巧用均值不等式分类求多个正数和与积的取值范围(一) 讲义——2026届高三数学二轮专题

巧用均值不等式分类求多个正数和与积的取值范围(一) 讲义 我们知道利用平均值不等式“若,则(当且仅当时取等号)”来求一个式子的最值问题,要注意同时具备三个条件:①要正(即两个数是正实数);②要定(即必须(或)是一个定值,才能求(或)的最值);③要等号能取得到(即存在两个这样的正实数使等号成立);请记住在用均值不等式求最值问题时,以上三个条件一定要满足,是缺一不可的.并且可以看出,用均值不等式求解只能解决两个问题:(1)若积为定值时,则和有最小值;即当为定值时,有,当且仅当时,.(2)若和为定值时,则积有最大值;即当为定值时,有,当且仅当时,.这就是“定积和小,定和积大”定理;这个定理对多个正数也是适用的,当时,则 (当且仅当时取等号);若积为定值, 则当且仅当时,和;若和为定值, 则当且仅当时,积. 下面我们来看,当且在一个式子中同时含有与时,如何来求两个正实数的和与积的最值或取值范围;有时在和为定值的条件下如何求积的最大值,或在积为定值的条件下如何求和的最小值.将问题推广:对个正数,在和为定值的条件下如何求积的最大值,或在积为定值的条件下如何求和的最小值.由于本专题讲义篇幅较长，故分为两讲来给大家介绍，这是第(一)个讲义. 例1.已知实数,且满足;求与的取值范围. 解析:因实数,由均值不等式易得(当且仅当时取等号);化简得到,解之得(舍去,因),或(当且仅当时取等号);又因,则(当且时,则且;同理当且时,则且);从而得,即的取值范围为. 又因(当且仅当时取等号),即且;解得(当且仅当时取等号),易得;故. 例2.已知实数,且满足;求与的取值范围. 解析:因实数,由均值不等式易得(当且仅当时取等号);化简得到,解之得(舍去,因),或(当且仅当时取等号);由条件,得;且当时,,此时;故综合得的取值范围为. 又因(当且仅当时取等号),即且;解得(当且仅当时取等号),易得;由条件,得;且当时,,此时;故综合得的取值范围为. 例3.某农户计划利用一面院墙(可以足够长)围出间一样大小的养鸡场(如图1).(1)若农户用长为米的篱笆来做隔离栏,则怎样围才能使总面积最大?最大面积是多少?(2)若农户需用篱笆围一个总面积为平方米的养鸡场,怎样围才能使所用篱笆料的长度最短?最短长度为多少? 解析:(1)如图1,设每个小矩形的长为米,宽为米,间矩形养鸡场的总面积为平方米;则,且;因,解得且;由均值不等式得,解出,得,当且仅当,即时,;故.因此当每个小矩形的长为米,宽为米时,养鸡场总面积最大为平方米.(法2[直接利用“定和积大”定理]:由且,易得且;求的最大值,只需求的最大值;因为定值,则有最大值,当且仅当,即时,; 故.法3: 因,,即定值;则;当且仅当,即时,平方米.) (2)因养鸡场总面积,即为定值;则篱笆料的长度 ;当且仅当且时,因,解出;故小矩形的长为米,宽为米时,最短篱笆料为米. (法2[直接利用“定积和小”定理]:由且,即为定值,则有最小值;当且仅当,即时, 米.) 例4.如图2,某单位为处理一种含有毒物质的污水,要制造一个底宽为米的无盖长方体消毒箱,有毒污水由孔流入,经消毒处理后从孔流出;现有制箱材料平方米,并设计箱体的长度为米,高度为米(孔的面积忽略不计);由研究分析知从孔流出的水中含有毒物质的质量分子数与的乘积成反比，且比例系数为.(1)问各为多少米时,经消毒后流出的水中所含有毒物质的质量分子数最小?(2)出于安全考虑,在消毒箱的正面制一警示牌写上“有毒水质,请勿接触”的标语,为了使警示牌更加醒目,其边线CDEF三段(图2中粗线段)用发光材料制作;求发光材料总长度的最小值及的取值范围. 解析:(1)设表示从孔流出的水中含有毒物质的质量分子数,则,要使最小,只需求的最大值;依题意得且,则有,并有 ,即且,解得；当且仅当时,,即当米,米时,质量分子数. (2)设发光材料总长度;由(1)知,且有,化简得,解之得(舍去),或;当且仅当,且,解出,米时,则.因,故所求. 例5.已知,求的最大值. 解法1:因,则,而,则为定值;由“定和积大”定理知,当且仅当,即时,. 法2.因,由均值不等式;当且仅当,即时,. 法3.(利用导函数)因(),而；由且,解得;由且,解得;知原函数在上单调递增,在上单调递减;故当时,. 例6.已知都是正实数,且;求的最小值. 解析:因,且,则;当且仅当,且时,.(另解:利用“定积和小”定理,因正数积为定值,则正数和有最小值;当且仅当时,.) 变式训练 1.已知,且；求的最小值及相应的之值. 2.求函数的值域. 3.已知两个不相等的正实数满足,求的取值范围. 提示与答案 1.解：因,且,则有;从而 ;当且仅当,且,解得, 时,. 2.解：因,则;而 ;不等式(1)当且仅当,即时取等号,不等式(2)当且仅当,即时取等号;由于两处不等式取等号的条件一致,故当时,;又因时,,或因时,;故原函数值域为.法2（求导）因 ;由且,解得;由且,解得;从而知函数在上递减,在上递增;则当时,,且当或时,均有;故原函数值域为. 3.解：因,且,则由,得 ;故有,解得. 故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $