巧用均值不等式分类求多个正数和与积的取值范围(二) 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

巧用均值不等式分类求多个正数和与积的取值范围(二)原题 例7.若,求的最小值. 例8.若实数,且满足；求的最大值. 例9.已知,求函数的值域. 例10.已知实数满足;求的最小值. 变式训练 4.已知实数a，b，c都是正实数，且＋＋ ＝1，求a＋2b＋3c的取值范围. 5.求函数的最小值. 巧用均值不等式分类求多个正数和与积的取值范围(二)答案与解析 我们知道利用平均值不等式“若,则(当且仅当时取等号)”来求一个式子的最值问题,要注意同时具备三个条件:①要正(即两个数是正实数);②要定(即必须(或)是一个定值,才能求(或)的最值);③要等号能取得到(即存在两个这样的正实数使等号成立);请记住在用均值不等式求最值问题时,以上三个条件一定要满足,是缺一不可的.并且可以看出,用均值不等式求解只能解决两个问题:(1)若积为定值时,则和有最小值;即当为定值时,有,当且仅当时,.(2)若和为定值时,则积有最大值;即当为定值时,有,当且仅当时,.这就是“定积和小,定和积大”定理;这个定理对多个正数也是适用的,当时,则 (当且仅当时取等号);若积为定值, 则当且仅当时,和;若和为定值, 则当且仅当时,积. 下面我们来看,当且在一个式子中同时含有与时,如何来求两个正实数的和与积的最值或取值范围;有时在和为定值的条件下如何求积的最大值,或在积为定值的条件下如何求和的最小值.将问题推广:对个正数,在和为定值的条件下如何求积的最大值,或在积为定值的条件下如何求和的最小值.由于本专题讲义篇幅较长，故分为两讲来给大家介绍，这是第(二)个讲义. 例7.若,求的最小值. 解法1:因,则;当且仅当,即时,.(法2:由“定积和小”定理,因且为定值,则有最小值;当且仅当,即时,.法3:利用导数,因,则;由,且,得;由,且,得;原函数在上递减,在上递增;故当时,.) 例8.若实数,且满足；求的最大值. 解法1:因,得,则;由均值不等式 ;当且仅当,即,时,.(法2:由“定和积大”定理,因,显然两正数之和:为定值,则其积有最大值;当且仅当,即时,.法3:消元配方法,因,由已知条件易得,则,而 ;显然当时,. 例9.已知,求函数的值域. 法1:因则;而 ;不等式(1)处当且仅当,即时取等号,不等式(2)处因,即时取等号;因(1)与(2)处取等号条件均为是一致的,故当时,.(点评:本题求解使用了两次不等式,考虑到两次不等式取等号的条件要一致,而第二次不等式是利用的有界性,其等号成立时为,于是需要将拆成,目的是为了让第一次的均值不等式在时取等号.本题要防止这种错解:,则是错误的,原因是等号成立的条件为且,解得这是不可能的,故等号不成立.) 法2:(利用函数单调性)因,令;则其定义域为;因对恒成立,则在上单调递减,故. 法3:(利用一元二次方程根的分布与二次函数的性质)图3,因,令;则,即关于的一元二次方程在上有解,设方程的两个根为,由韦达定理知,不妨设,则;令,则函数的图像与轴在和上各有一个交点;则方程在上有一个解的充要条件为且解得;即时,. 法4:(数形结合)因,设,则表示动点与定点连线的斜率;点在曲线上运动(图4),过作曲线的切线,设切点,则;因,则,故切线方程为,将点坐标代入方程中解得(取正),但,即切点不在上;则由图4知当与重合时,,故当时,.(另外,也可这样来解:设切线方程为,代入中得 ①;由,解得(取正),将代入方程①中有,得,即切点不在上;则由图4知当与重合时,,故当时,.) 例10.已知实数满足;求的最小值. 解法1:因,则,由均值不等式知(当且仅当即时取等号),得;则 ;不等式(2)当且仅当且,即时取等号,不等式(1) 当且仅当,即时取等号;故,时,.（注:本题通过两次使用均值不等式来求最值,并要使得两次取等号的条件应一致且能成立.） 法2.因则,而,即(当且仅当,即取等号);则;不等式(1)和(2)分别当且仅当和时取等号,即当,时,得. 法3.因,,;则 ;不等式(1)和(2)分别当且仅当和时取等号,即当,时,得. 法4.因,,则 ;不等式当且仅当,即解得,时取等号,故. 点评:例10中法1与法2均两次使用了均值不等式求解,并且两次不等式有先后顺序之分,必须按先后顺序操作才能正确求解.法3尽管也是两次使用了均值不等式求解,但这两个不等式的使用是并列关系,没有先后顺序操作之别,且可以同时使用这两个不等式.法4仅使用了一个推广了的8个式子的均值不等式,这8个式子是根据求解问题的需要凑配出来的,凑配时还要注意这8个式子能够同时相等且它们的因式之积为常数,才能使这8个式子的和最小;本题可利用“定积和小”定理求解,因这8个因式之积为常数,则这8个因式之和有最小值，当且仅当时, 即可解得,时有最小值,故将,代入中得. 变式训练题答案及解析 4.解：法一，由于实数a，b，c都是正实数，且＋＋ ＝1. 则有a＋2b＋3c＝(＋＋)(a＋2b＋3c)＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋) ≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝，c＝1时取等号，故a＋2b＋3c的取值范围为. 法二，由于实数a，b，c都是正实数，且＋＋ ＝1. 则有a＋2b＋3c＝(＋＋)(a＋2b＋3c)≥＝9＝9，当且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝，c＝1时取等号，故a＋2b＋3c的取值范围为. 5.解：因,令,则;本题接下去可仿照例9的方法来解. 法1(拆项后用均值不等式与有界性)因,则 ;当且仅当不等式(1)、(2)均在时取等号,拆项的目的是为了使两个不等式取等号的条件相同;故当,即时,. 法2(利用函数单调性)令,因对恒成立,则在上递增;故当,即时,. 法3(利用一元二次方程根的分布与二次函数的性质)由,得关于的一元二次方程在上有解,设方程的两个根为,由韦达定理知,不妨设,则;令,则函数的图像与轴在和上各有一个交点;则方程在上有一个解的充要条件为解得;故当,即时,. 法4:(数形结合)因,则表示动点与定点连线的斜率;点在曲线上运动,过作曲线的切线,设切点,则;因,则,故切线方程为,将点坐标代入方程中解得(取正),但,即切点不在上;作出图像知当与重合时,;故当,即时,. 学科网（北京）股份有限公司 $ 巧用均值不等式分类求多个正数和与积的取值范围(二)原题 我们知道利用平均值不等式“若,则(当且仅当时取等号)”来求一个式子的最值问题,要注意同时具备三个条件:①要正(即两个数是正实数);②要定(即必须(或)是一个定值,才能求(或)的最值);③要等号能取得到(即存在两个这样的正实数使等号成立);请记住在用均值不等式求最值问题时,以上三个条件一定要满足,是缺一不可的.并且可以看出,用均值不等式求解只能解决两个问题:(1)若积为定值时,则和有最小值;即当为定值时,有,当且仅当时,.(2)若和为定值时,则积有最大值;即当为定值时,有,当且仅当时,.这就是“定积和小,定和积大”定理;这个定理对多个正数也是适用的,当时,则 (当且仅当时取等号);若积为定值, 则当且仅当时,和;若和为定值, 则当且仅当时,积. 下面我们来看,当且在一个式子中同时含有与时,如何来求两个正实数的和与积的最值或取值范围;有时在和为定值的条件下如何求积的最大值,或在积为定值的条件下如何求和的最小值.将问题推广:对个正数,在和为定值的条件下如何求积的最大值,或在积为定值的条件下如何求和的最小值.由于本专题讲义篇幅较长，故分为两讲来给大家介绍，这是第(二)个讲义. 例7.若,求的最小值. 例8.若实数,且满足；求的最大值. 例9.已知,求函数的值域. 例10.已知实数满足;求的最小值. 变式训练 4.已知实数a，b，c都是正实数，且＋＋ ＝1，求a＋2b＋3c的取值范围. 5.求函数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $