第一次学情自测模拟试卷（提升卷）（考试范围：第十九章、二十章）-2025-2026学年人教版数学八年级下册.

2025-2026学年八年级下学期月考模拟试卷 提升卷 （考试范围：第十九章、二十章） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 4．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 5．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 6．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7．在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，每个小方格边长为1，与的周长比为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当时，二次根式的值为___________． 12．若，，则代数式的值为___________． 13．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是______． 14．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为______尺． 15．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为______． 16．如图，，，若，，则点到的距离是________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算下列各式： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中 19．站在海拔为的地方看到的水平距离为，它们之间的关系可近似的表示为． (1)当时，求的值． (2)某登山者从海拔处登上海拔处的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？ 20．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 21．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 22．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 23．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图）进行绿化，经测量米，米，米，米． (1)求证：． (2)求空地的面积． 24．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期月考模拟试卷 提升卷 （考试范围：第十九章、二十章） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 2．在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据平面直角坐标系中两点间距离的计算，应用勾股定理求解即可. 【详解】解：根据两点间距离公式，点与点的距离为：； 因此，线段的长度为5， 故选：C 3．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，， ∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 4．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 5．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 6．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件． 【详解】解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式； ④ ，含平方因数9，不是最简二次根式； ⑤ ，不能简化，是最简二次根式； ∴最简二次根式有③和⑤，共2个， 故选C． 8．如图，每个小方格边长为1，与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再求出与的周长，进而可得出结论． 【详解】解：由图可知，，，， ，，， 的周长， 的周长， 的周长的周长， 故选：B． 9．如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，无理数与数轴，掌握勾股定理，数轴上的点与实数一一对应是关键． 根据勾股定理得到，结合数轴上的点与实数一一对应即可求解． 【详解】解：点，在数轴上，其表示的实数分别为， ∴， ∵过点作，且， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 10．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形． ∴ ∵ ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当时，二次根式的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 12．若，，则代数式的值为___________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ． ∴ ， 故答案为：11． 13．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式混合运算，先估算的值，确定整数部分和小数部分，再代入表达式利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴的整数部分，小数部分， 则，， ∴． 故答案为：6． 14．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为______尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 15．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出的长是解题的关键．利用折叠和长方形得到，进而可得出，设则在中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积，则可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质，可知：，，，． ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设则 在中， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 16．如图，，，若，，则点到的距离是________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，过点D作，垂足为F，过点D作，交的延长线于点G，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为F，过点D作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离是， 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)13 【分析】本题考查的是实数的混合运算，涉及二次根式的化简与计算、乘方、零指数幂、负整数指数幂等，掌握相关运算法则与运算顺序是解本题的关键． （1）先将原式变形为，再计算除法，最后计算加法即可； （2）先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、二次根式的代入求值．熟悉分式的混合运算法则，运用平方差公式进行因式分解，以及二次根式的代入求值与分母有理化的计算，是解题的关键． 根据分式的混合运算法则，先计算括号内的算式，经过通分，除法转化为乘法，因式分解，约分等步骤后得到最简分式，代入，并进行分母有理化即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 19．站在海拔为的地方看到的水平距离为，它们之间的关系可近似的表示为． (1)当时，求的值． (2)某登山者从海拔处登上海拔处的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】（）把代入关系式计算即可求解； （）求出和时的值，再进行除法运算即可求解； 本题考查了求二次根式的值，二次根式除法运算的实际应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴的值为； （2）解：把代入，得； 把代入，得， ∵， ∴他看到的水平距离是原来的倍． 20．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 21．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 22．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 23．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图）进行绿化，经测量米，米，米，米． (1)求证：． (2)求空地的面积． 【答案】(1)见解析； (2)空地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由勾股定理得米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形； （2）由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， 在中，米，米，米，米， （米）， ， ， 是直角三角形； （2）解： ． 答：空地的面积是． 24．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $