3.2频率的稳定性 讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第三章 概率初步 频率的稳定性 1. 频率的概念 在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。 频率的定义 设在n次重复试验中，事件A发生了m次，则称 fₙ(A) = m/n 为事件A发生的频率。 其中：n表示试验总次数，m表示事件A发生的次数。 频率的性质 1. 非负性：任何事件A的频率fₙ(A) ≥ 0 2. 规范性：必然事件的频率等于1，不可能事件的频率等于0 3. 有限可加性：如果两个事件A、B互斥，则fₙ(A∪B) = fₙ(A) + fₙ(B) 2. 频率的稳定性 在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率。 频率的稳定性（大数定律） 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，并且随着试验次数的增加，这种摆动的幅度会越来越小。这个常数称为该事件的概率。 核心思想：试验次数越多，频率越接近概率。 3. 用频率估计概率 当试验的所有可能结果不是等可能的，或者试验的所有可能结果不容易列举时，我们可以通过大量重复试验，用频率来估计概率。 频率估计概率的方法 1. 进行大量重复试验（次数n足够大） 2. 记录事件A发生的次数m 3. 计算频率fₙ(A) = m/n 4. 用这个频率作为事件A概率的估计值 示例：掷硬币试验 历史上许多数学家做过掷硬币试验，验证"正面朝上"的频率稳定性： 试验者 掷硬币次数(n) 正面朝上次数(m) 频率(m/n) 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 可以看出，随着试验次数的增加，频率越来越接近0.5，这个0.5就是"正面朝上"的概率。 二、重难点讲解 重难点1：理解频率与概率的区别与联系 频率和概率是两个容易混淆的概念，必须明确它们的区别与联系。 频率与概率的对比 对比项 频率 概率 定义 事件发生的次数与试验总次数的比值 事件发生的可能性大小的度量 与试验的关系 与试验结果有关，是试验后确定的 是事件固有的属性，试验前就存在 是否变化 随着试验次数的不同而变化 是固定不变的常数 取值范围 0 ≤ fₙ(A) ≤ 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 获得方法 通过试验统计得到 可以通过理论计算或大量试验的频率估计 频率与概率的联系 1. 频率是概率的近似值：当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近。 2. 概率是频率的稳定值：大量重复试验中频率的稳定值就是概率。 3. 用频率估计概率：当概率不容易直接计算时，可以用大量试验的频率来估计概率。 重难点2："大量重复试验"的理解 "大量重复试验"是频率稳定性的前提条件，但"大量"的具体含义需要正确理解。 "大量"的含义 1. 相对性："大量"是相对的，与具体问题有关。有些问题需要成千上万次试验，有些问题可能几百次就够了。 2. 趋势性：我们关注的是趋势——随着试验次数的增加，频率越来越稳定。 3. 渐进性：频率接近概率是一个渐进过程，不是突变过程。 常见误解纠正 误解1：认为试验次数越多，频率就一定越接近概率。 正解：从长期趋势看是这样，但短期内频率可能有波动。试验次数增加只是"可能性"增大，不是"必然"更接近。 误解2：认为频率最终会等于概率。 正解：频率是随机波动的，通常不会精确等于概率，只是在概率附近波动。 重难点3：用频率估计概率的应用 用频率估计概率是解决实际问题的重要方法，特别是在无法通过理论计算概率时。 应用场景举例 1. 产品质量检验：从一批产品中随机抽查若干件，统计合格品的频率，用这个频率估计整批产品的合格率。 2. 生物种群数量估计：捕捉一部分生物做标记后放回，过段时间再捕捉，根据标记生物在第二次捕捉中的频率，估计种群数量。 3. 种子发芽率：随机取一定数量的种子做发芽试验，统计发芽的频率，用这个频率估计该批种子的发芽率。 4. 民意调查：随机调查一部分人，统计支持某种观点的人数比例，用这个频率估计整体人群的支持率。 用频率估计概率的步骤 1. 明确要估计概率的事件 2. 设计合理的试验方案 3. 进行大量重复试验，记录数据 4. 计算事件发生的频率 5. 用频率作为概率的估计值 6. 分析估计的可靠性（通常试验次数越多，估计越可靠） 三、易错点讲解 易错点1：混淆频率与概率 常见错误：认为频率就是概率，或者认为某次试验的频率等于概率。 错误示例：掷一枚均匀硬币10次，有6次正面朝上，就说"正面朝上"的概率是0.6。 错因分析：频率是试验结果，会随着试验次数的变化而变化。概率是事件固有的属性，是固定值。10次试验太少，频率0.6只是偶然结果，不能作为概率。 正确理解：只有进行大量重复试验，频率才会稳定在概率附近。少量试验的频率可能与概率有较大差异。 易错点2：忽视"大量重复"的条件 常见错误：用少量试验的频率直接作为概率的估计值。 错误示例：掷骰子10次，有2次出现6点，就认为出现6点的概率是0.2。 错因分析：10次试验太少，频率受偶然因素影响大，不能反映真实的概率。均匀骰子出现6点的理论概率是1/6≈0.1667，但10次试验的频率可能与这个值相差很大。 正确做法：用频率估计概率时，必须进行大量重复试验。试验次数越多，估计越可靠。 易错点3：错误理解频率的"稳定性" 常见错误：认为频率会单调地接近概率，或者认为频率一定会越来越接近概率。 频率稳定性的正确理解： 1. 频率是在概率附近波动，不是单调变化 2. 随着试验次数增加，波动幅度一般会变小 3. 但波动是随机的，短期内频率可能偏离概率更远 4. 从长期趋势看，频率在概率附近波动 示例：掷硬币试验中，前10次可能7次正面（频率0.7），前20次可能12次正面（频率0.6），前100次可能55次正面（频率0.55）。频率在0.5附近波动，且随着试验次数增加，波动减小。 易错点4：用频率估计概率时忽视试验的随机性 常见错误：认为不同人做相同次数的试验，得到的频率应该相同或非常接近。 错因分析：频率具有随机性。即使试验次数相同，不同人做试验，或者同一个人在不同时间做试验，得到的频率通常不同。 正确理解：频率的随机性是正常现象。用频率估计概率时，我们关注的是大量试验下频率的稳定趋势，而不是某一次具体试验的频率值。 示例：A同学掷硬币100次，得到52次正面（频率0.52）；B同学掷硬币100次，得到48次正面（频率0.48）。两人的频率不同，但都在理论概率0.5附近，这都是正常的。 易错点5：概率估计的精度误解 常见错误：认为用频率估计概率可以得到精确值，或者认为估计值与理论概率的误差会随着试验次数增加而趋于0。 正确理解： 1. 用频率估计概率得到的是近似值，不是精确值 2. 随着试验次数增加，估计的精度一般会提高（误差变小） 3. 但即使试验次数很大，估计值也可能与理论概率有微小差异 4. 实际应用中，我们根据需要的精度确定试验次数 精度与试验次数的关系：一般地，试验次数越多，用频率估计概率的精度越高。但精度提高的速度会减慢（边际效应递减）。 易错点6：用频率估计概率的适用范围错误 常见错误：对任何概率问题都用频率估计，忽视理论计算的方法。 正确选择方法： 情况 适用方法 示例 等可能事件 理论计算：P(A)=m/n （m为有利结果数，n为所有可能结果数） 掷骰子出现偶数点 非等可能事件，或结果不易列举 用频率估计概率 某批产品的合格率 既有理论值又需要验证 两种方法结合，用试验验证理论 掷硬币正面朝上的概率 注意：对于等可能事件，应优先用理论计算，这样更准确、更简单。用频率估计是近似方法，适用于无法理论计算的情况。 易错点总结与应对策略 易错点 错误原因 正确做法 混淆频率与概率 认为频率就是概率 明确频率是试验结果，概率是固有属性 忽视"大量重复" 用少量试验频率作为概率估计 必须进行大量重复试验才能用频率估计概率 误解频率"稳定性" 认为频率单调接近概率 理解频率是在概率附近随机波动 忽视试验随机性 认为相同次数试验频率应相同 理解频率具有随机性，不同试验频率不同是正常的 概率估计精度误解 认为频率估计能得到精确概率 频率估计得到的是近似值，试验次数越多精度越高 适用范围错误 对等可能事件也用频率估计 等可能事件用理论计算，非等可能或不易计算时才用频率估计 一、 选择题 1 .(单选)如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（      ） A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B.掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C.一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 2 .(单选)在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（      ） A. B. C. D. 3 .(单选)在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外无其他区别 摇匀后从中随机摸出个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中有红球（   ）． A.个 B.个 C.个 D.个 4 .(单选) 结果期，研究人员对该试验田中圣女果每株的结果个数统计如下表，则该品种圣女果每株的结果个数在60以上的概率为（        ） 测试的圣女果总株数 m 200 400 600 800 1000 结果个数在60以上的株数 n 169 339 511 681 850 结果个数在60以上的频率 0.845 0.848 0.852 0.851 0.850 A.0.80 B.0.84 C.0.85 D.0.90 5 .(单选)小胡将一枚质地均匀的硬币抛掷了次，正面朝上的情况出现了次，若用表示正面朝上这一事件，则事件发生的频率（   ）． A.是 B.是 C.是 D.接近 6 .(单选)小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（　　） A.小星定点投篮1次，不一定能投中 B.小星定点投篮1次，一定可以投中 C.小星定点投篮10次，一定投中3次 D.小星定点投篮3次，一定投中1次 7 .(单选)二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A.160 B.240 C.120 D. 8 .(单选)如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（      ） A. B. C. D. 二、 填空题 1 .如图，从以下给出的四个条件中选取一个： （）； （）； （）； （）． 恰能判断的概率是           ． 2 .袋中装有个红球、个黑球、个白球，这些球除颜色外都相同，现从袋中任意摸出一球，则摸到           球的可能性最大. 3 .某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约           （结果精确到0.1） 4 .做重复试验，抛掷一枚啤酒瓶盖次，经过统计发现“凸面向上”的次数为次，那么由此可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率为           . 5 .一般地，事件发生的可能性大小的数值，称为事件发生的           ，记作           . 一般地，如果一个试验有种等可能的结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为 . 6 .在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的个小球，其中红球的个数为，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定于附近，那么可以推算出的值大约是           . 7 .总结： （1） 当事件为不可能事件时，           ； （2） 当事件为必然事件时，           ； （3）当事件为随机事件时，                      ； （4）                      . 8 . 抛掷一枚硬币若干次，记录正面向上的次数. 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上的”频率      1           2           3      将上表补充完整，观察发现，当抛掷次数增加时，“正面向上”的频率不断接近           .（精确到） 三、 解答题 1 . 综合与实践： 实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影图形） 实践方案设计：在草地的外围画了一个长米、宽米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如表： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 石子落在草地外、长方形内的次数 石子落在长方形外的次数 数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮助他们写出计算过程． 2 .小明掷一枚质地均匀的硬币 他掷了次, 其中有次正面朝上、次正面朝下 他认为再掷一次， 一定正面朝上 你同意他的观点吗？ 与同伴进行交流. 3 .某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表： ( 1 )计算并完成表格；（结果精确到） ( 2 )这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？ 4 . 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共个．小颖做摸球实验，她从中随机摸出一个球记下颜色放回，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 ( 1 )请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近           ．（精确到） ( 2 )假如你摸一次，你摸到白球的概率（白球）           ． ( 3 )试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 5 . 靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题：(1)上表中，_____，_____；(2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1）(3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 6 . 【综合与实践】测量不规则草地的面积（如下图阴影图形）．【实践方案设计】在草地的外围画了一个长5 m、宽4 m的长方形，有四个小组的同学分别在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 【数据整理与计算】估计石子落在草地内的概率（精确到0.1），并算出草地的大致面积． 7 . 某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如表所示： 射击总次数 击中靶心的次数 击中靶心的频率 ( 1 )完成上表. ( 2 )根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图. ( 3 )观察画出的折线统计图，击中靶心的频率的变化有什么规律？ 8 .某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： ( 1 )这种树苗成活的频率稳定在           ，成活的概率估计值为           ． ( 2 )该地区已经移植这种树苗万棵．如果该地区计划成活万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？ 9 .在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球个、红球个、黑球个，它们除了颜色外其他都相同． ( 1 )从袋中随机摸出个球，求摸出黑球的概率． ( 2 )向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？ 10 . 下表是一名同学在罚球线上投篮的 实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1）(2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 11 .春节期间，凡是在某商场消费满 元的顾客均可获得一次抽奖机会，抽奖活动设置如下：翻奖牌，奖牌的正面、背面如图所示，顾客只能在 个数字中选择一个翻牌． 请解答下列问题： ( 1 )抽到什么奖品的可能性最大？ ( 2 )请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品（包含手机、烤箱、球拍、电影票、谢谢惠顾），使得最后抽到“球拍”的可能性和“电影票”的可能性一样大. 12 . 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 ( 1 )补全表格中的数据：           ，           ． ( 2 )请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近           ．（精确到） ( 3 )小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率初步 频率的稳定性 1. 频率的概念 在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。 频率的定义 设在n次重复试验中，事件A发生了m次，则称 fₙ(A) = m/n 为事件A发生的频率。 其中：n表示试验总次数，m表示事件A发生的次数。 频率的性质 1. 非负性：任何事件A的频率fₙ(A) ≥ 0 2. 规范性：必然事件的频率等于1，不可能事件的频率等于0 3. 有限可加性：如果两个事件A、B互斥，则fₙ(A∪B) = fₙ(A) + fₙ(B) 2. 频率的稳定性 在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率。 频率的稳定性（大数定律） 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，并且随着试验次数的增加，这种摆动的幅度会越来越小。这个常数称为该事件的概率。 核心思想：试验次数越多，频率越接近概率。 3. 用频率估计概率 当试验的所有可能结果不是等可能的，或者试验的所有可能结果不容易列举时，我们可以通过大量重复试验，用频率来估计概率。 频率估计概率的方法 1. 进行大量重复试验（次数n足够大） 2. 记录事件A发生的次数m 3. 计算频率fₙ(A) = m/n 4. 用这个频率作为事件A概率的估计值 示例：掷硬币试验 历史上许多数学家做过掷硬币试验，验证"正面朝上"的频率稳定性： 试验者 掷硬币次数(n) 正面朝上次数(m) 频率(m/n) 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 可以看出，随着试验次数的增加，频率越来越接近0.5，这个0.5就是"正面朝上"的概率。 二、重难点讲解 重难点1：理解频率与概率的区别与联系 频率和概率是两个容易混淆的概念，必须明确它们的区别与联系。 频率与概率的对比 对比项 频率 概率 定义 事件发生的次数与试验总次数的比值 事件发生的可能性大小的度量 与试验的关系 与试验结果有关，是试验后确定的 是事件固有的属性，试验前就存在 是否变化 随着试验次数的不同而变化 是固定不变的常数 取值范围 0 ≤ fₙ(A) ≤ 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 获得方法 通过试验统计得到 可以通过理论计算或大量试验的频率估计 频率与概率的联系 1. 频率是概率的近似值：当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近。 2. 概率是频率的稳定值：大量重复试验中频率的稳定值就是概率。 3. 用频率估计概率：当概率不容易直接计算时，可以用大量试验的频率来估计概率。 重难点2："大量重复试验"的理解 "大量重复试验"是频率稳定性的前提条件，但"大量"的具体含义需要正确理解。 "大量"的含义 1. 相对性："大量"是相对的，与具体问题有关。有些问题需要成千上万次试验，有些问题可能几百次就够了。 2. 趋势性：我们关注的是趋势——随着试验次数的增加，频率越来越稳定。 3. 渐进性：频率接近概率是一个渐进过程，不是突变过程。 常见误解纠正 误解1：认为试验次数越多，频率就一定越接近概率。 正解：从长期趋势看是这样，但短期内频率可能有波动。试验次数增加只是"可能性"增大，不是"必然"更接近。 误解2：认为频率最终会等于概率。 正解：频率是随机波动的，通常不会精确等于概率，只是在概率附近波动。 重难点3：用频率估计概率的应用 用频率估计概率是解决实际问题的重要方法，特别是在无法通过理论计算概率时。 应用场景举例 1. 产品质量检验：从一批产品中随机抽查若干件，统计合格品的频率，用这个频率估计整批产品的合格率。 2. 生物种群数量估计：捕捉一部分生物做标记后放回，过段时间再捕捉，根据标记生物在第二次捕捉中的频率，估计种群数量。 3. 种子发芽率：随机取一定数量的种子做发芽试验，统计发芽的频率，用这个频率估计该批种子的发芽率。 4. 民意调查：随机调查一部分人，统计支持某种观点的人数比例，用这个频率估计整体人群的支持率。 用频率估计概率的步骤 1. 明确要估计概率的事件 2. 设计合理的试验方案 3. 进行大量重复试验，记录数据 4. 计算事件发生的频率 5. 用频率作为概率的估计值 6. 分析估计的可靠性（通常试验次数越多，估计越可靠） 三、易错点讲解 易错点1：混淆频率与概率 常见错误：认为频率就是概率，或者认为某次试验的频率等于概率。 错误示例：掷一枚均匀硬币10次，有6次正面朝上，就说"正面朝上"的概率是0.6。 错因分析：频率是试验结果，会随着试验次数的变化而变化。概率是事件固有的属性，是固定值。10次试验太少，频率0.6只是偶然结果，不能作为概率。 正确理解：只有进行大量重复试验，频率才会稳定在概率附近。少量试验的频率可能与概率有较大差异。 易错点2：忽视"大量重复"的条件 常见错误：用少量试验的频率直接作为概率的估计值。 错误示例：掷骰子10次，有2次出现6点，就认为出现6点的概率是0.2。 错因分析：10次试验太少，频率受偶然因素影响大，不能反映真实的概率。均匀骰子出现6点的理论概率是1/6≈0.1667，但10次试验的频率可能与这个值相差很大。 正确做法：用频率估计概率时，必须进行大量重复试验。试验次数越多，估计越可靠。 易错点3：错误理解频率的"稳定性" 常见错误：认为频率会单调地接近概率，或者认为频率一定会越来越接近概率。 频率稳定性的正确理解： 1. 频率是在概率附近波动，不是单调变化 2. 随着试验次数增加，波动幅度一般会变小 3. 但波动是随机的，短期内频率可能偏离概率更远 4. 从长期趋势看，频率在概率附近波动 示例：掷硬币试验中，前10次可能7次正面（频率0.7），前20次可能12次正面（频率0.6），前100次可能55次正面（频率0.55）。频率在0.5附近波动，且随着试验次数增加，波动减小。 易错点4：用频率估计概率时忽视试验的随机性 常见错误：认为不同人做相同次数的试验，得到的频率应该相同或非常接近。 错因分析：频率具有随机性。即使试验次数相同，不同人做试验，或者同一个人在不同时间做试验，得到的频率通常不同。 正确理解：频率的随机性是正常现象。用频率估计概率时，我们关注的是大量试验下频率的稳定趋势，而不是某一次具体试验的频率值。 示例：A同学掷硬币100次，得到52次正面（频率0.52）；B同学掷硬币100次，得到48次正面（频率0.48）。两人的频率不同，但都在理论概率0.5附近，这都是正常的。 易错点5：概率估计的精度误解 常见错误：认为用频率估计概率可以得到精确值，或者认为估计值与理论概率的误差会随着试验次数增加而趋于0。 正确理解： 1. 用频率估计概率得到的是近似值，不是精确值 2. 随着试验次数增加，估计的精度一般会提高（误差变小） 3. 但即使试验次数很大，估计值也可能与理论概率有微小差异 4. 实际应用中，我们根据需要的精度确定试验次数 精度与试验次数的关系：一般地，试验次数越多，用频率估计概率的精度越高。但精度提高的速度会减慢（边际效应递减）。 易错点6：用频率估计概率的适用范围错误 常见错误：对任何概率问题都用频率估计，忽视理论计算的方法。 正确选择方法： 情况 适用方法 示例 等可能事件 理论计算：P(A)=m/n （m为有利结果数，n为所有可能结果数） 掷骰子出现偶数点 非等可能事件，或结果不易列举 用频率估计概率 某批产品的合格率 既有理论值又需要验证 两种方法结合，用试验验证理论 掷硬币正面朝上的概率 注意：对于等可能事件，应优先用理论计算，这样更准确、更简单。用频率估计是近似方法，适用于无法理论计算的情况。 易错点总结与应对策略 易错点 错误原因 正确做法 混淆频率与概率 认为频率就是概率 明确频率是试验结果，概率是固有属性 忽视"大量重复" 用少量试验频率作为概率估计 必须进行大量重复试验才能用频率估计概率 误解频率"稳定性" 认为频率单调接近概率 理解频率是在概率附近随机波动 忽视试验随机性 认为相同次数试验频率应相同 理解频率具有随机性，不同试验频率不同是正常的 概率估计精度误解 认为频率估计能得到精确概率 频率估计得到的是近似值，试验次数越多精度越高 适用范围错误 对等可能事件也用频率估计 等可能事件用理论计算，非等可能或不易计算时才用频率估计 一、 选择题 1 .(单选)如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（      ） A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B.掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C.一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】 B 2 .(单选)在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（      ） A. B. C. D. 【答案】 A 3 .(单选)在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外无其他区别 摇匀后从中随机摸出个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中有红球（   ）． A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 A 设口袋中有红球个．因为摸到黄球的频率稳定在， 根据频率估计概率，可得， 解方程，解得． 所以估计口袋中有红球个． 4 .(单选) 结果期，研究人员对该试验田中圣女果每株的结果个数统计如下表，则该品种圣女果每株的结果个数在60以上的概率为（        ） 测试的圣女果总株数 m 200 400 600 800 1000 结果个数在60以上的株数 n 169 339 511 681 850 结果个数在60以上的频率 0.845 0.848 0.852 0.851 0.850 A.0.80 B.0.84 C.0.85 D.0.90 【答案】 C 5 .(单选)小胡将一枚质地均匀的硬币抛掷了次，正面朝上的情况出现了次，若用表示正面朝上这一事件，则事件发生的频率（   ）． A.是 B.是 C.是 D.接近 【答案】 B 频率的计算公式是事件发生的次数除以总试验次数． 本题中，抛掷硬币总次数是次，正面朝上（事件发生）的次数是次， 所以事件发生的频率为． 6 .(单选)小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（　　） A.小星定点投篮1次，不一定能投中 B.小星定点投篮1次，一定可以投中 C.小星定点投篮10次，一定投中3次 D.小星定点投篮3次，一定投中1次 【答案】 A 7 .(单选)二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A.160 B.240 C.120 D. 【答案】 C 8 .(单选)如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（      ） A. B. C. D. 【答案】 B 二、 填空题 1 .如图，从以下给出的四个条件中选取一个： （）； （）； （）； （）． 恰能判断的概率是           ． 【答案】 （）∵， ∴， 根据内错角相等，两直线平行即可证得； （） ∵， ∴， 根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证； （）∵， ∴， 根据同位角相等，两直线平行即可证得； （）∵， ∴， 根据同旁内角互补，两直线平行即可证得，不能证． ∴恰能判断的概率是：． 2 .袋中装有个红球、个黑球、个白球，这些球除颜色外都相同，现从袋中任意摸出一球，则摸到           球的可能性最大. 【答案】 红 袋中一共有球个， 摸到红球的概率是，摸到黑球的概率是，摸到白球的概率是． 因为，所以摸到红球的可能性最大． 3 .某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约           （结果精确到0.1） 【答案】 4 .做重复试验，抛掷一枚啤酒瓶盖次，经过统计发现“凸面向上”的次数为次，那么由此可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率为           . 【答案】 根据频率估计概率的方法，当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 已知抛掷啤酒瓶盖次，“凸面向上”的次数为次， 所以“凸面向上”的频率为． 由于试验次数较多，因此可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为． 答案： 5 .一般地，事件发生的可能性大小的数值，称为事件发生的           ，记作           . 一般地，如果一个试验有种等可能的结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为 . 【答案】 概率 事件发生的可能性大小的数值，称为事件发生的概率，记作． 概率的计算核心是“等可能结果中，事件包含的结果数与总结果数的比值”， 即当试验有种等可能结果、事件包含种结果时，． 6 .在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的个小球，其中红球的个数为，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定于附近，那么可以推算出的值大约是           . 【答案】 已知袋中装有个小球，红球有个，摸到红球的概率， 根据概率公式可得，解得． 综上，答案为． 7 .总结： （1） 当事件为不可能事件时，           ； （2） 当事件为必然事件时，           ； （3）当事件为随机事件时，                      ； （4）                      . 【答案】 （1）不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，发生的概率为 ． 答案： （2）必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，发生的概率为 ． 答案： （3）随机事件：指可能发生也可能不发生的事件，发生的概率介于 和 之间． 答案： （4）所有事件的概率范围：任何事件的概率都不会小于 ，也不会大于 ． 答案： 8 . 抛掷一枚硬币若干次，记录正面向上的次数. 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上的”频率      1           2           3      将上表补充完整，观察发现，当抛掷次数增加时，“正面向上”的频率不断接近           .（精确到） 【答案】 当抛掷次数，“正面向上”的次数时，频率； 当抛掷次数，“正面向上”的次数时，频率； 当抛掷次数，“正面向上”的次数时，频率． 然后观察这些频率，当抛掷次数增加时，“正面向上”的频率不断接近（精确到）． 综上，表格中依次填、、；最后一空填． 三、 解答题 1 . 综合与实践： 实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影图形） 实践方案设计：在草地的外围画了一个长米、宽米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如表： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 石子落在草地外、长方形内的次数 石子落在长方形外的次数 数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮助他们写出计算过程． 【答案】 草地的大体面积为平方米． 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在长方形内的次数比例如下： 一组：； 二组：； 三组：； 四组：. ∴估计石子落在草地内的概率约为， ∴草地的大体面积为（平方米）． 2 .小明掷一枚质地均匀的硬币 他掷了次, 其中有次正面朝上、次正面朝下 他认为再掷一次， 一定正面朝上 你同意他的观点吗？ 与同伴进行交流. 【答案】 不同意他的观点 不同意他的观点．理由如下： 他再掷一次，正面有可能朝上，也有可能朝下，各占 ； 如果小明进行大量的掷质地均匀的硬币的试验，那么正面朝上的频率会越来越接近 . 3 .某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表： ( 1 )计算并完成表格；（结果精确到） ( 2 )这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？ 【答案】 (1) (2) (1)根据频率公式（其中是发芽的粒数，是试验的种子粒数）， 当，时，发芽的频率为． (2).理由如下： 在相同条件下，进行多次试验后，某一件事发生的频率近似等于概率. 4 . 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共个．小颖做摸球实验，她从中随机摸出一个球记下颜色放回，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 ( 1 )请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近           ．（精确到） ( 2 )假如你摸一次，你摸到白球的概率（白球）           ． ( 3 )试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【答案】 (1) (2) (3)黑球个，白球个． (1)由表中数据可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近． (2)∵摸到白球的频率为， ∴假如你摸一次，你摸到白球的概率（白球）． (3)黑球数为（个）， 白球数为（个）． 5 . 靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题：(1)上表中，_____，_____；(2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1）(3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】 (1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 6 . 【综合与实践】测量不规则草地的面积（如下图阴影图形）．【实践方案设计】在草地的外围画了一个长5 m、宽4 m的长方形，有四个小组的同学分别在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 【数据整理与计算】估计石子落在草地内的概率（精确到0.1），并算出草地的大致面积． 【答案】 估计石子落在草地内的概率为0.8，所以草地的大致面积为 7 . 某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如表所示： 射击总次数 击中靶心的次数 击中靶心的频率 ( 1 )完成上表. ( 2 )根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图. ( 3 )观察画出的折线统计图，击中靶心的频率的变化有什么规律？ 【答案】 (1)见解析 (2)见解析 (3)击中靶心的频率接近于． (1) 射击总次数 击中靶心的次数 击中靶心的频率 (2)运动员击中靶心的频率的折线统计图如图所示. (3)根据折线统计图，可得击中靶心的频率接近于． 8 .某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： ( 1 )这种树苗成活的频率稳定在           ，成活的概率估计值为           ． ( 2 )该地区已经移植这种树苗万棵．如果该地区计划成活万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？ 【答案】 (1) (2)万棵． (1)由图可知，成活概率在上下波动， 故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为； (2)（万棵）． 答：该地区还需移植这种树苗约万棵． 9 .在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球个、红球个、黑球个，它们除了颜色外其他都相同． ( 1 )从袋中随机摸出个球，求摸出黑球的概率． ( 2 )向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？ 【答案】 (1) (2) (1)（摸出黑球）． (2)加入黑球后的总球数为（个 ） 则加入黑球后，黑球数为（个） ∴加人的黑球数为 （个）. 10 . 下表是一名同学在罚球线上投篮的 实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1）(2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】 (1)0.5 (2)290 11 .春节期间，凡是在某商场消费满 元的顾客均可获得一次抽奖机会，抽奖活动设置如下：翻奖牌，奖牌的正面、背面如图所示，顾客只能在 个数字中选择一个翻牌． 请解答下列问题： ( 1 )抽到什么奖品的可能性最大？ ( 2 )请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品（包含手机、烤箱、球拍、电影票、谢谢惠顾），使得最后抽到“球拍”的可能性和“电影票”的可能性一样大. 【答案】 (1)抽到谢谢惠顾的可能性最大. (2)见解析 (1)由背面的奖品分布可知，“谢谢惠顾”有个，“手机”个，“烤箱”个，“球拍”个． 因为，所以“谢谢惠顾”的数量最多，抽到“谢谢惠顾”的可能性最大． (2)设计的九张牌中有三张是球拍，三张是电影票，其他的三张牌中手机、烤箱、谢谢惠顾各一张.（答案不唯一） 12 . 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 ( 1 )补全表格中的数据：           ，           ． ( 2 )请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近           ．（精确到） ( 3 )小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 【答案】 (1) (2) (3)这个游戏不公平，调整见解析 (1)，， 故答案为：，； (2)当次数足够大时，摸到红球频率将会接近， 故答案为：； (3)你认为这个游戏不公平， 调整：应该在盒子里分别装上个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是，从而使得游戏公平． 学科网（北京）股份有限公司 $