19.2 二次根式的乘法与除法 期末复习一本通 —— 清单・练・测 全程通关 2025-2026学年人教版八年级下册数学

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 知识点1 二次根式的化简 （1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． （a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0） （2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2 知识点2 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 知识点3 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 知识点4 分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①； ②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代 数式成互为有理化因式． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意． B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意． C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． 故选：A． 2．等式 成立的条件是 （     ） A． 且 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件可得且，解不等式组即可． 本题主要考查了二次根式的除法，被开方数要大于等于0，分母不能为0． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故选：C 3．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质， 根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可． 【详解】A．，正确； B．，正确； C．，故选项错误； D．，正确． 故选：C． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．下列各数中，与的商为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的除法运算及有理数的定义，将各选项与相除，判断结果是否为有理数． 【详解】解：A选项：，结果是无理数； B选项：，结果是无理数； C选项：，结果是无理数； D选项：，是有理数． 故选：D． 6．若实数x、y满足，则的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，化简二次根式，熟练掌握和运用算术平方根及绝对值的非负性是解决本题的关键．根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得x、y的值，据此即可求得． 【详解】解：由题意，， 因为，， 所以，， 解得：，， 因此，， 12的算术平方根为， 故选：D． 7．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可． 本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 故选：A． 8．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵， ∴，故甲的结果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确； 故选：A 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查非负性，化简二次根式，利用绝对值和平方的非负性，求出 m 和 n 的值，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查含二次根式的一元一次不等式的求解，关键是掌握一元一次不等式的基本解法以及二次根式的化简方法．先通过移项将常数项移到不等式右侧，再将的系数化为1，最后对含二次根式的分式进行化简得到解集． 【详解】解：不等式，移项得， ∴两边同时除以，得， 故； 故答案为：． 11．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式． 利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高. 【详解】解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ． 两边同乘以得 ， 再两边同除以得 ． 故答案为：． 12．若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的_______段．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的化简，估计二次根式的整数部分的值，解题的关键是掌握以上法则． 先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴数a落在了如图所示数轴上的③段， 故答案为：③． 三、解答题（每小题8分，共24分）（每小题8分，共24分） 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，正确运用运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式除法法则进行计算即可； （3）原式先计算二次根式的乘法，再计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题： 已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法应用，熟练掌握该知识点是关键． 先求出的值，再利用海伦公式求解即可． 【详解】解：，，， ， ． 故张大爷这块菜地的面积为． 15．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)会产生危害，严禁高空抛物． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据能量计算公式计算，进一步判断得解． 【详解】（1）解：当时， 答：物体从的高空落到地面的时间为． （2）解：当时，，解得， 已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）的计算公式为，其中为物体质量（单位：），为高度（单位：m） ∴， ∵， ∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：C． 3．等式“”中，括号内应填入（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， ∴括号内应填入6， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 4．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 5．小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意计算与，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 6．已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 7．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的． ∴表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数， ∵前4排共有个数， ∴第5排第4列的数是第个， ∵， ∴表示的数是； 前50排共有个数， ∴第5l排第30列的数是第个数， ∵， ∴表示的数是， ∴与表示的两个数的积是； 故选：A. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．若，，则用含a，b的式子表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．若单项式与是同类项，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，最简二次根式，根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解： ，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】（1） （2） 14．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 15．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：C． 3．等式“”中，括号内应填入（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， ∴括号内应填入6， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 4．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 5．小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意计算与，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 6．已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 7．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的． ∴表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数， ∵前4排共有个数， ∴第5排第4列的数是第个， ∵， ∴表示的数是； 前50排共有个数， ∴第5l排第30列的数是第个数， ∵， ∴表示的数是， ∴与表示的两个数的积是； 故选：A. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．若，，则用含a，b的式子表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．若单项式与是同类项，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，最简二次根式，根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解： ，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】（1） （2） 14．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 15．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 知识点1 二次根式的化简 （1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． （a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0） （2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2 知识点2 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 知识点3 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 知识点4 分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①； ②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代 数式成互为有理化因式． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．等式 成立的条件是 （     ） A． 且 B． C． D． 3．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 5．下列各数中，与的商为有理数的是（    ） A． B． C． D． 6．若实数x、y满足，则的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 7．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 8．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．若，则__________． 10．不等式的解集是___________． 11．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________． 12．若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的_______段．（填序号） 三、解答题（每小题8分，共24分）（每小题8分，共24分） 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题： 已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积． 15．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．从、、这三个实数中任选两数相乘大于2的是（    ） A． B． C． D．没有 3．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 4．已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 5．关于x的不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行，爬到表示的点处，则该点可能是下列点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．等式成立的条件是__________． 10．当时，化简：_______． 11．若与互为相反数，则的值为__________． 12．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为____． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．计算： (1)． (2)． 14．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 15．阅读理解：在平面直角坐标系中，，如何求的距离，如图，在中，，所以，因此，我们得到平面上两点之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)已知点，试求 C、D 两点间的距离； (2)已知点且，求m的值； （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．等式“”中，括号内应填入（　　） A． B．3 C． D．6 4．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 5．小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 7．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．若，，则用含a，b的式子表示为________． 10．计算：__________． 11．若单项式与是同类项，则的值为______． 12．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．计算： (1) (2)． 14．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 15．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $