第19章二次根式 学情评估卷2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

第19章 二次根式 学情评估卷 时间：90分钟 满分：120 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（ ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 5．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 6．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 7．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 10．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 二、填空题（每题3分，共15分） 11．计算的结果为________． 12．若为正整数，且满足，则_____． 13．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______． 14．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________． 15．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为__________． 三、解答题（共8小题，75分） 16．化简 (1) (2) (3) (4) 17．计算：． 18．计算：． 19．化简，并任取一个的值，使其结果为正整数． 20．先化简，再求值：，其中． 21．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 22．阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 23．综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 二次根式 学情评估卷 时间：90分钟 满分：120 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，属于基础概念题，准确理解最简二次根式的概念是解题的关键． 先明确最简二次根式的判定要求，首先是根指数为2的根式，其次满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 最简二次根式需满足：是根指数为2的根式，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． ∴ 对各选项逐一判断： 对于选项A：，被开方数含有小数，不是最简二次根式，不符合题意； 对于选项B：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 对于选项C：是二次根式，被开方数6不含分母，且6分解为，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意； 对于选项D：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数是非负的． 【详解】解：由数轴可知，． A、二次根式有意义的条件是，则当时，其无意义； B、二次根式有意义的条件是，即，正确； C、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义； D、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用积的乘方、幂的乘方与二次根式运算法则逐一验证选项即可． 【详解】解：∵，与选项结果不符，∴A错误． ∵，与选项结果不符，∴B错误． ∵表示算术平方根，结果为非负数，即，与选项结果不符，∴C错误． ∵，与选项结果一致，∴D正确． 4．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：B． 5．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ， 故选：C． 6．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 7．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 8．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 9．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断． 【详解】解：由题意，小长方形的长为， 大长方形的长为， 小长方形的宽为， 大长方形的宽为， 即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为， 大长方形的周长为， 大长方形的面积为， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 10．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．计算的结果为________． 【答案】8 【分析】观察原式结构，符合平方差公式的形式，可利用平方差公式结合二次根式的性质进行计算． 【详解】解： ． 12．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】5 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简式子，再估算化简后式子的取值范围，进而确定的值． 【详解】解：， 因为， 所以， 即， ， 即， 所以． 13．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______． 【答案】 【分析】观察已知等式各部分与序号n的关系，归纳各部分的变化规律，整理得到第n个等式，再通过分式运算与二次根式化简验证规律成立． 【详解】解：观察已知等式，对各部分按序号n归纳规律： 第n个等式中，减数为，被减数的分子为，分母为， 等式右侧分母为，根号内的两个因式为和， 由此猜想第n个等式为． 验证： 14．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式． 利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高. 【详解】解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ． 两边同乘以得 ， 再两边同除以得 ． 故答案为：． 15．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，75分） 16．化简 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 17．计算：． 【答案】 【分析】先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得出结果． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的乘法运算，绝对值，再计算加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 19．化简，并任取一个的值，使其结果为正整数． 【答案】，当时，原式．（的值不唯一，满足结果为正整数即可） 【分析】此题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简，然后代入，进而得出答案，使其结果为正整数即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式．（的值不唯一，满足结果为正整数即可） 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和因式分解方法是解题的关键．先将除法运算转化为乘法运算并因式分解，再通分进行分式加减，最后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 22．阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了分母有理化的规律，熟练掌握根式的分母有理化的化简方法是解题的关键． （1）观察解题过程，发现分母有理化的规律，进行化简求解即可； （2）仿照题干中的解题过程得到的规律化简序列，再将每个分数按照规律化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，根据分母有理化的方法，分子、分母同时乘以得： ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，对于每个正整数，都有， 则 ． 23．综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 【答案】(1)裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 (2)无盖长方体铁箱的体积为 (3)按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键． （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出无盖长方体铁箱的长，宽，高，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为． （2）解：依题意得：四个直角处的小正方形的边长为，无盖长方体铁箱的长为， ∴无盖长方体铁箱的宽为，高为 ∴无盖长方体铁箱的体积为． （3）解：按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是， 按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积为； 按亮亮的方案制作的无盖长方体铁箱的宽为， 底面积为， 体积为， ∵， ∴按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $