°=∠A时,△BPQ∽△EAB, ∴ = ,即 = ,解得t= ; 当∠PQB=90°=∠A时,△BPQ∽△EBA, ∴ = ,即 = ,解得t= . 综上所述,当t= 或 时,以P,Q,B为顶点的三角形与△ABE相 似.   13.【新课标·推理能力】(2025山东济南市中月考)如图,已知 △ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点 出发,分别沿AB,BC匀速运动,其中点P运动的速度是1 cm/s,点 Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点同时停止运 动,设运动时间为t s,解答下列问题: (1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由. (2)作QR∥BA交AC于点R,连接PR,当t为何值时,△APR∽△ PRQ?   解析    (1)△BPQ是等边三角形,理由如下: 由题意可知,当t=2时,AP=2×1=2(cm),BQ=2×2=4(cm), ∴BP=AB-AP=6-2=4(cm),∴BQ=BP, 又∵∠B=60°,∴△BPQ是等边三角形. (2)如图,过点Q作QE⊥AB,垂足为E,   在Rt△BEQ中,∠BQE=90°-∠B=30°,QB=2t cm, ∴BE=t cm,QE= t cm,QC=(6-2t)cm, ∵AP=t cm,∴PB=(6-t)cm, ∴PE=PB-BE=(6-2t)cm, ∵QR∥BA,∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°, ∴△QRC是等边三角形, ∴QR=RC=QC=(6-2t)cm,∴EP=QR, ∴四边形EPRQ是平行四边形,∴PR=EQ= t cm, ∵△APR∽△PRQ, ∴ = ,∴ = ,解得t= , ∴当t= 时,△APR∽△PRQ. $第九章　图形的相似 3　相似多边形 1    　相似多边形及其性质 1.如图,用放大镜看到的多边形与原多边形相比较,不发生改 变的是(　　　) A.周长　　　     B.面积 C.每个内角的度数　　　     D.每条边的长度     C     解析　由题意得,用放大镜看到的多边形与原多边形是相似 的关系,用放大镜看到的多边形与原多边形相比较,周长、面 积、每条边的长度均增大了,每个内角的度数保持不变.故选 C. 2.(2025河北唐山滦南期末)如图,四边形ABCD∽四边形EFGH, 相似比为k,点A,E,B,F在同一条直线上,则下列说法不一 定正确的是 (　　　)   A.∠C=∠G　　　     B.AD∥EH C.CD∶GH=k　　　 D.BC⊥HG     D     解析　∵四边形ABCD∽四边形EFGH,相似比为k,∴∠C= ∠G,∠A=∠HEF,CD∶GH=k,∴AD∥EH.故A,B,C选项说法正 确,无法得出BC⊥HG,即D选项说法不一定正确.故选D. 3.(2025山东聊城东昌府月考)图2中的矩形是将图1中矩形的 宽拉长2x,长拉长x得到的,若两个矩形相似(不全等),则x的值 是 (　　　)  　      A.3　　　    B.4　　　    C.5　　　    D.6     A     解析　∵两个矩形相似, ∴ = 或 = , 解得x=3或x=0(舍去).故选A. 4.(2025山东聊城东阿月考)如图,四边形ABCD∽四边形EFGH, ∠A=80°,∠C=90°,∠F=70°,则∠H的度数为___________°.  　          120     解析　∵四边形ABCD∽四边形EFGH,∠F=70°, ∴∠B=∠F=70°, ∴∠H=∠D=360°-70°-80°-90°=120°. 5.【学科特色·易错题】若两个相似多边形的最长边的长度分 别为10和20,且其中一个多边形的最短边的长为4,则另一个多 边形的最短边的长为___________.     8或2     解析　设另一个多边形的最短边的长为x,根据题意,得10∶20 =4∶x或10∶20=x∶4,∴x=8或2. 易错警示 注意“其中一个多边形的最短边的长为4”,不确定是较大的多边形 的最短边的长,还是较小的多边形的最短边的长,应分情况考虑. 6.如图,六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F'.  　      (1)求六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'的相似比. (2)求∠A和∠B'的度数. (3)求边CD,EF,A'F',D'E'的长. 解析    (1)因为六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F',BC与B'C' 是对应边,且 = ,所以六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D' E'F'的相似比为12∶5. (2)因为六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F',所以∠A=∠A'= 90°,∠B'=∠B=150°. (3)因为六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F',且相似比为1 2∶5,所以 = = = = , 所以EF= E'F'=  cm,D'E'= DE=  cm,A'F'= AF=  cm, CD= C'D'=  cm.  　相似多边形的判定方法 7.(2025山东淄博桓台期末)如图,平行于正多边形一边的直线, 将正多边形分割成两部分,则阴影部分与原多边形相似的是  (　　　)  　　　     　　　     　　　           A     解析    A选项中,阴影三角形与原三角形的各角对应相等、各 边对应成比例,故相似,符合题意;B,C,D选项中,阴影部分与原 多边形的各角对应相等,但各边不对应成比例,故不相似,不符 合题意.故选A. 8.【学科特色·教材变式P96想一想】为了认识相似多边形,小 明分别画了四组图形:(1)两个菱形;(2)两个矩形;(3)两个正方 形;(4)两个平行四边形,则这四组图形一定相似的是_________. (只填序号即可)     (3)     解析　两个菱形,边对应成比例,角不一定对应相等;两个矩形, 角对应相等,边不一定对应成比例;两个正方形,角对应相等,边 对应成比例,一定相似;两个平行四边形的角不一定对应相等, 边不一定对应成比例.故一定相似的是(3).   9.(2025山东聊城阳谷期中,★★☆)如图,有甲、乙、丙三个矩 形,其中相似的是 (　　　) A.甲与丙　　　    B.甲与乙 C.乙与丙　　　    D.三个矩形都不相似     A     解析　∵三个矩形的各内角都是直角,甲、乙、丙相邻两边 的比分别为4∶6=2∶3,1.5∶2=3∶4,2∶3,∴甲与丙相似.故选 A. 10.【学科特色·教材变式P97读一读】(2025山东青岛市南期 中,★★☆)如图所示,一般书本的纸张是由一整张平板纸多次 对折得到的.矩形ABCD沿EF对折后,再把矩形EFCD沿MN对 折,以此类推.若各种开本的矩形都相似,那么 等于 (　　)       A A. 　　　    B.  C. 　　　    D.  解析　由题意得,AB=CD,AE= AD,矩形AEFB与矩形ABCD相 似,∴ = ,∴ = , ∴ = ,∴ = .故选A. 11.(2025山东泰安肥城期中,★★☆)如图所示,若把矩形ABCD 截去一个正方形CDFE(阴影部分)后,剩下的矩形ABEF仍与原 矩形相似,那么原矩形ABCD的两边AB与BC应满足的关系是 (　　　) A.AB∶BC=1∶      B     B.AB∶BC=( -1)∶2 C.AB∶BC=( -1)∶2 D.AB∶BC=( -1)∶2 解析　由题意得,AD=BC,DF=EF=EC=DC=AB,矩形ABEF∽ 矩形BCDA, ∴ = ,∴ = , 整理,得AB2+BC·AB-BC2=0, ∴ + -1=0, ∴ = (负值已舍去).故选B. 12.(★★☆)现有大小相同的正方形纸片若干张,小颖用其中4 张拼成一个如图所示的矩形,小亮想拼一个与它形状相同但 比它大的矩形,则他要用的正方形纸片的张数至少为_______.       16     解析　∵正方形纸片大小相同, ∴拼一个与题图形状相同但比它大的矩形,长和宽至少各是 题图中矩形长和宽的2倍, ∴需要的正方形纸片至少为2×2×4=16(张).   13.【新课标·推理能力】(2025河南驻马店驿城期中)如图,点E 是菱形ABCD对角线CA的延长线上一点,以线段AE为边作一 个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是 ∶2,连 接EB,GD. (1)求证:EB=GD. (2)若∠DAB=60°,AB=2,求GD的长. 解析    (1)证明:∵菱形AEFG∽菱形ABCD, ∴∠EAG=∠BAD,∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB, ∴∠EAB=∠GAD, ∵AE=AG,AB=AD,∴△AEB≌△AGD(SAS), ∴EB=GD. (2)如图,连接BD交AC于点P,则BP⊥AC, ∵∠DAB=60°,AB=2, ∴∠PAB=30°, ∴BP= AB=1,∴AP= = , ∵菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是 ∶2, ∴AE= ,∴EP=2 , ∴EB= = = ,∴GD= . $第九章　图形的相似 7　利用相似三角形测高    　利用阳光下的影子测量高度 1.(2025山东淄博张店月考)如图,利用标杆DA测量楼高, 点C,A,B在同一直线上,DA⊥CB,EB⊥CB,垂足分别为A,B.若测 得影长AB=16米,DA=3米,影长CA=4米,则楼高EB为_______米.       12     解析　∵DA⊥CB,EB⊥CB,∴∠DAC=∠EBA=90°, ∵DC∥EA,∴∠DCA=∠EAB,∴△DCA∽△EAB, ∴ = ,∴ = ,∴EB=12米.故答案为12. 2.【学科特色·教材变式P116T4】在数学活动课上,老师带领 数学小组测量大树AB的高度.如图,数学小组发现大树距离教 学楼5 m,大树的影子有一部分落在地面上,还有一部分落在教 学楼的墙上,墙上的影子CD长为2 m,已知此时长为1.2 m的竹 竿在水平地面上的影长是1 m,那么这棵大树的高度是多少?   解析　如图,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=BC=5 m,BE=CD= 2 m,   根据题意,得 = ,∴AE=1.2DE=1.2×5=6(m), ∴AB=AE+BE=6+2=8(m). 答:这棵大树的高度是8 m.  　利用标杆测量高度 3.(2025山东聊城东阿月考)王海同学为了测量校园内一棵大 树EF的高度,走到了校园的围墙CD外(如图所示),然后他沿着 过点F且与围墙CD垂直的直线从远处向围墙靠近至点B处,此 时王海同学看到围墙的顶端C和树的顶端E刚好重合.若BD=2 米,CD=3米,FD=8米,王海同学身高1.6米.求大树的高度.   解析　如图,作AH⊥EF于点H,交CD于点G,则AG=BD=2米, GH=DF=8米,AB=DG=HF=1.6米, ∴CG=CD-DG=3-1.6=1.4(米),AH=AG+GH=2+8=10(米),   ∵在Rt△AHE中,CG∥EH,∴△AGC∽△AHE, ∴ = ,即 = ,∴EH=7米, ∴EF=EH+HF=7+1.6=8.6(米). 答:大树的高度为8.6米.  　利用镜子的反射测量高度 4.(2025山东枣庄山亭期末)【学科融合】如图1,在反射现象 中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线 和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i. 【问题解决】如图2,小亮在点P处放置一面平面镜(平面镜的 大小忽略不计),他站在点C处恰好能通过平面镜看到塔的顶 端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔 底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6 米,点C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮 小亮计算出塔的高度AB. 解析　由光的反射定律易得,∠CPD=∠BPA, ∵DC,AB均垂直于CB, ∴∠DCP=∠ABP=90°, ∴△DCP∽△ABP,∴DC∶AB=PC∶PB, ∴1.6∶AB=4∶247.5,∴AB=99米. 答:塔的高度AB是99米.   5.【跨物理·光学实验】(2025山东烟台莱阳期末,★★☆)如 图,小明正在使用手电筒进行物理光学实验.地面上从左到右 依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处,手电筒 的光经平面镜上的点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落 在墙上的点E处.点E到地面的高度ED=4 m,点F到地面的高度 FC=1.5 m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m,墙到木板的水平 距离CD=5 m.已知光在镜面反射中的反射角等于入射角,图中 点A,B,C,D在同一水平面上.则灯泡到地面的高度GA为 ( )     A   A.1.2 m　　　    B.1.3 m　　　    C.1.4 m　　　    D.1.5 m 解析　由题意得,ED⊥AD,FC⊥AD,AG⊥AC, ∴∠EDA=∠FCA=∠GAC=90°, ∵∠FBC=∠EBD,∴△FBC∽△EBD, ∴ = ,∴ = ,∴BC=3 m, ∵AC=5.4 m, ∴AB=AC-BC=5.4-3=2.4(m), 由题意得,∠FBC=∠GBA, ∴△FBC∽△GBA,∴ = , ∴ = ,解得AG=1.2 m, ∴灯泡到地面的高度GA为1.2 m.故选A. 6.(2025山东威海乳山期中,★★☆)如图,竖直放置的旗杆AB 在某一时刻的影子恰好落在斜坡CD的点D处.已知此时1 m高 的竹竿的影长为1 m,测得BC为10 m,CD为8 m,斜坡CD与地面 成30°角,则旗杆的高度AB为______________m.       (6+4 )     解析　如图,延长AB交DF于点E,   ∵1 m高的竹竿的影长为1 m,∴AE=DE. 易知四边形BCTE是矩形,∴BC=ET=10 m,BE=CT. 在Rt△CDT中,∠CTD=90°,CD=8 m,∠CDT=30°,∴CT= CD= 4 m, ∴BE=CT=4 m,DT= = =4 (m), ∴AE=DE=ET+DT=(10+4 )m, ∴AB=AE-BE=(10+4 )-4=(6+4 )m.   7.【新课标·应用意识】学习了“利用相似三角形测高”这一节知识后,小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量一座塔的高度,他们的测量方法如下:如图,小辰在点C处放置一平面镜,他从点C沿BC后退,当退行1.2米到点E处时,恰好在镜子中看到塔顶A的像,此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离DE=1.6米;然后小辰继续后退34.2米到点G处,此时小辰眼睛的水平视线与塔的顶端A所成的角度(即∠AFD)是45°. 已知点B,C,E,G在同一水平直线上,点D,F在同一水平直线上,且 AB,DE,FG均均垂直于BG,求这座塔的高度AB. 解析　如图,延长FD,与AB交于H,   根据题意可知FH⊥AB,DE=FG=HB=1.6米,CE=1.2米,EG=34.2 米,∠AFD=45°,HF=BG,∴AH=HF, 设AH=HF=x米,∴BC=BG-CE-EG=x-1.2-34.2=(x-35.4)米,AB= (x+1.6)米, 根据题意可知∠DEC=∠ABC=90°,∠DCE=∠ACB, ∴△DCE∽△ACB,∴ = ,∴ = , ∴x=146.4,∴AH=146.4米,∴AB=146.4+1.6=148(米). 答:这座塔的高度AB为148米. $第九章　图形的相似 第1课时　线段的比和比例的基本性质 1　成比例线段  　形状相同的图形 1.下列图形不是形状相同的图形的是 (　　　) A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B.用放大镜将一个小图案放大的过程中,原有图案和放大图 案 C.某人的侧身照片和正面照片 D.一棵树与它在水中的倒影     C     解析　一个人的正面照片和侧身照片在轮廓比例、五官呈现 方式上存在明显差异,因此不是形状相同的图形.故选C. 2.请认真观察如图所示的各组中的两个图形,哪些是形状相同 的图形?哪些是形状不同的图形?     解析　③⑤中的图形形状相同,①②④⑥中的图形形状不同.  　两条线段的比 3.(2025安徽滁州全椒期中)若线段a=8 cm,b=4 dm,则 = (　　) A. 　　　    B.5　　　    C. 　　　    D.2 B     解析　∵b=4 dm=40 cm,∴ = =5.故选B. 4.(2025陕西宝鸡凤翔期中)如图,点B是线段AC上一点,且线段 AB∶BC=2∶3,则线段AB∶AC等于(　　　)   A.2∶5　　　    B.5∶2　　　    C.3∶5　　　    D.5∶3     A     解析　∵线段AB∶BC=2∶3,∴设AB=2x,BC=3x, ∴AC=AB+BC=5x,∴AB∶AC=2∶5.故选A.  　成比例线段 5.【学科特色·等积法】(2025山东淄博高新区期末)下列四组 线段中,是成比例线段的是 (　　　) A.4 cm,3 cm,4 cm,5 cm B.10 cm,16 cm,5 cm,8 cm C.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm D.9 cm,8 cm,15 cm,10 cm     B     解析    A.∵3×5≠4×4,∴四条线段不是成比例线段,故不符合 题意;B.∵5×16=8×10,∴四条线段是成比例线段,故符合题意; C.∵2×8≠4×6,∴四条线段不是成比例线段,故不符合题意; D.∵8×15≠9×10,∴四条线段不是成比例线段,故不符合题意. 故选B. 方法解读 等积法:在判断给定的四条线段是否成比例时,先将四条线段的长度 化成统一的单位,再按大小顺序排列,将最长线段和最短线段的长度 的乘积与中间两条线段长度的乘积比较,若积相等,则四条线段成比例,反之则不成比例. 6.【学科特色·多解法】判断长度分别为 , ,6,10的四条线段 能否组成比例线段. 解析　【解法一】定义法: 因为 ∶ = ,6∶10= ,所以 ∶ =6∶10,所以长度分别为 ,  ,6,10的四条线段能组成比例线段. 【解法二】等积法: 把四条线段的长度从小到大排列为 , ,6,10, 因为 ×6=2, ×10=2,所以 ×6= ×10,所以长度分别为 , ,6, 10的四条线段能组成比例线段.  　比例的基本性质 7.(2025山东济南高新区期中)若 = ,则 的值是 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C.12　　　    D.      B     解析　∵ = ,∴ = .故选B. 8.【学科特色·方程思想】(2025山东聊城冠县期末)1 和 的 比例中项是__________.     ±1     解析　设1 和 的比例中项是x, 由题意得, = ,即x2=1 × =1, 解得x=1或x=-1. 9.计算: (1)已知3∶x=5∶2,求x的值. (2)已知 = ,y≠0,求 的值. 解析    (1)∵3∶x=5∶2,∴5x=6,∴x= . (2)∵ = ,y≠0, ∴5y=3(2y-x),∴5y=6y-3x,∴y=3x,∴ = .   10.【学科特色·教材变式P87随堂练习T1】(2025黑龙江哈尔 滨香坊期中,★★☆)在一幅比例尺是1∶1 000 000的地图上, 用_______厘米表示60千米 (　　　) A.0.06　　　    B.6　　　    C.0.6　　　    D.60     B     解析    60千米=6 000 000厘米,设用x厘米表示60千米, 则 = ,解得x=6.故选B. 11.【新考向·数学文化】(★★☆)《九章算术》“粟米篇” 中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十,… …”其大意为“50单位的粟,可换得30单位的粝米,……”问 题:有3斗的粟(1斗=10升),若按照此“粟米之法”,则可以换得 粝米(　　　) A.1.8升　　　    B.16升　　　    C.50升　　　    D.18升     D     解析　根据题意,得3斗=30升,设可以换得的粝米为x升,则 =  ,解得x= =18,故选D. 12.【学科特色·分类讨论思想】(2025山东烟台莱州期中,★ ★☆)已知三条线段的长分别是4 cm,5 cm和10 cm,如果再加 上一条线段,使这四条线段成比例,那么这条线段的长是_____ ________cm. 或8或2      解析　设所加线段的长是x cm,则 = 或 = 或 = ,解得 x= 或x=8或x=2. 13.(2025山东济南期末,★★☆)如图,点M在线段AB上,线段 BM与AM的长度之比为5∶4,点N为线段AM的中点.若AB=27, 则BN=__________.       21     解析　∵BM∶AM=5∶4,∴设BM=5x,AM=4x,∴BM+AM=9x, ∵AB=27,且AB=BM+AM,∴9x=27,解得x=3.∴AM=12,BM=15. ∵点N是线段AM的中点,∴MN= AM=6,∴BN=BM+MN=15+6 =21. 14.(2025上海普陀期中,★★☆)已知a∶b=0.3∶0.4,b∶c= ∶, 求a∶b∶c. 解析　∵a∶b=0.3∶0.4=3∶4=9∶12, b∶c= ∶ =3∶5=12∶20, ∴a∶b∶c=9∶12∶20. 15.【新课标·中华优秀传统文化】(2025山东济南历城月考, ★★☆)书画装裱,主要指以各种纸、绢、绫、锦对书法、国 画作品进行美化、装饰、保护的一种手工技艺.如图,一幅书 画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m,装裱后,上、下、左、右边 衬的宽度分别是a m,b m,c m,d m,若装裱后AB与AD的比是 16∶10,且a=b,c=d,c=2a,求a的值. 解析    由题意得,AB=1.2+c+d=1.2+2c=(1.2+4a)m,AD=0.8+a+ b=(0.8+2a)m,∴ = ,解得a=0.1, 经检验,a=0.1是原方程的解.∴a的值为0.1.   16.【新课标·几何直观】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥ AB,垂足为D,已知AC=3,BC=4. (1)线段AD,CD,CD,BD是不是成比例线段?写出你的理由. (2)在这个图形中,能否再找出其他成比例的四条线段?如果 能,请至少写出两组.   解析    (1)AD,CD,CD,BD是成比例线段. 理由:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4, ∴AB=5, ∵S△ABC= AB·CD= BC·AC, ∴CD= = =2.4, 在Rt△ADC中,AD= =1.8, ∴BD=AB-AD=5-1.8=3.2, ∴AD∶CD=CD∶BD=3∶4, ∴线段AD,CD,CD,BD是成比例线段. (2)能. = , = .(答案不唯一,写出两组即可) $