专题6 培优课11 离心率的最值与范围问题-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

)如图1，在椭圆C:大 +2=1(a>b>0) ①如图1或图2，在双曲线C:名-局 中，E为弦AB的中点，则k·k=-公 a 1(a>0,b>0)中，E为弦AB的中点，则koF 2）如图2，在椭圆C:a?大 6=1(a>b>0) kAB= a 中，直线1与椭圆相切于E点，则kO·,= b 2)如图3，直线1与双曲线C:=1(a (3)如图3，直线1过坐标原点0，交椭圆C: a2+ 0,b>0)相切于E点，则k0r·k,= =1(>b>0)于A,B两点，E是椭圆上异于A, y b (3)如图4，直线1过坐标原点O,交双曲线C: B两点的动点，则kE·kAB= =1(a>0,b>0)于A,B两点，E是双曲线 y 2.双曲线的垂径定理 上异于A,B点的动点，则ke·k=名 关米米 (4)如图5，直线1交双曲线两渐近线于A,B两 点.E为线段AB的中点，则kr·大- 跟踪训练②已知直线1的斜率为1，且与双曲线 x 2 一y2=1在第一象限相切于点A,则点A的 坐标为 温馨提示》请完成教考衔接练⑤ 培优课11离心率的最值与范围问题 》考情分析 椭圆、双曲线离心率的最值与范围问题是高考的热点题型，解决方法一般有代数法与几何性质法，此类问 题综合性较强，难度较大. 热点分类》考向探究 考向1利用定义求离心率的最值（范围） 。听课记录 [例1(2025·湖北黄石二模)已知双曲线C: a =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F, y F2,过点F2的直线1与双曲线C的右支交于A, B两点，若|AF1十|BF,|=3|F,F2,则双 曲线C的离心率的取值范围是 ( 反思感悟， A.(1,3+√6] B.1,3+5 解决此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定 2 义，有时结合余弦定理或勾股定理，构造关于a,b,c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心 3+√5 ,3+5 D. 3+ 率自身的范围. 2 2 ,3十6 138 2对勾讲与练·高三二轮数学 跟踪训练01)卫划双曲线C:芹一茶=1a> (c一a)2相切，与C交于第一象限的一点B.若 √ 0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C上存 3 ≤k≤1，则C的离心率的取值范围是 在点P,使得|PF,=3PF2|,则C的离心率 ( ) 的取值范围为 A.[3,3+2√2] A.[2,+o∞) B.(1,√2] B.[3,3+45] C.[2,+∞) D.(1,2] (2)已知F1,F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P C.[3+22,7+43] 是它们的公共点，且∠F,PF:=子设r1e:分 D.[3+4√3,7+43] (2)(2025·黑龙江大庆二模)设F1,F2为椭圆 别为椭圆和双曲线的离心率，则3e十e的最小 值为 ( ) +名=1a>b>0)与双曲线C,公共 A.1 B.2 的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M, C.3 D.4 △MF,F2是以线段MF,为底边的等腰三角 考向2利用几何性质求离心率的最值（范围）】 形，且|MF,|=2.若椭圆C1的离心率e∈ 例2已知椭圆℃ =1(a>b>0),过C 「341 8’9 ,则双曲线C,的离心率的取值范围是 的右焦点的直线L交C于A,B两点，若存在直 线1使得|AB=2,则C的离心率的取值范 「557 A.43 B+ 围是 ( A日 B C.(1,4] D. c 考向3利用图形求离心率的最值（范围） D. [例3(2025·湖南长沙挨拟)设椭圆C,之十 心听课记录 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A 在C上运动，点P在圆O:x2+y2=4a2上运动， 且|PA|+|AF1|≤3|FF2|恒成立，则C的 离心率的取值范围是 () .( 4反思感悟， c 利用圆锥曲线的性质，如椭圆的最大角、通径、 三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范 心听课记录 围等，建立不等式（不等式组）求解」 眼踪训练®1)已知双线C:1a 0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),过 点A且斜率为k的直线1与圆(x一c)2十y2= 第一部分专题六平面解析几何 139 反思感悟… 利用几何图形中几何量的大小、点线的位置关 c.(. 系，例如线段的长度、角的大小、点在（曲）线上（外） 等，构造几何量之间的关系 2)已知椭圆C:1 =1(0<b<2). 跟踪训练③(1)(2025·贵州黔东南模拟)已知椭 A(20),B1,0),若稻圆C上存在3个不同 圆心 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 的点P满足|PB=2|PA|,则椭圆C的离心 62 率的取值范围是 F1,F2,点P在该椭圆上，若满足△PF1F2为 直角三角形的点P共有8个，则该椭圆离心率 Ao n.(o) 的取值范围是 ( 停 停 B. 培优专训》难点突破 ②021·全国乙卷理)设B是椭圆C2十 B.若C,的一条渐近线的倾斜角为，则C,的 1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P 都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范 离心率为号 围是 ( C若点F,到C,的新近线的距离为？，则C:的 图 离心率为C离心率的2倍 D.若以FF2为直径的圆与C,没有公共点，则 c. .( C,的离心率的取值范围为 + 2.设F1F2为椭圆C:y2+=1(0<n<1)的 n 两个焦点，若在C上存在一点P，满足 4(202·会因甲卷丈)记双曲线C:后-茶 ∠F1PF2=90°，则C的离心率的取值范围为 1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件 ( “直线y=2x与C无公共点”的e的一个 层 值 B. y 已知椭圆十1a>b>c之0)的左、有 c.(o. 焦点分别为F1(一c,0),F2(c,0),若以F2为圆 2 心，b一c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此 3(多造)已知椭圆C,后+景=1a>≥6>0)和 1y2 圆的切线，切点为T,若PT≥a-6)恒 双曲线C2:乙。一=1，椭圆C的左、右焦点分 成立，则该椭圆离心率e的取值范围 别为F1,F2,则下列结论正确的是 ( 为 A若C的离心率为，则C,的离心率为号 140 2对勾讲与练·高三二轮数学2=0.因为直线1与双曲线相切，所以 △=0，即16m2一4(2m2+2)=0,解得 士1. 当m =1时， y =x+1, t三二21 当 2 一y1,解得 =1, y=x-1, m=一1时， -y2=1. 解得 二又切点A在第一象限，故点A 的坐标为(2,1). 方法二（垂径定理法）设切点坐标为 A(x0yn),由垂径定理得kOA·k,= yo b2 To a 2,又点A(y)在双曲 线上，且位于第一象限，所以2 2 0 -y8 = 1,y。>0,解得y。=1,则x。=2,故点 A的坐标为(2,1). 培优课11 离心率的 最值与范围问题 》热点分类·考向探究《 例1B由题意知|AF1-AF2|= 2a,|BF,-|BF2|=2a,两式相加 得AF,+IBF,-(AF2|+ IBF2)=4a.AF2+BF2= |AB,所以 AF+BF- AB=4a.AF+BF= 3「F:F2=6c,所以AB|=6c- 4a,当AB⊥x轴时|AB最小，此 时1AB1=2D,所以26≤6c-4.又 6=c2-a2,所以2(c2-a2) ≤6c a 4a,整理得2c2一6ac十2a2≤0.又离心 率e=C,所以两边同除以a2得2e2 6e+2≤0，解得3-5 2 又双曲线的离心率e>1,所以双曲线 的喜心拿的取植范因是(，同 故选B. 跟踪训练1 (1)D 因为|PF1|= 3|PF2|,|PF1|-PF2=2a,所 以|PF2|=a,又|PF:|≥c-a,所 以a≥c-a,所以离心率e=C≤2. a 又双曲线的离心率大于1，所以1 e≤2.故选D. (2)C设椭圆的长轴长为2a1,双曲线 的实轴长为2a2,椭圆和双曲线的半焦 距均为c.在椭圆中满足4c2= I PF+PF212-PF PF2=PF+ PF2)2 3|PF1·|PF2=4a-3|PF1 |PF2|,在双曲线中满足4c2= PF+PF22-PF. I PF2= IPF1一 PF2)2+ IPF,I· PF2|=4a2+1PF,· IPF2,消去PF,·PF2|,得 4c2=4a-3(4c2-4a),整理得a7+ =4c,则+3=4，所以3+ 3a? e 1 1(e+9e+6≥2w5+6=3,当 4 且仅当二三)e=2时等号成立 故选C 例2D设C的右焦，点坐标为(c,0),长 轴是过C的右焦点的最长弦，当直线 不垂直于y轴时，设直线（的方程为 +芳-清去符 (x =ty+c, x=ty+c,由x2 (6212+a2)y2+262cty-b=0, A(x,),B(z2,y2),y+y2 -26'ct b4 tayiy:ba 则AB|=/1+t2· V√(y1+y2)2-4y1y2=√1十t· 1-262ct 2. 4b4 √bt2+a2 +612+a 2ab2(2+1) 2ab2 b212+a2 c2≥262 6++1 ,当 且仅当1=0时取等号，依题意，号≥ 2b2 1 、1纹选 跟踪训练2(1)A依题意，点A(一a, 0),直线l的方程为y=k(x十a),圆 (x-c)2+y2=(c-a)2的圆心为(c, 0),半径为c一a,由直线l与圆(x c)2十y2=(c-a)2相切，得 Ik(c+a) =c一a,设双曲线的离心 √k2+1 率为e, 则e+1 = c+a e-1 c-a +=，1+， k b2又3≤1。 3 2 因此1+ 1 e-√1+∈[2,2]， 即-1≤<1，每得3≤3 2√2，所以C的离心率的取值范围是 [3,3+2√2].故选A. (2)D如图，因为F,,F2为椭圆C1: 十》=1(a≥b之0)与双曲线C2 公共的左、右焦点，△MF1F2是以线段 MF,为底边的等腰三角形，且 |MF,=2, M 则|MF2|=|F1F2|=2c(c>0),由 「347 横国C的离心率e∈8，g」，即 FF2 2c =IMF MF:I-2+2c [】释e[]由点 厂34] 厂557 M在第一象限，得双曲线C2的离心率 |F,F2 2c e'= IMF MF 2-2c [后可线n 例3C由题可得圆半径为2a,因为 PA+|AF,≤3F,F2|恒成立， 所以3|F,F2|≥(1PA|十 |AF1|)mx·由椭圆的定义，可得 PA+AF=PA 2a |AF2,如图，当P,F2,A三点共线 时，|PA十2a-AF2|最大，为 |PF2|十2a,又对于圆上一，点P,当 P,O,F2 点共线时|PF:最大，又 OF2 c,则|PF2|+2a≤ |PO+|OF2|+2a=4a+c,即 (|PA|+|AF1|)max=4a+c,取最值 时，P,O,F2,A四点共线，则4a十c≤ 3引FF:=6c,即4a≤5c,所以专≤ <1，即C的离心率e∈[号).故 d 选C EO FA 跟踪训练3(1)A 如图，因为使 △PF,F2为直角三角形的点P有8 个，所以在△OBF2中，必有 ∠OBF2>45°，即|OF21>|OB|,所 以c>b→c2>b2,即c2>a2-c2→ 一 令可得商心率。> 2、又椭圆 的离心率e<1,所以e∈（故 选A D (2)C如图，设P(x,y),由|PB|= 2|PAI,得W/(x-1)2十y= 2(+）)+y,化商得x+ 1)2+y=1,即点P的轨迹是以点 (一1,0)为圆心，1为半径的圆，则该圆 与椭圆C有3个交点， /(x十1)2+y2=1, 22 由 =1 消去y得(4一 4 b2)x2+ 8x+4b2=0,即(x+ 2(+2”)-0送城-2是方程 的一个解，点（一2,0）是圆与椭圆的1 个公共点，因此 2b2 必为方程的另 4-b2 262 一个解，则一2< b2-4 <0,解得 参考答案331 b2<2,所以椭圆C的离心率e= √-名∈停)选c B 》培优专训·难点突破《 1.C 设P(xaya),因为B(0,b), 十 =1,a2=b2+c2,所以|PB12= zo+(yo -6=a(0-g)+ 6=(+)+ ,因为-b≤y≤b,当-6 一b, 即b2≥c2时，|PB|品x=4b2,即 PB max=2b,符合题意，由b2≥c2 可得a≥22，即0<≤ 2: 当 京>-b,即62<c2时，PB 名+a2+6,即2+a2+6≤16，化 简得(c2一b2)2≤0，显然该不等式不 成立.故选C. 2.B 由椭圆C:y2+=1(0<1< 1),可知焦点F1,F2在y轴上，且a2= 1,b2=n,所以a=1,b=√n,c I一n.在C上存在点P,满足 ∠F,PF2=90°，当P在左、右顶点 时，∠F,PF2取到最大值，只需P在 左、右顶点时，∠FPF2≥90°，所以 b≤c,所以b2≤c2,所以a2一c2≤c2, 解得≥又椭圆的离心率小于1， 2 所以C的离心率的取值范围为 故选B. 3.AC设椭圆C1、双曲线C,的半焦距 分别为c1,c2,离心率分别为e1,e2,则 c1=√a2-b2,c2= a2+b2,e1= 2 C2 a a 若C的离心率为2，则1 可得4 =，所以C,的离心车 e2= 1+ ,故A正确：若C 2 的一条新近线的领斜角为行，则 √3 tan 6 ,则C,的离心率e1= √6 2 3 ,故B错误；因为 F1(-/a2一b2,0),双曲线的一条渐 近线方程为y=6x,即br一ay=0, b 3321对勾讲与练·高三二轮数学 则点F,到C2的渐近线的距离为 b va-b b b23 √/a2+b2 ,整理可得 5 62 可得e=√1 10 = -,e2= 5 5 ,所以C2的离心率 为C1离心率的2倍，故C正确：若以 F,F2为直径的圆与C,没有公共点，则 c1<b,则c=a2-b2<b2,又a> b>0,整理可得1> a 2,则e2= a36 2V2,故D错误.故 选AC. 4.2(满足1<e≤W5皆可) 解析：因为C:=1(a>06> O),所以C的渐近线方程为y= 士么，结合渐近线的特点，只需0< ≤2，即6 a ≤4，可满足条件“直线 y=2x与C无公共点”，所以e=C 11+6,≤1+4=5：又因为e≥ 1,所以1<e≤√5，故e满足1<e √5皆可. sg 解析：如图所示，易知PT= √个PF2-TF2P= √TPF2-(b-c),又焦半径 |PF2|的最小值为a-c,且|PT|≥ )(a=c)恒成立，则(a-c)2(b白 c)2≥(a=c),又bc>0,ac>≥ 0,所以2a-)≥6-c,整理可得 a+c≥2b,即(a+c)2≥4b2=4a2 4c2,可得5c2+2ac-3a2≥0，即5e2+ 3 2e-3≥0，又e∈(0,1)，解得e≥5， 又b-c>0,所以a2-c2>c2,解得 e② ，所以e∈ 3V2 L5’2/· 创新题6平面解析几何 》热点分类·考向探究《 例1解：(1)因为蔓叶线C的方程为y2= 则 -x≥0且1-x≠0，所以 台≥0等价于任1。.≥0 解得0≤x<1. 则蔓叶线C上任一点横坐标的取值范 围为[0,1). (2)证明：设M(1,yo)(y。>0),已知 直线OM的方程为y=kx(k=ya),将 其代入圆A的方程（一）+少 是得到(-)+62=子 对(-)+x2= 进行整理 得(1+k2)x2-x=0, 1 解得x=0或x= 1+k2 因为点N不与点O重合，所以点V的 横坐标xN= 1+k2 已知OP =NM,设P(xy), 根据向量坐标运算，O=(x,y), 应=(1-士。-小：因为 y=k.x,所以x=1一 1+k9 3 1+k3'y=kx 1+k2 将x= 1+k2 代入蔓叶线方程y2 、 的右边得 1-x 2 1- 1+k2 k (1+k2)3 k 1+k 1+k2一k2 (1+k2)31 1+k2 k8 (1+k2)2 (1+”),即蔓 叶线方程右边的值等于y2,等式成立. 所以点P的坐标满足蔓叶线C的方程， 即点P在蔓叶线C上. (3)证明：l。:m.x+ny=1(m2+n2≠ 0),齐次化联立直线与曲线方程，得到 y2= ，则y3十(m mx+ny-x 1Dxy-x3=0,即n(）+(m 1)(）-1=0, 由题意知所得的关于义的一元三次方 程的三个根即为直线OR,OS,OT的 斜率，设其斜率分别为k1,k2,k3, 结合一元三次方程根与系数的关系 知，k,十2十k= 1-m =2025,故 1-m=2025n,则1-2025n=m, 代人直线方程，即(1-2025n)x十 ny=1,化简得(y-2025x)n+x 1=0,式子恒成立， 则x-1=0,y-2025x= 0,解得 x=1,y=2025.故直线l。过定点 (1,2025).原命题成立. 跟踪训练1解：(1)方法一 设焦点 F1(-a,0),F2(a,0)(a>0), 曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2)与x 轴正半轴交于点P(3,0), 由题意知|PF1PF2|=(3十