第二十六章 反比例函数 单元练习-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十六章 反比例函数 一、单选题 1．下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 3．若m＜﹣1，则函数①y＝mx，②，③y＝（m+1）x，④y＝﹣mx+m中，y的值随x的值增大而增大的函数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若函数的图象在其象限内随值的增大而增大，则的取值范围是（     ） A．k<1 B．k<-1 C．k>-1 D．k>1 5．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点M，N，已点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为﹣1，根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b的解为（    ） A．﹣3，1 B．﹣3，3 C．﹣1，1 D．3，﹣1 二、填空题 7．当k______时，函数y=为反比例函数，当k___时，该函数图象在二、四象限内 8．如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴交x轴于点B，点C、D均在y轴上，且，的值为_________． 9．若关于x的方程的解为3或，则关于x的不等式的解集是______． 10．如图，在中，轴于点B，，，反比例函数的图象经过点A，则k的值为________． 11．已知反比例函数y＝的图象过点A(－2,1)，若点B(m1，n1)、C(m2，n2)也在该反比例函数图象上，且m1＜m2＜0，比较n1________n2(填“＜”、“＞”或“＝”)． 12．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是______． 13．如图，一次函数与反比例函数交于点、，要使一次函数值大于反比例函数值，则的范围是________． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 15．某汽车油箱的容积为升，小王把该车的油箱加满，从县城驾驶汽车到千米外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： (1)油箱加满后，汽车能够行驶的总路程(单位：千米)与平均耗油量(单位：升/千米)之间有怎样的函数关系？ (2)小王驾驶汽车去省城，平均每千米耗油升．返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均耗油量增加了一倍．小王不加油能否驾车回到县城？如果不能，至少还需加多少油才能保证回到县城？ 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点D为点B关于所在直线的对称点，反比例函数的图像经过点D． (1)求证：四边形为菱形； (2)求反比例函数的表达式． 17．如图，反比例函数的图像上的一点在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且，过点B作轴，与线段的延长线相交于点C，与反比例函数的图像相交于点D． (1)用含m的代数式表示点D的坐标； (2)求证：． 18．陕西的面食文化丰富多彩，具有深厚的历史底蕴和多样的制作工艺．其中扯面已有年的历史．厨师张师傅将一定质量的面团做成扯面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过点． (1)求与之间的函数表达式． (2)当张师傅扯出的面条的横截面面积为时，他扯出的面条的总长度是多少米？ 19．如图，一次函数y=2x﹣2的图象与x轴、y轴分别相交于B、A两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M（3，m）． （1）求反比例函数的解析式； （2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 20．如图，正方形的边长为6，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，M是边上的一点，且．反比例函数的图象经过点M，并与边相交于点N． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)求证：垂直平分线段． 21．为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y（单位：）与时间x（单位：min）的函数关系式为，其图象为图中线段OA，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为． (1)点A的坐标为______； (2)当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害．如果后勤人员依次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班是否能让人进入教室?请通过计算说明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：， ， A．，符合题意； B．，不合题意； C．，不合题意； D．，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 2．A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数的图象上， ∴， 又∵﹣3＜﹣2＜6， ∴y2＜y3＜y1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数值的大小，能够根据反比例函数的解析式求出相应的函数值是解题的关键． 3．B 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，将m的取值范围代入函数关系式，由函数系数判断出增减性． 【详解】因为m＜﹣1， 所以①y=mx中，y的值随x的值增大而减小，不符合题意； ②y=(x＞0)m＜0，y随x的增大而增大，符合题意； ③y=(m+1)x中，m+1＜0，y的值随x的值增大而减小，不符合题意． ④y=﹣mx+m中，﹣m＞0，y的值随x的值增大而增大，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，应注意和中的取值． 4．B 【分析】根据反比例函数的性质可知，图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数小于0，据此列出不等式解答即可． 【详解】∵反比例函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大， ∴k+1＜0， 解得：k＜-1． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 5．D 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，先利用待定系数法求出k的值，进而得到在反比例函数图象的点的横纵坐标的乘积为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数上的点的横纵坐标的乘积为， ∴四个选项中只有D选项中的点在反比例函数图象上， 故选：D． 6．D 【分析】把M的坐标代入反比例函数的解析式求出m，把y＝﹣1代入求出x，即可得出N的坐标，根据M、N的横坐标即可求出方程的解． 【详解】∵点M的坐标为（1，3）， ∴代入y得：m＝3， 即y， 当y＝﹣1时，x＝﹣3， 即N（﹣3，﹣1）， ∵由图象可知：反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交点M，N，且M的坐标为（1，3），N的坐标是（﹣3，﹣1）， 把（﹣3，﹣1）和（1，3）代入y＝kx+b得：， 解得：k＝1，b＝2， 所以y＝kx﹣b＝x﹣2， 解方程组 得：， ∴关于x的方程kx﹣b的解为x＝3，x＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查了图像与点的关系,待定系数法确定函数解析式,构造方程组确定交点坐标,熟练掌握待定系数法,灵活进行方程组的求解是解题的关键. 7． ≠-1 ＜-1 【详解】根据反比例函数的定义和性质，得k+1≠0，即k≠-1.图象在二、四象限内，k+1＜0，得k＜-1. 8．6 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．证明四边形是平行四边形，由反比例函数比例系数k的几何意义结合平行四边形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵点A是反比例函数的图象上一点， ∴设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：6． 9．或 【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题得到反比例函数和一次函数的两交点的横坐标分别为3和，然后画出大致函数图象，利用函数图象求解． 【详解】 解：方程的解为3或， 反比例函数和一次函数的两交点的横坐标分别为3和，如图， 当或时，， 故答案为：或 10． 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握待定系数法是解题关键．先求出点的坐标，再代入计算即可得． 【详解】解：∵轴于点，，， ，， ， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 11．＜ 【分析】先把A（-2，1）代入，得到k=-2，再根据反比例函数的图象性质：当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大求解即可． 【详解】∵反比例函数 的图象过点A(－2,1)， ∴k＝－2×1＝－2， ∵k＜0， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， 而B(m1，n1)、C(m2，n2)在该反比例函数图象上，且m1＜m2＜0， ∴n1＜n2. 故填：＜． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的图象性质，掌握性质是解题的关键． 12． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式，求得时，，再利用反比例函数的增减性质，可求得答案． 【详解】解：设，代入 随的增大而减小 当时， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 故答案为：． 13．或 【分析】要使一次函数值大于反比例函数值，即一次函数图象在反比例函数上方，从而求出x的取值范围． 【详解】解：已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于点A（-1，m）、B（3，n）， 根据其图象可知x的范围是x＜-1或0＜x＜3． 【点睛】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． （1）反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． （2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 14．(1)， (2)点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 15．（1） ；（2）不加油不能回到县城，还需加油20升． 【分析】(1)利用路程=总容积÷平均油耗，即可得出函数关系式； (2)分别计算出往返需要的油量进而得出答案． 【详解】(1)汽车能够行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量b(单位：升/千米)之间的函数关系为：； (2)去省城的耗油量=300×0.1=30(升)， 返回县城的油耗量=30×2=60(升)， ∵30+60>70， ∴不加油不能回到县城，还需加油30+60−70=20(升)． 【点睛】本题考查反比例函数的应用.能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型是解决此题的关键. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，，即可得，，根据D点为B点关于所在直线的对称点得，，可得，即可得； （2）根据四边形为菱形，得，根据，得， 把代入得，即可得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∵D点为B点关于所在直线的对称点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵，， ∴， 把代入得， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 17．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据得出点D的横坐标为，将代入得到对应的y值，即可得出点D的坐标； （2）先求出直线的解析式为，将代入，求出，进而求出，，即可证明． 【详解】（1）解：， 点A在线段的垂直平分线上， ，， 点D的横坐标为， 将代入，得， ； （2）证明：设直线的解析式为， 点， ， ， 直线的解析式为， 点在直线上，且横坐标为， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 18．(1)与之间的函数表达式为 (2)扯出的面条的总长度是 【分析】本题考查的知识点是反比例函数与实际问题、求反比例函数解析式、求反比例函数值，解题关键是熟练掌握求反比例函数解析式的方法． （1）设反比例函数的函数表达式为，将点坐标代入求出的值即可； （2）将代入由（1）中得到的反比例函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的函数表达式为， 其图象经过点， ， 即与之间的函数表达式为． （2）解：由（1）得，与之间的函数表达式为， 则当时，， 扯出的面条的总长度是． 19．（1）y= （2）存在．理由见解析 【详解】试题分析：（1）先把M（3，m）代入y=2x﹣2求出m，确定M点的坐标，然后利用待定系数法确定反比例函数解析式； （2）先确定A点坐标为（0，﹣2），B点坐标为（1，0），再根据勾股定理计算出AB=；根据M点坐标得到MC=4，BC=2，则利用勾股定理可计算出BM=2，然后证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出BP，于是可确定P点坐标． 解：（1）把M（3，m）代入y=2x﹣2得m=2×3﹣2=4， ∴M点坐标为（3，4）， 把M（3，4）代入y=得k=3×4=12， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）存在． 作MC⊥x轴于C，如图， 把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2；把y=0代入y=2x﹣2得2x﹣2=0，解得x=1， ∴A点坐标为（0，﹣2），B点坐标为（1，0）， ∴OA=2，OB=1， 在Rt△OAB中，AB==， ∵M点坐标为（3，4）， ∴MC=4，BC=3﹣1=2， 在Rt△MBC中，MB==2， ∵MA⊥MB， ∴∠BMP=90°， 而∠OBA=∠MBP， ∴Rt△OBA∽Rt△MBP， ∴=，即=， ∴BP=10， ∴OP=11， ∴点P的坐标为（11，0）． 点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算． 20．(1) (2)16 (3)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质及条件确定点M坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式； （2）令，在上，则，解得，得到，则点，，利用即可求解； （3）根据点N在反比例函数图象上求点N坐标，通过全等证得，进而证明，即可证得垂直平分线段. 【详解】（1）设反比例函数的解析式为：， 正方形边长为6，， ，， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， 解得：， 反比例函数的解析式为：； （2）令，在上，则，解得， 所以， ∴点，，则 ； 即的面积为16； （3）在和中， ， ， ， 在的中垂线上， ， ， ， 在的中垂线上 垂直平分线段 【点睛】本题主要考查了反比函数和正方形的性质以及垂直平分线的判定，点坐标和线段长度的相互转换，即数形结合是解答此题的关键. 21．(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）把代入 即可得到A的坐标； （2）先求解反比例函数解析式为 再计算当时，的值，再与比较即可得到答案. 【详解】（1）解： 当时， 故答案为： （2）解：设药物喷洒完成后y与x的反比例函数关系为， 把代入可得： 所以药物喷洒完成后y与x的反比例函数关系为， 而10间教室喷洒完成需要（分钟）， 当时， 所以当最后一间教室药物喷洒完成后，一班能让人进入教室. 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，反比例函数的实际应用，熟练的建立反比例函数的模型并解决问题是解本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $