第8章　四边形 习题课件 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第8章　四边形 8.4　梯形  　梯形及其相关概念 1.【新考向·操作实践题】在如图所示的点图(横、竖相邻两 点之间的距离为1 cm)中有一个矩形,沿虚线将矩形剪成两部 分,这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的 是 ( )     D     解析    A.不能拼成三角形和梯形,不符合题意;B.不能拼成梯 形,不符合题意;C.不能拼成三角形,不符合题意;D.既能拼成平 行四边形,又能拼成三角形和梯形,符合题意.故选D. 2.(2025福建福州闽清期中)如图,两个完全相同的直角梯形重 叠在一起,将其中一个直角梯形沿AB的方向平移,点A,B的对 应点分别为E,H,根据图中所标数据,可得阴影部分的面积为  ( )     C     A.75　　    B.100 C.105　　    D.120 解析　由平移的性质可知,BM∥HG,BC=HG=20, ∴BM=20-5=15, 由题意可知,S梯形ABCD=S梯形EHGF, ∴S梯形ABCD-S梯形EBMF=S梯形EHGF-S梯形EBMF, ∴S阴影部分=S梯形BHGM= ×(15+20)×6=105.故选C. 3.(2025上海嘉定二模)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对 角线AC,BD相交于点O,下列结论一定成立的是 ( )   A.∠CAB=∠CBA　　    B.∠DAB=∠ABC C.∠AOD=∠DAB　　    D.∠OAD=∠ODA D 解析　∵四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC, ∴AB=CD,AC=BD, 在△ABD和△DCA中,  ∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠BDA=∠CAD, ∴结论一定成立的是∠OAD=∠ODA.故选D. 4.(2025江苏苏州姑苏月考)如图,梯形ABCD中,DC∥AB,AD= BC,AC平分∠DAB,∠DCA=30°,DC=3 cm,则∠BCA=_____°, 梯形ABCD的周长为______cm. 15  90 解析　∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB, ∵DC∥AB,∴∠DAC=∠CAB=∠DCA=30°,∠D+∠DAB=180°, ∴AD=DC=3 cm,∠B=∠DAB=2∠DCA=60°, ∴∠ACB=90°, ∵AD=BC,∴CB=3 cm,∴AB=2BC=6 cm, ∴梯形ABCD的周长为3+3+3+6=15(cm). 故答案为90;15.  　梯形、三角形和平行四边形之间的关系 5.(2025江苏南通通州期中)一个直角梯形,下底长是12分米,如 果把下底缩短4分米,就变成了一个正方形,则原来直角梯形的 面积是__________平方分米.     80     解析　由题意得,直角梯形的上底长为12-4=8(分米),高是8分 米,∴原来直角梯形的面积是(8+12)×8÷2=80(平方分米).故答 案为80. 6.(2025广东汕头潮阳开学测试)如图,已知▱ABCD的面积为4 0 cm2,那么图中阴影部分的面积是_____cm2,整个梯形ABED 的面积和阴影部分的面积之比是_____. 5∶1 10 解析　∵▱ABCD的面积为40 cm2,AD=8 cm, ∴BC边上的高=40÷8=5(cm), ∴阴影部分的面积=4×5÷2=10(cm2), ∴梯形的面积=40+10=50(cm2), ∴整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积之比是50∶10= 5∶1.故答案为10;5∶1. 7.【学科特色·教材变式】(2025江苏泰州靖江三模)数学上定 义“两腰相等的梯形叫作等腰梯形”.请证明定理:同一底上 的两个内角相等的梯形是等腰梯形. 已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠DCB,求证:AB=CD. 证明　如图,过点A作AH∥DC,交BC于点H,   ∴∠C=∠AHB,∵AD∥BC,∴四边形AHCD是平行四边形,∴ AH=DC,∵∠ABC=∠C,∴∠ABC=∠AHB,∴AB=AH,∴AB=CD.   8.(2025陕西西安期末,★★☆)如图,已知梯形ABCD中,BC∥ AD,AB=BC=CD= AD,点A与原点重合,点D(4,0)在x轴上,则点 C的坐标是 ( )     B     A.(3,2) B.(3, ) C.( ,2) D.(2,3) 解析　如图,过点B作BF⊥AD于点F,过点C作CE⊥AD于点E, ∵BC∥AD,∴BF=CE,四边形BCEF是矩形,∴BC=EF, ∵AB=CD,∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL),∴AF=DE, ∵BC= AD,∴AF+DE=EF=BC,∴AF=DE= EF, ∵D(4,0),∴AF=DE=1,EF=BC=AB=CD=2, ∴CE= = , ∴点C的坐标是(3, ). 9.(2025广西柳州期末,★★☆)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥ CD,AB=6,CD=14,∠AEC是直角,CE=CB,则AE2等于 ( ) A.84　　    B.80 C.75　　    D.64     A     解析　如图,连接AC,过点A作AF⊥CD于点F,过点B作BG⊥ CD于点G,则AF=BG,FG=AB=6,DF=CG=4,∴FC=10, 在Rt△AFC中,AC2=AF2+FC2=AF2+100, 在Rt△BGC中,CB2=BG2+GC2=AF2+16, ∵CE=CB,∠AEC=90°, ∴AE2=AC2-CE2=AF2+100-(AF2+16)=84.故选A. 10.(★★☆)如图,在梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中 点,DE平分∠ADC,以下说法:①∠CDE=60°;②DE⊥AE;③AD <CD+AB;④S△ADE= S梯形ABCD.其中正确的是 ( )   A.①②④　　    B.③④ C.①②③　　    D.②④     D     解析　如图,过点E作EF⊥AD于点F,则∠DFE=∠AFE=90°,∵∠B=∠C=90°,∴∠DFE=∠C,∵DE平分∠ADC,∴∠FDE=∠CDE,又∵DE=DE,∴△DEF≌△DEC(AAS),∴EF=EC,∠FED=∠CED,DF=CD,∵E是BC的中点,∴EB=EC,∴EF=EC=EB,∵∠AFE=∠B=90°,AE=AE,∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL),∴AF=AB,∠AEF=∠AEB,∴AD=DF+AF=CD+AB,故③错误;∵∠FED+∠CED+∠AEF+∠AEB=180°,∴∠FED+∠AEF=90°,即∠AED=90°,∴DE⊥AE,故②正确;∵S△DEF=S△DEC,S△AEF=S△AEB,S△DEF+S△DEC+S△AEF+S△AEB=S梯形ABCD,∴S△DEF+S△AEF= S梯形ABCD,即S△ADE=  S梯形ABCD,故④正确;根据已知条件不能证明∠CDE=60°,故① 错误.综上,正确的是②④,故选D.   11.【新考向·动点探究题】(2025江苏镇江丹阳期末,★★★) 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AD=6,BC=12,四边 形ABCD的面积等于36. (1)求CD的长. (2)点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度在射线BC上运 动,连接AP,设点P运动的时间为t s.当t为何值时,以点A,P,C,D 为顶点的四边形是平行四边形? 解析    (1)如图1,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F, 由题意得,Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),∴BE=FC. ∵AE⊥BC,DF⊥BC,AD∥BC, ∴AE∥DF,四边形AEFD为矩形, ∵AD=6,∴EF=AD=6,∵BC=12,∴BE=FC=3. ∵四边形ABCD的面积等于36, ∴ ×(6+12)·DF=36, ∴DF=4,∴CD= =5.  图1　     图2 (2)①当四边形APCD为平行四边形时,如图2, ∵四边形APCD为平行四边形, ∴PC=AD=6,∴BP=BC-PC=6. ∵点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度在射线BC上运 动,∴t=6÷2=3; ②当四边形ACPD为平行四边形时,如图3,  图3 ∵四边形ACPD为平行四边形, ∴PC=AD=6,∴BP=BC+PC=18, ∵点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度在射线BC上运 动,∴t=18÷2=9. 综上所述,当t为3或9时,以点A,P,C,D为顶点的四边形是平行 四边形.   12.【新课标·推理能力】(2025贵州毕节期末)如图,四边形ABCD是等腰梯形,上底CD=6 cm,过点C作CE⊥BC,且CE=BC=13 cm,连接DE.若△DCE的面积为36 cm2,则AB的长为_________cm. 30 解析　如图,过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F,过点D作 DG⊥AB于点G,过点C作CH⊥AB于点H, ∵△DCE的面积为36 cm2,CD=6 cm, ∴ ×6EF=36,解得EF=12 cm, ∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴AG=BH,DC∥AB,∴CH=DG, ∵CE⊥BC,∴∠ECF=90°-∠BCF=∠BCH, 在△ECF和△BCH中,  ∴△ECF≌△BCH(AAS), ∴BH=EF=12 cm,∴AG=12 cm, ∵DG⊥AB,CH⊥AB,DC∥AB,∴GH=CD=6 cm, ∴AB=AG+GH+BH=12+6+12=30(cm). 13.【新课标·推理能力】【学科特色·分类讨论思想】(2024 上海虹口期末)如图,已知∠ABP=90°,AB=8,点C,E在射线BP上 (点C,E不与点B重合且点C在点E的左侧),连接AC,AE,D为AC 的中点,过点C作CF∥AE,交ED的延长线于点F,连接AF. (1)求证:四边形ABCF是梯形. (2)如果CE=5,当△CDE为等腰三角形时,求BC的长. 解析    (1)证明:∵CF∥AE,∴∠DCF=∠DAE, ∵D为AC的中点,∴CD=AD, 在△DCF和△DAE中,  ∴△DCF≌△DAE(ASA),∴CF=AE, ∴四边形AECF为平行四边形, ∴AF∥CE,即AF∥BC,∵CF∥AE,AE与AB交于点A, ∴CF与AB不平行,∴四边形ABCF是梯形. (2)①当CD=CE=5时,如图1, ∵D为AC的中点,∴AC=2CD=10, ∵AB=8,∠ABP=90°,∴BC= =6;  图1 ②当DE=CE=5时,过点F作FH⊥BP于H,如图2, 由(1)可知,四边形AECF为平行四边形, ∴EF=2DE=10,AF=CE=5,AF∥BP, ∵∠ABP=90°,FH⊥BP,∴四边形ABHF为矩形, 图2 ∴BH=AF=5,FH=AB=8,∴EH= =6, ∴BC=BH+EH+CE=5+6+5=16; ③当CD=DE时,如图3,  图3 由(1)可知,四边形AECF为平行四边形,∴AC=2CD,EF=2DE, ∴AC=EF,此时平行四边形AECF为矩形,即∠AEC=90°, ∵∠ABP=90°,∴点B与点E重合,故不符合题意. 综上所述,BC的长为6或16. $第8章　四边形 第2课时　矩形的判定 8.2　特殊的平行四边形  　矩形的判定 1.【新考向·数学文化】(2025湖南长沙雅礼教育集团期中)我 国古代有“不以规矩,不成方圆”的说法,人们把“规矩”当 作几何名词,“规”是圆,“矩”是方,所以初中以后就把长方 形称为比较专业的“矩形”.木艺活动课上,小明用四根细木 条搭成如图所示的一个四边形,现要判断这个四边形是不是 矩形,以下测量方案正确的是 ( )     A     A.测量是否有三个角是直角 B.测量对角线是否相等 C.测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否互相垂直 解析　根据三个角是直角的四边形是矩形可知A选项正确. 2.(2024四川泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列 条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是     ( ) A.∠A=90°　　    B.∠B=∠C C.AC=BD　　    D.AC⊥BD     D     解析　根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可知A能 够判定;由▱ABCD得AB∥CD,则∠B+∠C=180°,∵∠B=∠C, ∴∠B=∠C=90°,故B能够判定;根据对角线相等的平行四边形 是矩形可得C能够判定.故选D. 3.【新考向·条件开放题】(2025江苏无锡江阴模拟)如图,▱ ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F在AC上,且AE=CF. (1)求证:△ABE≌△CDF. (2)请你添加一个条件,使四边形EBFD是矩形,并证明. 解析    (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF, 在△ABE与△CDF中,  ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)答案不唯一.比如:添加条件BD=EF, 证明:由(1)知△ABE≌△CDF, ∴BE=DF,∠AEB=∠CFD, ∴∠BEO=∠DFO,∴BE∥DF, ∴四边形EBFD是平行四边形, ∵BD=EF,∴平行四边形EBFD是矩形. 4.(2025江苏扬州一模)如图,在▱ABCD中,DE⊥BC于点E,延长 CB至点F,使得BF=CE,连接AF,DF. (1)求证:四边形ADEF是矩形. (2)若AB=3,DF=4,DF⊥CD,求DE的长. 解析    (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵BF=CE,∴BF+BE=CE+BE,即EF=BC,∴EF=AD, 又∵EF∥AD,∴四边形ADEF是平行四边形. ∵DE⊥BC,∴∠DEF=90°, ∴四边形ADEF是矩形. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=3, ∵DF=4,∴CF= =5, ∵DF⊥CD,∴∠CDF=90°. ∴S△CDF= DF×CD= CF×DE, 即 ×4×3= ×5×DE,解得DE= .  　两条平行线之间的距离 5.如图,直线AB∥CD,P是直线AB上的动点,当点P的位置变化 时,三角形PCD的面积 ( )     C     A.变小 B.变大 C.不变 D.和点P的位置有关 解析　设平行线AB,CD间的距离为h,则S△PCD= CD·h,∵CD的 长度不变,h的大小不变,∴三角形PCD的面积不变.故选C. 6.(2025江苏无锡江阴期中)如图,在▱ABCD中,E,F为对角线 AC上的两点,且AE=CF. (1)求证:四边形DEBF是平行四边形. (2)若DE=3,EF=4,DF=5,求EB,DF两平行线之间的距离. 解析    (1)证明:如图,连接BD,交AC于点O, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,OA=OC, ∵AE=CF,∴OE=OF, ∴四边形DEBF是平行四边形. (2)∵DE=3,EF=4,DF=5, ∴DE2+EF2=32+42=25=DF2,∴DE⊥EF. 如图,过点E作EG⊥DF于点G, 则S▱DEBF=DE·EF=DF·EG,即3×4=5EG, 解得EG=2.4. ∴EB,DF两平行线之间的距离为2.4.   7.(2025甘肃酒泉期末,★★☆)已知四边形ABCD的对角线AC, BD交于点O,以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是  ( ) A.AB=CD,AD=BC,∠A=90° B.OA=OB=OC=OD,AC=BD C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD D 解析　∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠ A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,故A不符合题意;∵OA=OB =OC=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四 边形ABCD是矩形,故B不符合题意;∵AB=CD,AB∥CD,∴四 边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩 形,故C不符合题意;∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平 行四边形,根据OA=OC,OB=OD不能推出平行四边形ABCD是 矩形,故D符合题意.故选D. 8.(2024西藏中考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12, BC=5,点P是边AB上任意一点,过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足 分别为点D,E,连接DE,则DE的最小值是 ( )   A. 　　    B.  C. 　　    D.      B     解析　如图,连接CP,过点C作CQ⊥AB于点Q, ∵PD⊥AC,PE⊥BC, ∴∠PDC=∠PEC=90°, ∵∠ACB=90°, ∴四边形PDCE是矩形,∴DE=CP, ∴CP取得最小值时,DE取得最小值, 根据“垂线段最短”可知CP≥CQ, ∴当P,Q重合时,CP取得最小值,为CQ的长, ∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,∴AB= =13, ∴S△ABC= ×13CQ= ×12×5,解得CQ= . ∴DE的最小值是 .故选B. 9.(2025北京海淀期中,★★☆)如图,A,B为5×5的正方形网格中 的两个格点,称四个顶点都在格点上的矩形为格点矩形,在此 图中以A,B为顶点的格点矩形共可以画出_________个.     4     解析　如图,共可以画出以下4个格点矩形. 10.【新考向·动点探究题】(2025江苏南通通州期中,★★☆) 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E 以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动,同时点 F从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿CA方向运动,若AC =12,BD=8,则经过____________秒,四边形BEDF是矩形.     2或10     解析　设运动的时间为t秒,则AE=CF=t, ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8, ∴OA=OC=6,OB=OD=4, ∴OE=OF=6-t或OE=OF=t-6, ∴四边形BEDF是平行四边形, 当EF=BD时,四边形BEDF是矩形, ∴OE=OD=4,∴6-t=4或t-6=4,解得t=2或t=10, ∴经过2秒或10秒,四边形BEDF是矩形. 11.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)如图,在四边形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于点E, DF⊥AC于点F,且BE=DF. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形. (2)若AB=BO,当∠ABE等于多少度时,四边形ABCD是矩形? 解析    (1)证明:∵∠ABD=∠CDB, ∴AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF, ∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°, 在△ABE和△CDF中,  ∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. (2)当∠ABE=30°时,四边形ABCD是矩形.理由: ∵AB=BO,BE⊥AO,∴∠ABO=2∠ABE=60°, ∴△ABO是等边三角形,∴AO=BO, 由(1)知四边形ABCD是平行四边形, ∴AC=2AO,BD=2BO,∴AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形.   12.【新课标·推理能力】【新考向·动点探究题】(2025江苏 无锡江阴月考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=4,BC=8, AD=6,∠B=90°,点M从点B出发,以每秒 个单位长度的速度沿 BC向右运动,移动到点C时立即沿原路按原速度返回,点N从 点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段DA向左运动.M,N 两点同时出发,当点N运动到点A时,M,N两点同时停止运动,设 运动时间为t秒. (1)当t=_______时,四边形ABMN为矩形. (2)在整个运动过程中,t为何值时,以C,D,M,N为顶点的四边形 是平行四边形? 解析    (1) . 详解:∵AD∥BC,∠B=90°, ∴当AN=BM时,四边形ABMN为矩形, 由题意知,AN=AD-DN=6-t(0≤t≤6), ①当点M从点B向点C运动时,BM= t, 令6-t= t,解得t= ; ②当点M从点C返回点B时, BM=8- =16- t,令6-t=16- t,解得t= (不符合题意). ∴当t= 时,四边形ABMN为矩形. (2)∵AD∥BC,∴当DN=CM时,以C,D,M,N为顶点的四边形为 平行四边形, 由题意知,DN=t(0≤t≤6), ①当点M从点B向点C运动时,CM=8- t, 令t=8- t,解得t= ; ②当点M从点C返回点B时,CM= t-8, 令t= t-8,解得t= . 检验可知t= 和 均符合题意,∴t= 或 时,以C,D,M,N为 顶点的四边形为平行四边形. $第8章　四边形 第5课时　正方形 8.2　特殊的平行四边形  　正方形的概念与判定 1.(2025广东东莞三模)小琦在复习几种特殊四边形的关系时 整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误 的是 ( )     D     A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB C.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D 解析　有一个角是直角的平行四边形是矩形,∴(1)处可填∠A =90°;有一组邻边相等的矩形是正方形,∴(2)处可填AD=AB; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,∴(3)处可填DC=CB;有 一个角是直角的菱形是正方形,但由∠B=∠D无法判断两个 角是不是直角,∴(4)处不可以填∠B=∠D.故选D. 2.(2025四川乐山中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形,现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是____________________________(只需填一种组合即可). ①②或①③(填一种组合即可) 解析　若选①②,理由:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥ BD,∴四边形ABCD是菱形,∵AC=BD,∴菱形ABCD是正方形. 若选①③,理由:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四 边形ABCD是菱形,∵∠ADC=90°,∴菱形ABCD是正方形.故答 案为①②或①③.(填一种组合即可) 3.(2025广东珠海期末)如图,已知菱形ABCD的对角线交于 点O,E,F是对角线BD所在直线上的两点,连接AE,CE,AF,CF, 得到四边形AECF,若∠AED=45°,DF=BE,求证:四边形AECF 是正方形. 证明　∵四边形ABCD是菱形, ∴BO=DO,AO=CO,AC⊥BD, ∵BE=DF,∴BE+BO=DF+DO, ∴FO=EO,∴EF与AC互相垂直平分, ∴四边形AECF是菱形,∴∠AEF=∠CEF, 又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°, ∴菱形AECF是正方形.  　正方形的性质 4.(2025江苏南通启东期中)如图,在边长为3的正方形ABCD中, 点E在边BC上,以点D为圆心,DC长为半径画弧,交线段DE于 点F.若EF=EB,则CE的长为 ( )   A.2　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　∵正方形ABCD的边长为3, ∴CD=CB=3,∠BCD=90°, 由作图可知,DF=DC=3, 设EF=EB=x,则DE=3+x,CE=3-x, ∵在Rt△CDE中,CE2+CD2=DE2, ∴(3-x)2+32=(3+x)2,解得x= , ∴CE=3-x=3- = .故选D. 5.【学科特色·教材变式】【学科特色·十字架模型】如图,已 知点E,F分别是正方形ABCD的边AD,CD上的点,且AE=DF,连 接BE,AF,交点为G,则BE与AF的数量与位置关系是__________ _________.   BE⊥AF     BE=AF, 解析　∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAE=∠D=90°, 在△BAE和△ADF中, , ∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF,∠BEA=∠AFD, ∵∠AFD+∠FAD=90°,∴∠BEA+∠FAD=90°, ∴∠AGE=90°,∴BE⊥AF.故答案为BE=AF,BE⊥AF. 6.(2024江苏徐州中考)如图,四边形ABCD为正方形,点E在BD 的延长线上,连接EA,EC. (1)求证:△EAB≌△ECB. (2)若∠AEC=45°,求证:DC=DE. 证明    (1)∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°, 又∵BE=BE,∴△EAB≌△ECB(SAS). (2)∵四边形ABCD为正方形,∴∠BDC=45°, ∵△EAB≌△ECB,∠AEC=45°, ∴∠CED=∠AED= ∠AEC=22.5°, ∵∠BDC=∠CED+∠DCE=45°, ∴∠DCE=45°-22.5°=22.5°, ∴∠CED=∠DCE,∴DC=DE.   7.(2025江苏无锡宜兴期中,★★☆)如图所示的是由四个全等 的直角三角形拼成的图形,设CE=a,HG=b,则四边形ABDF的 面积是 ( ) A. 　　    B. 　　    C.(a+b)2　　    D.(a-b)2     B     解析　∵题图是由四个全等的直角三角形拼成的图形,∴AB= BD=DF=AF,AH=CD=EF=FG,AG=BH=BC=DE,且∠BAF=90°, ∴四边形ABDF是正方形, 设CD=m,BC=n,则 整理得  ∴BD2=BC2+CD2=n2+m2= + = , ∴四边形ABDF的面积是 .故选B. 8.【学科特色·一线三等角模型】(2024江苏南京期末,★★☆) 如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角,且E,A, B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是_________.     8     解析　∵四边形ACDF是正方形,∴AC=FA,∠CAF=90°,∴∠ CAE+∠FAB=90°,∵∠CEA=90°, ∴∠CAE+∠ACE=90°,∴∠ACE=∠FAB, 又∵∠AEC=∠FBA=90°,∴△AEC≌△FBA(AAS), ∴CE=AB=4,∴S阴影= AB·CE=8,故答案为8. 方法解读    当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角或直角 或钝角),且有一组边相等时,考虑用“一线三等角模型”.如 图,点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3=90°,且AP=BD(或AC=BP或 CP=PD),则△APC≌△BDP. 9.(2025山东济南期末,★★☆)如图,在正方形ABCD中,点O是 对角线AC,BD的交点,过点O作射线OM,ON分别交BC,CD于点 E,F,且∠EOF=90°.有下列结论:①△DOF≌△COE;②CF=BE; ③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ;④DF2+BE2=  OE2.其中正确的是________(填序号). ①②③ 解析　∵四边形ABCD为正方形,∴CD=BC,OD=OC,∠COD= 90°,∠ODF=∠OCE=45°, 又∵∠EOF=90°,∴∠COD=∠EOF,∴∠DOF=∠COE, ∴△DOF≌△COE(ASA),故①正确; ∵△DOF≌△COE,∴DF=CE, ∵CD=BC,∴CD-DF=BC-CE,即CF=BE,故②正确; ∵△DOF≌△COE,∴S四边形CEOF=S△COD, ∵四边形ABCD为正方形,∴S△COD= S正方形ABCD, ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ,故③正确; 如图,过点O作OK⊥CD,OH⊥BC,分别交CD,BC于点K,H,   由题意可得OK=OH=DK=CK=CH=BH,∵DF=CE, ∴FK=HE, 设OK=OH=DK=CK=CH=BH=m,FK=HE=n, 则DF=m-n,BE=m+n, ∴DF2+BE2=(m-n)2+(m+n)2=2(m2+n2),OE2=OH2+HE2=m2+n2, ∴DF2+BE2=2OE2,故④错误.故答案为①②③. 10.(2025江苏无锡江阴期中,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AD =6,CD=8,菱形EHQP的三个顶点E,H,Q分别在矩形ABCD的边 AB,BC,CD上,BH=2,连接DP. (1)若CQ=2,求证:四边形EHQP为正方形. 解析    (1)证明:如图1,∵四边形ABCD是矩形,AD=6,CD=8,∴ BC=AD=6,AB=CD=8,∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°, ∵BH=2,CQ=2,∴BH=CQ, ∵四边形EHQP是菱形,∴EH=HQ, ∴Rt△BHE≌Rt△CQH(HL),∴∠BEH=∠CHQ, ∵∠BEH+∠BHE=90°,∴∠CHQ+∠BHE=90°, ∴∠EHQ=180°-(∠CHQ+∠BHE)=90°, ∴菱形EHQP是正方形.  图1     图2 (2)如图2,过点P作PF⊥CD于点F, ∴∠PFQ=∠C=90°,∵CD=8,DQ=6,∴CQ=2, 由(1)可知,此时菱形EHQP是正方形, ∴∠PQH=90°,PQ=QH,∴∠PQF+∠HQC=90°, 又∵∠QHC+∠HQC=90°,∴∠PQF=∠QHC, ∴△PQF≌△QHC(AAS),∴PF=CQ=2, ∴S△PDQ= DQ·PF= ×6×2=6.   11.【新课标·几何直观】【新考向·操作实践题】综合与实践 课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活 动,有一位同学的操作过程如下: 操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF, 把纸片展平; 操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点 M处,把纸片展平,连接PM,BM,延长PM交CD于点Q,连接BQ. (1)如图1,当点M在EF上时,∠EMB=_______度. (2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图2,判断∠ MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.  图1　     图2 解析    (1)30. 详解:如图,连接AM, 由操作可知,BM=AB,EF垂直平分AB, ∴AM=BM=AB,∴△ABM是等边三角形,∴∠AMB=60°, ∵EM⊥AB,∴ME平分∠AMB,∴∠EMB= ∠AMB=30°.故答 案为30. (2)∠MBQ=∠CBQ.理由如下: ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠BAD=∠C=90°. 由折叠可得AB=BM,∠BAD=∠BMP=90°, ∴BM=BC,∠BMQ=∠C=90°. 又∵BQ=BQ, ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),∴∠MBQ=∠CBQ. $第8章　四边形 第4课时　菱形的判定 8.2　特殊的平行四边形  　菱形的判定 1.(2025江苏盐城期中)依据所标数据,下列四边形不一定为菱 形的是 ( )     B     A B C D 解析    A.∵对角线互相平分,∴四边形是平行四边形,∵32+42 =52,∴对角线互相垂直,∴平行四边形是菱形,不符合题意;B. 四边形的对角线互相平分,只能判定四边形是平行四边形,无 法判定是菱形,符合题意;C.四边相等的四边形是菱形,不符合 题意;D.∵两组对边分别平行,∴四边形是平行四边形,∵一组 邻边相等,∴平行四边形是菱形,不符合题意.故选B. 2.(2025湖南中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互 相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 ( )   A.6　　    B.9　　    C.12　　    D.18     C     解析　∵对角线AC与BD互相垂直平分,∴四边形ABCD为菱 形,∵AB=3,∴四边形ABCD的周长为3×4=12.故选C. 3.【新考向·尺规作图】(2024湖北武汉中考)小美同学按如下 步骤作四边形ABCD:(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心,1个单位长 度为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆 心,1个单位长度为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD. 若∠A=44°,则∠CBD的大小是 ( )     C     A.64°　　    B.66°　　    C.68°　　    D.70° 解析　由作图得AB=AD=BC=CD,∴四边形ABCD是菱形,∴ BC∥AD,∴∠ABD=∠ADB=∠CBD,∠A+∠ABC=180°,∵∠A =44°,∴∠CBD=∠ABD= ×(180°-44°)=68°.故选C. 4.(2024江苏徐州云龙期中)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于 点D,点E,F分别是边AB,AC的中点,连接DE,EF,FD,当△ABC满 足条件____________________时,四边形AEDF是菱形.(填 一个你认为恰当的条件即可) AB=AC(答案不唯一)     解析　∵AD⊥BC,∴△ABD,△ACD是直角三角形, ∵E,F分别为AB,AC的中点, ∴DE=AE= AB,DF=AF= AC, ∴当AB=AC时,DE=AE=DF=AF,此时四边形AEDF为菱形(答 案不唯一). 5.【新考向·条件开放题】【学科特色·多解法】(2025江苏泰 州泰兴期中)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,连 接EF,AC,相交于点O.有下列三个条件:①AD∥BC;②EF垂直 平分AC;③AC平分∠DAF.请你从中选择两个作为条件,使四 边形AFCE是菱形,并写出证明过程. 你选择的条件为___________(填序号). 证明: 解析　①②(答案不唯一) 证明:【证法一】∵AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF, ∵EF垂直平分AC,∴AE=CE,AF=CF,OA=OC, 在△AOE和△COF中,  ∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF, ∴AE=CE=AF=CF,∴四边形AFCE是菱形. 【证法二】由【证法一】得△AOE≌△COF(ASA), ∴OE=OF, ∵OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形, ∵EF⊥AC,∴平行四边形AFCE是菱形. 6.(2025江苏徐州中考)已知:如图,在▱ABCD中,E为BC的中点, EF⊥AC于点G,交AD于点F,AB⊥AC,连接AE,CF.求证: (1)△AGF≌△CGE. (2)四边形AECF是菱形. 证明    (1)∵AB⊥AC,E为BC的中点,∴AE=BE=EC, ∵EF⊥AC,∴EF垂直平分AC,∴AG=GC, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠FAG=∠ECG, 又∵∠AGF=∠CGE,∴△AGF≌△CGE(ASA). (2)∵△AGF≌△CGE,∴AF=CE, 又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形, ∵EF⊥AC,∴▱AECF是菱形.   7.(2025江苏盐城东台期中,★★☆)四个点A,B,C,D在同一平面 内,从①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;⑤AD∥BC 这五个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有  ( ) A.1种　　    B.2种　　　    C.3种　　　    D.4种 D 解析　由①②或④⑤或①⑤或②④能证得四边形ABCD是平 行四边形,再由③可证得平行四边形ABCD是菱形,故有4种选 法. 8.(2024内蒙古通辽中考,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是 ( ) D A.∠BAC=∠BCA　　    B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OB2=AD2　　    D.AD2+OA2=OD2 解析    A.∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形;B.∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵ ∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴▱ABCD是菱 形;C.∵OA2+OB2=AD2,∴OA2+OD2=AD2,∴∠AOD=90°,∴AC ⊥BD,∴▱ABCD是菱形;D.∵AD2+OA2=OD2,∴∠OAD=90°,∴ OA⊥AD,不能证得▱ABCD是菱形.故选D. 9.(2025江苏泰州兴化期中,★★☆)如图,两个等宽的矩形叠合 得到四边形ABCD,若四边形ABCD的面积为8,连接AC,BD,设 AC=x,BD=y,则y与x之间的函数关系是___________. y= 解析　如图,过点B作BE⊥DA交DA的延长线于点E,过点D作 DF⊥BA交BA的延长线于点F,则∠AEB=∠AFD=90°,   ∵两个等宽的矩形叠合得到四边形ABCD, ∴AB∥DC,AD∥BC,BE=DF, ∴四边形ABCD是平行四边形, 在△BAE和△DAF中,  ∴△BAE≌△DAF(AAS),∴AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD= AC·BD=8,∵AC=x,BD=y,∴ xy=8, ∴y与x之间的函数关系是y= .故答案为y= . 10.(2024江苏苏州吴江二模,★★☆)如图,在四边形ABCD中, AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点 C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形. (2)若AB=5,BD=6,求OE的长. 解析    (1)证明:∵AB∥CD,∴∠CAB=∠DCA, ∵AC为∠BAD的平分线,∴∠CAB=∠DAC, ∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD, ∵AB=AD,∴AB=CD, ∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形, ∵AD=AB,∴平行四边形ABCD是菱形. (2)∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O, ∴AC⊥BD,OA=OC= AC,OB=OD= BD=3, 在Rt△AOB中,∠AOB=90°, ∴OA= = =4, ∵CE⊥AE,∴∠AEC=90°, 在Rt△AEC中,∠AEC=90°,O为AC的中点, ∴OE= AC=OA=4. 11.(2025江苏南京模拟,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC,连接CE,OE,AE,OE=CD. (1)求证:▱ABCD是菱形. (2)若AB=4,∠ABC=60°,求AE2的值. 解析    (1)证明:∵DE∥AC,DE=OC, ∴四边形OCED是平行四边形. ∵OE=CD,∴平行四边形OCED是矩形, ∴∠COD=90°,∴AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形. (2)∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC,CD=BC=AB=4,AC⊥BD, ∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形, ∴AC=AB=4,∴OA=OC=2, 在Rt△OCD中,由勾股定理得OD2=42-22=12, 由(1)可知,四边形OCED是矩形, ∴CE2=OD2=12,∠OCE=90°, ∴AE2=AC2+CE2=16+12=28.   12.【新课标·推理能力】(2025安徽黄山期中)如图,在Rt△ ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:四边形ADCF是菱形. (2)若AC+AB=17,BC=13,求菱形ADCF的面积. 解析    (1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是 AD的中点, ∴AE=DE,AD=DC=DB, ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, 在△AEF和△DEB中,  ∴△AEF≌△DEB(AAS),∴AF=DB, ∴AF=DC,∴四边形ADCF是平行四边形, 又∵AD=DC,∴平行四边形ADCF是菱形. (2)如图,过点A作AH⊥BC于点H, 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=13, ∴AC2+AB2=BC2=132=169, ∴(AC+AB)2-2AC·AB=169, ∵AC+AB=17,∴172-2AC·AB=169,∴AC·AB=60, 由(1)知,CD= BC,四边形ADCF为菱形, ∴S菱形ADCF=CD·AH= BC·AH=S△ABC= AC·AB=30. $第8章　四边形 第3课时　由对角线关系判定平行四边形 8.1　平行四边形  　平行四边形的判定定理3 1.【新考向·尺规作图】(2025河南郑州模拟)综合实践课上,嘉 嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平 行四边形.(1)~(3)是其作图过程.在嘉嘉的作法中,可直接判定 四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )     C     A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 解析　由作图可知OD=OB,OA=OC,∴利用对角线互相平分 可以直接判定四边形ABCD是平行四边形.故选C. 2.(2024四川乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形 ABCD为平行四边形的是 ( )     D     A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC 解析　根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可知A 不符合题意;根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形, 可知B不符合题意;根据对角线互相平分的四边形是平行四边 形,可知C不符合题意;根据一组对边平行,另一组对边相等,不 能判定四边形是平行四边形,故D符合题意.故选D. 3.【学科特色·教材变式】(2025江苏淮安模拟)如图,在▱ ABCD中,BD为对角线,E,F是BD上的点,且BE=DF.求证:四边 形AECF是平行四边形. 证明　如图,连接AC,交BD于点O,   ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD, ∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形.   4.(2025上海杨浦期末,★★☆)如图,在3×3的正方形网格中,以 线段AB为对角线作平行四边形,使另外两个顶点也在格点上, 则这样的平行四边形最多可以画 ( )   A.2个　　    B.3个　　    C.4个　　    D.5个     D     解析　如图,符合题意的平行四边形最多可以画5个. 5.【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏宿迁宿城期中,★★ ☆)在平面直角坐标系xOy中,A,B两点的坐标分别为(5,0),(2,3), 若以O,A,P,B为顶点的四边形为平行四边形,则点P的坐标为 ___________________________.     (3,-3)或(-3,3)或(7,3)     解析　设P(x,y),分三种情况,如图: ①当OA为对角线时, = , = , 解得x=3,y=-3,∴P1(3,-3); ②当OB为对角线时, = , = , 解得x=-3,y=3,∴P2(-3,3); ③当OP为对角线时, = , = , 解得x=7,y=3,∴P3(7,3). 综上所述,满足条件的点P的坐标为(3,-3)或(-3,3)或(7,3). 6.(2025江苏泰州兴化月考,★★☆)如图,在四边形ABCD中,对 角线AC,BD交于点O,已知AD∥BC,OA=OC. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形. (2)过点D作DH⊥AB于点H,若AC⊥BD,AC=8,BD=6,求DH的长. 解析    (1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO, 在△AOD和△COB中,  ∴△AOD≌△COB(AAS),∴OD=OB. ∵OA=OC,OD=OB, ∴四边形ABCD是平行四边形. (2)由(1)得四边形ABCD是平行四边形, ∴S四边形ABCD=4S△AOB,∵AC⊥BD,AC=8,BD=6, ∴∠AOB=90°,OA=4,OB=3,∴AB= =5, ∵DH⊥AB,∴S四边形ABCD=AB·DH, ∴4× ×4×3=5DH,∴DH= . $第8章　四边形 8.3　三角形的中位线  　三角形的中位线 1.(2024四川广安中考)如图,在△ABC中,D,E分别是AC,BC的 中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为 ( )   A.45°　　　B.50°　　　C.60°　　　D.65°     D     解析　∵D,E分别是AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥AB,∴∠B=∠CED=70°,∴在△ABC中,∠C=180°-∠A- ∠B=180°-45°-70°=65°.故选D. 2.(2025江苏宿迁中考)如图,在△ABC中,AB≠AC,点D,E,F分别 是边AB,AC,BC的中点,则下列结论错误的是 ( )   A.DE∥BC　　     B.∠B=∠EFC C.∠BAF=∠CAF　　    D.OD=OE     C     解析　∵点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点, ∴DF,EF,DE为△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB, ∴∠B=∠EFC,四边形ADFE是平行四边形, ∴OD=OE,故A,B,D结论正确,不符合题意; ∵AB≠AC,点F是边BC的中点,∴∠BAF≠∠CAF, 故C结论错误,符合题意.故选C. 3.(2025江苏南京期中)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是边 AD,BC的中点,AB=4,CD=6,则EF的取值范围是 ( )     A     A.1<EF≤5 B.1≤EF≤5 C.4<EF≤6 D.4≤EF≤6 解析　如图,连接AC,取AC的中点H,连接EH,FH,   ∵E,F分别是AD,BC的中点,AB=4,CD=6, ∴EH= CD=3,FH= AB=2, 在△EHF中,EH-FH<EF<EH+FH,即1<EF<5, 当E,H,F三点共线时,EF=EH+FH=5,∴1<EF≤5. 故选A. 4.(2025江苏扬州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB, BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4, BC=8,则DF的长是_________.     6     解析　∵点D,E分别是边AB,BC的中点, ∴DE是△ABC的中位线,∴DE= AC= ×4=2, ∵∠BFC=90°,E是BC的中点,∴FE= BC= ×8=4,∴DF=DE+ FE=2+4=6.故答案为6. 5.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,BC=1 5,CD=9,EF=6,∠AFE=50°,则∠ADC=___________°.     140     解析　如图,连接BD,∵E,F分别是边AB,AD的中点,EF=6,∴ EF∥BD,BD=2EF=12,∴∠ADB=∠AFE=50°,∵在△BDC中, BD2+CD2=122+92=225,BC2=225,则BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90 °,∴∠ADC=90°+50°=140°. 6.(2025江苏宿迁宿豫期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D, E分别在BC,AC边上,分别连接AD,BE,点M,N,H分别是边AD, BE,AB的中点,连接MN,MH,NH. (1)试猜想△MNH是何特殊三角形,并说明理由. (2)若AE=4,BD=6,求线段MN的长. 解析    (1)△MNH是直角三角形.理由如下: ∵点M,N,H分别是边AD,BE,AB的中点, ∴HM∥BD,HN∥AE, ∴∠AHM=∠ABC,∠BHN=∠BAC,∴∠MHN=180°-(∠AHM+ ∠BHN)=180°-(∠ABC+∠BAC), ∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°, ∴∠MHN=180°-90°=90°,∴△MNH是直角三角形. (2)∵点M,N,H分别是边AD,BE,AB的中点, ∴MH= BD=3,HN= AE=2, ∵△MNH是直角三角形,且∠MHN=90°, ∴MN= = = .  　中点四边形 7.若顺次连接四边形ABCD各边中点,所得的四边形是矩形,则 四边形ABCD需满足的条件是 ( ) A.对角线相等　　     B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直　　    D.对角线相等且互相平分     C       8.(2024江苏镇江句容期中,★★☆)如图,EF是△ABC的中位 线,O是EF上一点,且满足OE=2OF,则△ABC的面积与△AOC 的面积之比为 ( ) A.2∶1　　　B.3∶2　　　C.5∶3　　　D.3∶1     D     解析　∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC,EF= BC, ∵OE=2OF,∴OE= × BC= BC,设点A到BC的距离为h,则 S△ABC= BC·h,S△AOC= OE·h= × BC·h= BC·h,∴△ABC的面积 与△AOC的面积之比=3∶1. 9.【新考向·规律探究题】(2025江苏南通海门月考,★★☆)如 图,△ABC的周长是2,以它的三边中点为顶点得到△A1B1C1,再 以△A1B1C1的三边中点为顶点,得到△A2B2C2,……,则△AnBnCn 的周长为 ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      A     解析　∵A1,B1,C1分别为AB,AC,BC的中点, ∴A1B1= BC,B1C1= AB,A1C1= AC, ∴△A1B1C1的周长为2× =1, 同理可得△A2B2C2的周长为2× × = , …… ∴△AnBnCn的周长为 . 10.(2024浙江中考,★★☆)如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC 的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为_____.     4 解析　∵D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=4,DE∥BC, ∴∠AED=∠C,∵∠AED=∠BEC,∴∠BEC=∠C, ∴BE=BC=4. 11.【学科特色·教材变式】(2025江苏宿迁泗阳月考,★★☆) 如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中 点,若AC=BD,且EG2+HF2=16,则AC的长为_________.     4     解析　设EG和FH的交点为O(图略), ∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点, ∴EH,FG分别是△ABD,△CBD的中位线,EF,HG分别是△ BAC和△DAC的中位线, ∴EH= BD=FG,EF= AC=HG, 又∵AC=BD,∴EH=FG=EF=HG, ∴四边形EFGH是菱形, ∴EG⊥HF,EO= EG,OH= HF, ∴EF=EH= = = , ∵EG2+HF2=16,∴EF= = =2,∴AC=4.故答案为4. 12.(2025江苏苏州相城月考,★★☆)在Rt△ABC中,∠ACB=90 °,点D是AB的中点,E是CA延长线上一点,且AE=AC. (1)如图1,若BC=4,AC=2,求DE的长. (2)如图2,点F是DE的中点,求证:BD=2AF. 解析    (1)如图1,取AC的中点K,连接DK, ∴AK= AC= ×2=1, ∵D是AB的中点,∴DK是△ABC的中位线, ∴DK= BC= ×4=2,DK∥BC, ∴∠EKD=∠C=90°, ∵AE=AC=2,∴EK=AE+AK=2+1=3, ∴在Rt△DKE中,DE= = .  图1　　　     图2 (2)证明:如图2,连接CD,∵点F是DE的中点,AE=AC,∴AF是△ EDC的中位线,∴CD=2AF, ∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD= AB=BD, ∴BD=2AF. 13.(2024云南中考,★★☆)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H 分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形. (1)求证:四边形ABCD是菱形. (2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB 的长. 解析    (1)证明:如图,连接AC,BD交于点O,AC交FG于点N,BD 交HG于点M, ∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形, ∵四边形EFGH是矩形,∴∠HGF=90°, ∵H,G分别是AD,DC的中点, ∴HG∥AC,HG= AC,∴∠GNC=∠HGF=90°, ∵G,F分别是DC,BC的中点, ∴GF∥BD,GF= BD,∴∠MOC=∠GNC=90°, ∴BD⊥AC,∴四边形ABCD是菱形. (2)∵矩形EFGH的周长为22,∴HG+FG=11, ∴AC+BD=22,∵四边形ABCD的面积为10, ∴ AC·BD=10,∴AC·BD=20, ∵(AC+BD)2=AC2+2AC·BD+BD2, ∴AC2+BD2=222-2×20=444, ∴AB= = = =  = . ∴AB的长为 .   14.【新课标·几何直观】(2025江苏盐城射阳月考) (1)如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是AD,BC的中 点,连接FE并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,求证:∠ BME=∠CNE. (2)如图②,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E,F 分别是BC,AD的中点,连接EF,分别交DC,AB于点M,N,判断△ OMN的形状,并说明理由. 解析    (1)证明:如图1,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF, ∵E,F分别是AD,BC的中点, ∴HE,HF分别是△ABD,△BCD的中位线, ∴HE∥BM,HE= AB,HF∥CN,HF= CD, ∴∠HEF=∠BME,∠HFE=∠CNE, ∵AB=CD,∴HE=HF,∴∠HEF=∠HFE, ∴∠BME=∠CNE. 图1 图2 (2)△OMN是等腰三角形. 理由:如图2,取BD的中点H,连接HE,HF, ∵E,F分别是BC,AD的中点, ∴HE,HF分别是△BCD,△ABD的中位线, ∴HE∥CD,HE= CD,HF∥AB,HF= AB, ∴∠HEF=∠OMN,∠HFE=∠ONM, ∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠HFE=∠HEF, ∴∠ONM=∠OMN,∴OM=ON, ∴△OMN是等腰三角形. $第8章　四边形 第2课时　由对边的关系判定平行四边形 8.1　平行四边形  　平行四边形的判定定理1 1.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B, D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC, 则四边形ABCD是平行四边形,理由是____________________ _____________________ 四边形是平行四边形     两组对边分别相等的 解析　根据尺规作图的过程可得AB=DC,AD=BC,∴四边形 ABCD是平行四边形.  　平行四边形的判定定理2 2.(2025江苏扬州仪征期中)根据下列四边形中所标的数据,一 定能判定为平行四边形的是 ( ) C A B C D 解析    A.四边形的一组对边平行,另一组对边不平行,∴不能 判定该四边形是平行四边形;B.四边形的一组对边平行,另一 组对边相等,∴不能判定该四边形是平行四边形;C.四边形的 一组对边平行且相等,∴该四边形是平行四边形;D.四边形只 有一组对边相等,∴不能判定该四边形是平行四边形.故选C. 3.(2025江苏徐州期中)四边形ABCD中,已知AB∥CD,添加下 列条件后不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A.AB=CD　　    B.AD=BC C.AD∥BC　　    D.∠A+∠B=180° B 解析　∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),故A不符合题意;根据 AB∥CD,AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形,故B符合题意;∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形),故C不符合题意;∵∠A+∠B= 180°,∴AD∥BC,又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,故D不符合题意.故选B. 4.【学科特色·教材变式】(2025江苏南京鼓楼一模)如图,点B, E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. (1)求证:△ABC≌△DEF. (2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形. 证明    (1)∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在△ABC和△DEF中,  ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)由(1)得△ABC≌△DEF,∴∠B=∠DEF, ∴AB∥DE, 又∵AB=DE,∴四边形ABED是平行四边形.   5.(2025河南平顶山汝州期末,★★☆)如图,在△ABC中,以各 边为边分别作三个等边三角形,即△BCF,△ABD,△ACE,连接 DF,EF,若AB=3,AC=4,BC=5,则下列结论:①AB⊥AC;②四边形 ADFE是平行四边形;③∠DFE=150°;④S四边形ADFE=5.其中正确 的有 ( )     B     A.4个　　　    B.3个　　　    C.2个　　　    D.1个 解析　∵32+42=52,∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°, ∴AB⊥AC,故①正确; ∵△ABD,△ACE都是等边三角形, ∴∠DAB=∠EAC=60°, 又∵∠BAC=90°,∴∠DAE=150°, ∵△ABD和△FBC都是等边三角形, ∴BD=BA,BF=BC,∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°,∴∠DBF= ∠ABC, 在△DBF与△ABC中,  ∴△DBF≌△ABC(SAS),∴AC=DF=AE=4, 同理可证△ABC≌△EFC(SAS),∴AB=EF=AD=3, ∴四边形ADFE是平行四边形,故②正确; ∴∠DFE=∠DAE=150°,故③正确; ∵四边形ADFE是平行四边形, ∴EF∥DA,∴∠FDA=180°-∠DFE=180°-150°=30°, 如图,过点A作AM⊥DF于点M, ∴在Rt△ADM中,AM= AD, ∴S四边形ADFE=DF·AM=DF· AD=4× ×3=6, 故④不正确.∴正确的有3个.故选B. 6.【新考向·动点探究题】(2025江苏镇江丹徒期中,★★☆)如图,在等边三角形ABC中,BC=8 cm,射线AG∥BC,点E从点A出发,沿射线AG以2 cm/s的速度运动,同时点F从点B出发,沿射线BC以4 cm/s的速度运动.设它们运动的时间为t s,则当t=_______时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形. 或4 解析　由题意得AE=2t cm,BF=4t cm, ①当点F在C的左侧时,CF=BC-BF=(8-4t)cm, ∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即2t=8 -4t,解得t= ; ②当点F在C的右侧时,CF=BF-BC=(4t-8)cm, ∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即2t=4 t-8,解得t=4. 综上所述,当t= 或4时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形 7.【新考向·条件开放题】(2024湖南中考,★★☆)如图,在四 边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,_____. 请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选 一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题: (1)求证:四边形BCDE为平行四边形. (2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长. 解析    (1)选择①.证明:∵∠B=∠AED,∴BC∥DE, ∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形. 选择②.证明:∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD, ∵AB∥CD,即BE∥CD, ∴四边形BCDE为平行四边形.(任选一种即可) (2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形, ∴DE=BC=10, ∵AD⊥AB,∴∠A=90°, ∴AE= = =6, 即线段AE的长为6. $第8章　四边形 第1课时　矩形的性质 8.2　特殊的平行四边形  　矩形的概念 1.根据矩形的定义,下列图形一定为矩形的是 ( )     C     A B C D 解析　在选项C中,由两边垂直于同一边可知这两边平行,再 由这两边的长度都是3可知这两边相等,∴这个四边形是平行 四边形,∵这个四边形有一个内角为直角,∴根据矩形的定义, 可得这个四边形是矩形.选项A,B,D中的图形不一定为矩形. 故选C.  　矩形的性质 2.在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确 的是 ( ) A.点O为矩形ABCD的对称中心 B.点O为线段AB的对称中心 C.直线BD为矩形ABCD的对称轴 D.直线AC为线段BD的对称轴     A     解析　矩形ABCD是中心对称图形,对称中心是对角线的交点 O,故选项A正确;线段AB的中点是线段AB的对称中心,故选项 B错误;矩形ABCD是轴对称图形,对称轴是过一组对边中点的 直线,故选项C错误;过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称 轴,故选项D错误. 3.(2025江苏盐城响水期中)如图,在矩形ABCD中,不一定成立 的是 ( )     C     A.四边形ABCD是平行四边形 B.AC=BD C.△AOB是等边三角形 D.OB= AC 解析　∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是平行四边形, AC=BD,OB=OD= BD,∴OB= AC,故选项A,B,D不符合题意. 故选C. 4.(2025江苏南京秦淮期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC, BD相交于点O,∠AOB=54°,则∠ACB的度数是 ( )   A.54°　　　    B.27°　　　    C.20°　　　    D.18°     B     解析　∵四边形ABCD是矩形,∴OB= BD,OC= AC,BD=AC, ∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵∠AOB是△OBC的一个外角, ∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=54°, ∴∠ACB= ∠AOB= ×54°=27°.故选B. 5.(2024江苏南通中考)如图,直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在 直线b上,若∠2=41°,则∠1的度数为 ( )   A.41°　　    B.51°　　    C.49°　　    D.59°     C     解析　如图,延长CB与直线b交于点M, ∵a∥b,∠2=41°,∴∠BMA=∠2=41°. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, ∵∠ABC是△ABM的外角, ∴∠1=90°-41°=49°.故选C. 6.如图,在平面直角坐标系中,矩形OBCD的顶点C的坐标为(-3, 4),则BD=_________.     5     解析　连接OC(图略), ∵点C的坐标为(-3,4), ∴OC2=32+42=52,∴OC=5, ∴在矩形OBCD中,BD=OC=5.故答案为5. 7.【学科特色·教材变式】(2025江苏苏州期末改编)已知:如 图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延 长线于点E. (1)求证:AC=EC. (2)若∠AOD=120°,AB=1 cm,求矩形ABCD的面积. 解析    (1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD,AC=BD, ∵CE∥DB, ∴四边形DCEB是平行四边形,∴BD=CE, ∵AC=BD,∴AC=CE. (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=90°,AO= AC,OD= BD,AC=BD, ∴AO=OD,∴∠ADO=∠OAD, ∵∠AOD=120°,∴∠ADO= ×(180°-120°)=30°, ∴BD=2AB=2 cm,∴AD= =  cm, ∴矩形ABCD的面积=AD·AB= ×1=  cm2.   8.(2024江苏无锡江阴月考,★★☆)如图,延长矩形ABCD的边 BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=30°,则∠E的度数是  ( ) A.10°　　　B.15°　　　C.20°　　　D.30°     B     解析　如图,连接AC,交BD于点O,∵四边形ABCD是矩形,∴ AD∥BE,AC=BD,OB= BD,OC= AC,∴OB=OC,∴∠OCB=∠ OBC=∠ADB=30°,∵BD=CE,∴AC=CE,∴∠E=∠CAE,∴∠E+ ∠CAE=∠OCB=30°,∴∠E=15°. 9.【新考向·动点探究题】(2025江苏苏州姑苏月考,★★☆)如 图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB=3,AD=4,P是AD上 不与点A,D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂 足为E,F,则PE+PF的值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C.5　　    D.      A     解析　如图,连接OP, ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OC= AC,OD=OB = BD,且AC=BD, ∵AB=3,AD=4, ∴AC=BD= = =5,∴OA=OD= , ∵S△ABD= AB·AD= ×3×4=6,∴S△AOD= S△ABD=3, ∵PE⊥AC,PF⊥BD, ∴S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA·PE+ OD·PF, ∴ × PE+ × PF=3,∴PE+PF= .故选A. 10.(2025江苏宿迁泗阳二模,★★☆)如图,矩形ABCD中,已知 AB=8,BC=BE=12,F为BE的中点,连接DE,CE,CF,则DE+CF的 最小值为__________.       10     解析　如图,设BC的中点为G,连接EG,DG, ∵四边形ABCD是矩形,且AB=8,BC=12, ∴CD=AB=8,BG=CG= BC=6, 在Rt△CDG中,由勾股定理得DG= = =10, ∵F为BE的中点,BE=12, ∴BF= BE=6,∴BF=BG, 在△BFC和△BGE中,  ∴△BFC≌△BGE(SAS), ∴CF=GE, ∴DE+CF=DE+GE, 根据“两点之间线段最短”得DE+GE≤DG=10, ∴当点D,E,G三点共线时,DE+GE取得最小值,最小值是10, ∴DE+CF的最小值是10.故答案为10. 11.(2025江苏泰州兴化期中,★★★)如图,矩形ABCD中,AC与 BD交于点O,分别在OD和CB上取点M,N,使得OM=CN,若AC=2 AB=4,则MN的最小值为_________. 解析　如图,过O作OE∥MN,且OE=MN,连接EN,CE,则四边形 OENM是平行四边形, ∴EN∥BD,EN=OM,∴∠BNE=∠CBD, ∵四边形ABCD是矩形,AC=BD,OB= BD,OC= AC,∴∠ABC =90°,OB=OC= AC=2, ∵AC=2AB,∴∠ACB=30°=∠CBD, ∴∠BNE=30°, ∵OM=CN,∴EN=CN,∴∠NCE=∠NEC, 又∵∠BNE为△NEC的外角, ∴∠NCE= ∠BNE=15°, ∴∠OCE=∠OCB+∠NCE=45°, ∴点E的轨迹在射线CE上,且∠OCE=45°, 当OE⊥CE时,OE有最小值,又OE=MN,则此时MN也最小,且此 时△OCE是等腰直角三角形, ∴OE2+CE2=OC2,即2OE2=4,∴OE= , ∴MN的最小值为 .故答案为 . 12.【新考向·动点探究题】(2025山东枣庄市中月考,★★☆) 如图,在矩形ABCD中,AD=16,AB=6,E为AD的中点.点F从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动,连接 AF,EF,CE.设点F运动的时间为t秒. (1)求当t为何值时,AF=CE. (2)当△CEF为直角三角形时,求△CEF的面积. 解析    (1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=90°,BC=AD=16,DC=AB=6, ∵E为AD的中点,∴AE=DE=8, ∴CE= = =10, 由题意得BF=t,在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2, 若AF=CE=10,则62+t2=102,解得t=8(负值已舍去),即当t=8时,AF =CE. (2)当∠CEF=90°时,△CEF为直角三角形,如图,过点F作FG⊥ AD于点G,易知四边形ABFG是矩形, ∴AG=BF=t,FG=AB=6,∠AGF=90°, ∴CF=16-t,GE=AE-AG=8-t, 在Rt△FGE中,FE2=GE2+FG2=(8-t)2+62, 在Rt△CEF中,FE2=CF2-CE2=(16-t)2-102, ∴(8-t)2+62=(16-t)2-102,解得t=3.5, ∴CF=16-t=12.5, ∴△CEF的面积= ×6×12.5=37.5; 当∠EFC=90°时,△CEF为直角三角形(图略), 易知四边形ABFE为矩形,AE=BF=t=8, ∴CF=16-8=8,∴△CEF的面积= ×8×6=24. 综上所述,当△CEF为直角三角形时,△CEF的面积为37.5或24.   13.【新课标·推理能力】【新考向·规律探究题】 (1)探究规律:如图1,点P为平行四边形ABCD内一点,△PAB,△ PCD的面积分别记为S1,S2,平行四边形ABCD的面积记为S,试 探究S1+S2与S之间的关系. (2)解决问题:如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F,G,H分 别在边AB,BC,CD,DA上,且AE=CG=3,AH=CF=2,连接EG,与 HF交于点P,四边形AEPH,四边形CGPF的面积分别记为S1,S2, 求S1+S2的值. 解析    (1)如图①,过点P作PG⊥BA交BA于点G,延长GP交CD 于点H, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD, ∵PG⊥AB,∴PH⊥CD, ∴S1= AB·PG,S2= CD·PH,S=AB·GH, ∴S1+S2= AB·PG+ CD·PH= AB·PG+ AB·PH= AB·(PG+ PH)= AB·GH= S. (2)如图②,过点P作PK⊥AB于点K,并延长KP交CD于点T,过点 P作PM⊥AD于点M,并延长MP交BC于点N,连接PA,PB,PC,PD, ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AB∥CD, ∵KT⊥AB,MN⊥AD,∴KT⊥CD,MN⊥BC, 又∵BC⊥AB,∴PK+PT=BC=8,PM+PN=AB=5, ∴S1+S2= AE·PK+ AH·PM+ CG·PT+ CF·PN= ×3PK+ ×2 PM+ ×3PT+ ×2PN = PK+PM+ PT+PN= BC+AB=12+5=17. $第8章　四边形 第1课时　平行四边形的概念与性质 8.1　平行四边形  　平行四边形的概念 1.【学科特色·教材变式】如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是 AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四 边形共有 ( ) A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个     C     解析　由平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形是 平行四边形,可知图中共有3个平行四边形,即▱ADEF,▱ BEFD,▱CEDF.  　平行四边形的性质定理1 2.(2025江苏苏州期中)如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶 点O,A,B的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则点C的坐标是 ( )   A.(-2,2)　　　    B.(-2,3) C.(-3,3)　　　    D.(-3,2) C 解析　∵四边形OABC是平行四边形,∴BC=OA,BC∥OA,即 BC∥x轴,∵O,A,B的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),∴BC=OA=5, 点C与点B的纵坐标相等,都为3,∴点C的横坐标为2-5=-3,∴点 C的坐标为(-3,3).故选C. 3.(2025河南洛阳期末)如图,在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B =2∶1,则∠D的度数为 ( )   A.60°　　    B.120°　　    C.90°　　    D.30°     A     解析　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∠D=∠B,∴∠A+∠B=180°, ∵∠A∶∠B=2∶1,∴∠B= ×180°=60°. ∴∠D=∠B=60°.故选A. 4.(2024四川眉山中考)如图,在▱ABCD中,点O是BD的中点, EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形 ABOE=S四边形CDOF.其中正确的个数为 ( )   A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4     C     解析　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正确, ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD. ∵O是BD的中点,∴OD=OB, 又∵∠DOE=∠BOF,∴△ODE≌△OBF(ASA), ∴S△ODE=S△OBF, 又∵S△ABD=S△CDB,∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF, 即S四边形ABOE=S四边形CDOF,故④正确. 根据已知条件无法证明EO=ED,故②不一定正确. 综上所述,正确结论的个数为3,故选C.  　平行四边形的性质定理2 5.(2025湖北中考)如图,平行四边形ABCD的对角线交点在原 点.若A(-1,2),则点C的坐标是 ( )     C     A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 解析　根据平行四边形ABCD的对角线互相平分且交点在原 点可知点A,C关于原点对称, ∵A(-1,2),∴C(1,-2).故选C. 6.(2025江苏南京江宁月考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相 交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,连接EC. (1)求证:OE=OF. (2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长. 解析    (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OD=OB,AB∥DC,∴∠FDO=∠EBO, 在△DFO和△BEO中,  ∴△DFO≌△BEO(ASA),∴OE=OF. (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,OA=OC, ∵EF⊥AC,∴EF垂直平分AC,∴AE=CE, ∵△BEC的周长是10, ∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10, ∴▱ABCD的周长=2(BC+AB)=20.   7.【学科特色·方程思想】(2025江苏南通期末,★★☆)如图, 以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE,且AD=AE,连接DE, CE,则∠CED的度数为 ( )   A.150°　　    B.145°　　    C.135°　　    D.120°     A     解析　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,∠BAD+∠ABC=180°, ∵△ABE是等边三角形, ∴AE=AB=BE,∠AEB=∠EAB=∠ABE=60°, ∵AD=AE,∴AD=AE=BE=BC, ∴∠ADE=∠AED,∠BCE=∠BEC, 设∠ADE=∠AED=x,∠BCE=∠BEC=y, ∴∠DAE=180°-2x,∠CBE=180°-2y, ∴∠BAD=180°-2x+60°=240°-2x,∠ABC=240°-2y, ∴∠BAD+∠ABC=240°-2x+240°-2y=180°,∴x+y=150°, ∴∠CED=360°-150°-60°=150°.故选A. 8.(2025山东枣庄中考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90 °,AB=6,BC=8,点P为AC上异于A的一点,以PA,PB为邻边作 ▱PAQB,则线段PQ的最小值是_________. 解析　如图,设PQ,AB交于点M,过点M作MN⊥AC于点N,连接 CM, 由条件可知PQ=2PM,AM=BM= AB=3, ∵点M是AB的中点,为定点, ∴当PM⊥AC时,PM取得最小值,此时PQ最小, 即当点P,N重合时,PM最小, ∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8, ∴AC= =10, ∵S△ABC=S△ACM+S△BCM, ∴ AB·BC= AC·MN+ BC·BM, ∴ ×6×8= ×10MN+ ×8×3, ∴MN= ,∴PM的最小值为 ,则PQ的最小值为 ,故答案为  . 9.【新考向·尺规作图】(2025江苏淮安期中,★★☆)已知四边 形ABCD是平行四边形,请仅用无刻度的直尺按要求作图. (1)如图①,点P为AB上任意一点,在CD上找出另一点Q,使AP= CQ. (2)如图②,点P为BD上任意一点,在BD上找出一点Q,使BP= DQ. 解析    (1)如图①,点Q即为所求作. 图① (2)如图②,点Q即为所求作. 图②   10.【新课标·几何直观】(2025江苏盐城东台月考)如图,在平 行四边形ABCD中,BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,并分别交 AC于点E,F.已知平行四边形ABCD的周长为48. (1)求证:BE=DF. (2)过点E作EM⊥AB于点M,若EM=6,求△ABC的面积. 解析    (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,∴∠BAE=∠DCF, ∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC, ∴∠ABE= ∠ABC,∠CDF= ∠ADC, ∴∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA), ∴BE=DF. (2)如图,过点E作EH⊥BC于点H,   ∵EM⊥AB,BE平分∠ABC,∴EH=EM=6, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,CB=AD, ∵平行四边形ABCD的周长为48, ∴AB+BC= ×48=24, ∵S△ABC=S△ABE+S△CBE,∴S△ABC= AB·EM+ BC·EH= (AB+BC)· EM= ×24×6=72. 微专题　“角平分线+平行线——等腰三角形”模型 方法指引　如图,给出以下三个关系:①∠1=∠2;②AD∥BC; ③AB=AD(AB,AD为等腰三角形ABD的两腰).从上述三个关系 中选择两个作为条件,则另一个可以作为结论. 1.(2025新疆中考)如图,在▱ABCD中,∠BCD的平分线交AB于 点E,若AD=2,则BE=_________.       2     解析　∵四边形ABCD是平行四边形,且AD=2, ∴BC=AD=2,AB∥CD,∴∠DCE=∠BEC, ∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE, ∴∠BCE=∠BEC,∴BE=BC=2. 故答案为2. 2.【新考向·尺规作图】(2025江苏苏州相城期中)如图,在▱ ABCD中,以点B为圆心,适当长度为半径作弧,分别交AB,BC于 点F,G,再分别以点F,G为圆心,大于 FG的长为半径作弧,两弧 交于点H,作射线BH交AD于点E,连接CE.若CE⊥DE,AE=10, DE=6,则▱ABCD的面积为___________.     128     解析　由作图得BE是∠ABC的平分线, ∴∠ABE=∠CBE, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,BC=AD=AE+DE=16,AB=CD, ∴∠AEB=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE=10,∴CD=10, ∵CE⊥DE,∴∠CED=90°, ∴CE= = =8, ∴▱ABCD的面积为AD·CE=16×8=128. 3.(2025江苏常州天宁期中)在▱ABCD中,内角∠ABC的平分 线与边AD的交点E把边AD分成长度为5和3的两部分,则▱ ABCD的周长为_____________.     22或26     解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,AD ∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE= ∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∵点E把边AD分成长度为5 和3的两部分,∴AE=3或AE=5,当AE=3,DE=5时,AB=AE=CD= 3,AD=BC=8,∴▱ABCD的周长为22;当AE=5,DE=3时,AB=CD =5,AD=BC=8,∴▱ABCD的周长为26.综上所述,▱ABCD的周 长为22或26. $第8章　四边形 第3课时　菱形的性质 8.2　特殊的平行四边形  　菱形的概念 1.如图,要使平行四边形ABCD成为菱形,需添加的一个条件是  ( ) A.AC=AD　　    B.AB=BC C.∠ABC=90°　　    D.AC=BD     B     解析　∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC, ∴平行四边形ABCD是菱形,故选B.  　菱形的性质 2.下列有关菱形对角线的说法错误的是 ( ) A.菱形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直 C.菱形的对角线相等 D.菱形的对角线平分一组对角     C     解析　根据菱形的两条对角线互相垂直平分,并且每一条对 角线平分一组对角可知A,B,D三个选项中的说法正确.故选C. 3.如图,在菱形ABCD中,∠B=40°,点E在BC上,若AE=AC,则∠ CAE= ( ) A.40°　　    B.50°　　    C.55°　　    D.65°     A     解析　∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=  =70°,∵AC=AE,∴∠AEC=∠ACE=70°,∴∠CAE=18 0°-∠ACE-∠AEC=40°,故选A. 4.(2025江苏常州中考改编)如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对 角线,交点为O,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长是 ( )   A.4　　    B.5　　    C.6　　    D.10     B     解析　∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC, ∴∠AOB=90°,∵AB=5,∠ABD=30°, ∴OA= AB= ,∴AC=2OA=5.故选B. 5.(2025江苏南京期中)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分 别为(4,0),(1,4),点D在x轴上,则点C的坐标为______________.     (-4,4)     解析　∵A(4,0),B(1,4),∴AB= =5,∵四边形 ABCD是菱形,∴BC=AD=AB=5,BC∥x轴,∵B(1,4),∴C(-4,4). 故答案为(-4,4). 6.(2025福建中考)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过 点O且与边AB,CD分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE 与△DOF的面积之和为_________.     1     解析　∵四边形ABCD是菱形, ∴OB=OD,CD∥AB,AC⊥BD, ∴∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB, ∴△DOF≌△BOE(AAS),∴S△DOF=S△BOE, ∴S△AOE+S△DOF=S△AOE+S△BOE=S△AOB= ×2×1=1.故答案为1. 7.(2025四川泸州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB, BC上的点,且AE=CF. 求证:AF=CE. 证明　∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC, ∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF, ∵∠B=∠B,∴△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE.  　菱形的面积 8.如图,四边形ABCD是菱形,对角线交点为O,CD=5,BD=8,AE ⊥BC于点E,则AE的长是 ( ) A. 　　　B.6　　　C. 　　　D.12     A     解析　∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8, ∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD, ∴∠BOC=90°,在Rt△OBC中,由勾股定理得OC= =  =3,∴AC=2OC=6, ∵菱形ABCD的面积=AE·BC= BD·AC=OB·AC, ∴AE= = = .   9.【学科特色·多解法】(2025湖南张家界期中,★★☆)如图, 在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足 为E,若∠BCD=70°,则∠BOE的度数为 ( ) A.20°　　    B.25°　　    C.35°　　    D.55°     C     解析　【解法一】∵四边形ABCD是菱形,∴CA平分∠DCB, ∠COB=90°,∠ABD=∠CBD,∵∠BCD=70°,∴∠BCO= ∠ BCD=35°,∴∠CBO=90°-∠BCO=55°,∵∠ABO=∠CBO,∴∠ ABO=55°,∵OE⊥AB,∴∠BEO=90°,∴∠BOE=90°-∠ABO=35 °.故选C. 【解法二】∵四边形ABCD是菱形,∠BCD=70°,∴AC平分∠ DAB,∠AOB=90°,∠BAD=∠BCD=70°,∴∠BAO= ∠BAD=35°, ∵OE⊥AB,∴∠AEO=90°,∴∠AOE+∠EAO=90°,∵∠AOB= 90°,∴∠BOE+∠AOE=90°,∴∠BOE=∠BAO=35°.故选C. 10.【学科特色·转化思想】(2025四川凉山州中考,★★☆)如 图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的 中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=1 6,则FG的长为_________.     5     解析　如图,连接OE,   ∵四边形ABCD是菱形,且AC=12,BD=16,∴AC⊥BD,OC= AC =6,OD= BD=8,∴∠COD=90°, 在Rt△COD中,CD= = =10, ∵E是边CD的中点,∴OE是Rt△OCD斜边上的中线,∴OE=  CD=5, ∵EF⊥BD,EG⊥AC,∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°, ∴四边形OGEF是矩形,∴FG=OE=5.故答案为5. 11.(2025江苏无锡中考,★★☆)如图,菱形ABCD的边长为2,∠ ABC=60°,对角线AC,BD相交于点M.过点D作AC的平行线交 BC的延长线于点N,连接MN,则MN的长为_________. 解析　如图,过点M作MH⊥NB于点H, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,CM=AM,AB=BC=AD=2,AD∥BC, ∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形, ∴AC=AB=2,∠ACB=60°,∴CM= AC=1, ∴∠CMH=90°-∠ACB=30°,∴CH= CM= , ∴MH2=CM2-CH2=12- = , ∵DN∥AC,AD∥CN,∴四边形ACND是平行四边形, ∴CN=AD=2,∴NH=CH+CN= , ∴MN= = = . 12.(2025广东惠州惠城期中,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE= AC,连接CE, OE,连接AE交OD于点F. (1)求证:OE=CD. (2)若菱形ABCD的对角线AC=4,BD=6,求AE的长. 解析    (1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴OC= AC,AC⊥BD, ∵DE= AC,∴DE=OC, 又∵DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形. ∵AC⊥BD,∴平行四边形OCED是矩形,∴OE=CD. (2)在菱形ABCD中,AC=4,BD=6,∴OD=3, ∵四边形OCED是矩形,∴CE=OD=3,∠OCE=90°, ∴在Rt△ACE中,AE= =5.   13.【新课标·推理能力】【新考向·项目探究题】(2025江苏 宿迁沭阳月考)综合与实践课上,智慧星小组的三名同学对含 60°角的菱形进行了以下探究. 【背景】 如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别是边AB,BC上的点,且 ∠EDF=60°. 【感知】 (1)若点E是AB的中点,则DE与DF的数量关系为_______. 【探究】 (2)若点E,F分别为AB,BC上任意一点,则DE与DF的数量关系 是什么?请说明理由. 【应用】 (3)若AB=4,求△DEF周长的最小值. 解析    (1)DE=DF. 详解:如图,连接BD, ∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠C=∠A=60°,∠ ABD=∠CBD, ∴△ABD为等边三角形,∴∠ADB=60°, ∵点E是AB的中点, ∴∠ADE=∠BDE= ∠ADB=30°, ∵∠EDF=60°,∴∠BDF=60°-30°=30°, ∴∠BDE=∠BDF, ∵BD=BD,∴△BDE≌△BDF(ASA),∴DE=DF. (2)DE=DF. 理由:如图,连接DB, ∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD, ∵∠A=60°,∴△ABD和△CBD均为等边三角形, ∴∠ADB=60°,∠DBF=60°=∠A,AD=BD, 又∵∠EDF=60°,∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB, ∴∠ADE=∠BDF, 在△ADE和△BDF中,  ∴△ADE≌△BDF(ASA),∴DE=DF. (3)由(2)可知DE=DF, ∵∠EDF=60°,∴△DEF为等边三角形,要求等边三角形周长 的最小值,求出边长的最小值即可, ∵点E为边AB上的一点,∴当DE⊥AB时,DE取得最小值,∴在 Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠A=60°, ∴∠ADE=30°,∴AE= AD= AB=2, ∴DE= = =2 , ∴此时,C△DEF=3×2 =6 , ∴△DEF周长的最小值为6 . $