专题4.1 因式分解（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

专题4.1 因式分解 知识点1：因式分解的定义 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。 2.核心特征：①对象是多项式；②结果是几个整式相乘；③是恒等变形，变形前后式子的值不变；④现阶段仅要求在有理数范围内分解。 3.反例说明：不是因式分解，因不是整式；不是因式分解，因结果不是整式的积。 知识点2：因式分解与整式乘法的关系 1.核心关系：二者是互为逆变形的关系，整式乘法是“整式的积→多项式”，因式分解是“多项式→整式的积”。 2.区别与联系（表格呈现）： 关系 因式分解 整式乘法 变形方向 多项式几个整式的积 几个整式的积多项式 运算本质 多项式的恒等变形 整式的乘法运算 相互验证 因式分解的结果可通过整式乘法检验是否正确 整式乘法的结果可通过因式分解还原为整式积 举例 知识点3：因式分解的几何意义 1.核心思路：同一几何图形的面积可通过直接公式计算和分割后求和/差两种方式表示，两种结果相等可推导出因式分解等式。 2.基本应用：通过长方形、正方形的拼接，将多项式的代数形式与图形的面积形式结合，直观理解因式分解的恒等性，如。 知识点4：因式分解的基本应用 1.整除问题：将代数式通过因式分解转化为某个整数与另一个整式的积的形式，证明该代数式能被这个整数整除。 2.求字母参数：利用因式分解与整式乘法的互逆性，将因式展开后通过多项式恒等的对应项系数相等，建立方程求解字母值。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的定义辨析 1.核心知识点 因式分解的定义及核心特征；整式与非整式的判断。 2.解题方法技巧 两步判断法：①先看左边是否为多项式，非多项式直接排除；②再看右边是否为几个整式的积，含加减运算、非整式则排除。 熟记典型反例，快速排除错误选项。 【例题1】.（25-26八年级上·河南周口·期末）以下变形不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·广东佛山·月考）下列各式从左到右是因式分解的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】利用整式乘法检验因式分解结果 1.核心知识点 因式分解与整式乘法的互逆性；单项式乘多项式、多项式乘多项式法则。 2.解题方法技巧 反向检验法：将因式分解的结果按整式乘法法则展开，若展开式与原多项式完全一致，则分解正确；若不一致，说明分解错误。 检验时注意符号运算，避免漏乘、错乘。 【例题2】.（25-26八年级下·重庆·月考）下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南周口·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）下列是因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】已知因式分解结果求单参数值 1.核心知识点 因式分解与整式乘法的互逆性；多项式恒等的对应项系数相等 2.解题方法技巧 展开对比法：将因式乘积按整式乘法展开，合并同类项后，与原多项式对应项系数对比，直接列等式求参数； 含系数因式时，先根据二次项/一次项系数设出待定因式，再展开对比求解。 【例题3】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若，则_____． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【培优高频题型】 【题型4】单条件错解型求多项式字母参数 1.核心知识点 因式分解与整式乘法的互逆性；多项式恒等的对应项系数相等。 2.解题方法技巧 错解分离法：①看错某一参数时，另一参数保持正确，将分解结果展开，提取正确的参数值；②分别获取两个正确参数后，计算参数和/积。 如分解时，看错则正确，看错则正确。 【例题4】.（25-26八年级上·甘肃定西·月考）甲、乙两名同学分解因式时，甲把看错导致分解结果为，乙把n看错导致分解结果为，求多项式分解因式的正确结果． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）小明抄写在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果：______________． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【题型5】已知一个因式求另一个因式及参数 1.核心知识点 因式分解的恒等性；多项式乘多项式的系数对应法则；解一元一次方程组。 2.解题方法技巧 待定因式法：①根据多项式的次数设出另一个因式（如二次三项式的一个因式是一次式，另一个因式也为一次式）；②将两个因式相乘展开，与原多项式对应项系数相等，建立方程组；③解方程组求出待定参数和因式的系数。 【例题5】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【题型6】生活情境中的因式分解应用 1.核心知识点 因式分解的基本变形；实际问题中的数量关系转化。 2.解题方法技巧 情境建模法：①将实际问题中的数量关系转化为多项式形式；②通过因式分解简化多项式，分析数量之间的内在联系。 常见情境：图形拼接的边长计算、物品分配的数量表示、工程问题的工作量化简。 【例题6】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某公园有一块如下图所示的半径为（单位：）的圆形草坪，现要在其内修建4个半径均为（单位：）的圆形花坛．设草坪剩余部分（阴影部分）的面积为（单位：）． (1)用含，的式子表示． (2)当，时，利用因式分解的知识求． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形． (1)阴影部分的面积为 （用代数式表示）． (2)先将上述代数式因式分解，再计算当，时，阴影部分的面积． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（结果保留）． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． (1)若多项式为，当时，写出所有的取件码______． (2)某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． (3)若多项式为，当，求出所有的取件码． 【压轴素养题型】 【题型7】因式分解在整除问题中的应用 1.核心知识点 因式分解的提公因式法；整除的定义（若，为整数，则能被整除）。 2.解题方法技巧 提公因式转化法：①提取代数式中各项的公因式，将原式变形为“整数×整式”的形式；②直接根据整除定义说明原式能被该整数整除。 对于幂的形式，先统一底数再提公因式，如。 【例题7】.（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；也可以表示成，一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作． （1）能被9整除吗？请说明理由； （2）小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．         小明的证明思路 因为　　① 　　② 　　③ 又因为代数式③，都能被3整除， 所以能被3整除 (1)能被9整除吗？请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 【题型8】因式分解与几何图形的综合探究 1.核心知识点 因式分解的几何意义；图形的拼接与分割；勾股定理、三角形形状判断。 2.解题方法技巧 数形结合法：①根据图形的拼接方式写出面积的两种表达式，推导因式分解等式；②将几何图形的边长、面积关系转化为多项式，通过因式分解判断图形的形状（如等边三角形、直角三角形）。 如通过因式分解为，判断为等边三角形。 【例题8】.（25-26八年级上·北京大兴·期末）阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． (1)在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式 ； (2)在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1的基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·江西宜春·月考）定义：我们将边长为的正方形称为“完全方框”．若将“完全方框”分成四个小区域（如图1所示），四个小区域的面积分别为，四个小区域的面积之和称为“完全方框”的完全和，即完全和等于． 【定义理解】 （1）若，用含的代数式表示该“完全方框”的完全和． 【深入探究】 （2）图2是一个长方形，沿图中虚线分割成四个全等的小长方形，拼成如图3所示的“完全方框”，且该“完全方框”的“完全和”为． ①图2中大长方形的面积为___________，图3中阴影部分的面积为___________；（用含，的代数式表示） ②若，求图3中阴影部分的面积． 【问题解答】 （3）图4是一块多边形空地，某校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余两块三角形区域种草．已知正方形与正方形的边长分别为，面积分别为，并且三点在同一条直线上，若 ，求种草区域的面积和． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·天津蓟州·月考）如图，一个大正方形边长为，从中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积可表示为阴影部分． (1)写出阴影部分面积的代数式； (2)将该代数式分解因式； (3)若，求阴影部分面积． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【题型9】因式分解的新定义阅读理解题 1.核心知识点 因式分解的基本思想；新定义方法的迁移应用（如分组分解法、换元法）。 2.解题方法技巧 定义迁移法：①认真阅读材料，理解新定义的因式分解方法（如分组分解的“分组提公因式→整体提公因式”）；②按照新定义的步骤，逐步对多项式进行因式分解；③注意方法的细节，如分组的合理性、换元的整体性。 【例题9】.（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山东滨州·期末）【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 易错点 1、混淆因式分解与整式乘法的变形方向，误将整式乘法判断为因式分解，或反之。 2、判断因式分解时忽略“结果为整式的积”，误将含加减运算、非整式的变形当作因式分解。 3、利用系数对应求参数时，漏看多项式的符号，导致对应项系数相等的方程列错。 4、几何图形与因式分解结合时，错误计算图形的边长或面积，导致推导的因式分解等式错误。 5、解决整除问题时，未将原式彻底转化为“整数×整式”的形式，直接判断整除性。 重点 1、熟练掌握因式分解的定义，能准确辨析一个变形是否为因式分解，熟记核心特征和典型反例。 2、理解因式分解与整式乘法的互逆关系，能利用整式乘法检验因式分解的结果，反之亦然。 3、掌握利用“系数对应相等”求多项式中字母参数的方法，包括单条件错解型、已知一个因式型。 4、能结合几何图形的面积表示，推导因式分解等式，理解因式分解的几何意义，建立数形结合思想。 5、掌握因式分解在整除问题中的应用方法，能通过提公因式将代数式转化为“整数×整式”的形式。 难点 1、已知一个因式求另一个因式及参数时，能根据多项式的次数正确设出待定因式，准确展开并建立方程组求解。 2、解决多因式组合的参数探究题时，能正确展开多因式的乘积，结合参数的限定条件进行分类讨论，排除不合理的解。 3、理解并迁移应用因式分解的新定义方法（如分组分解、换元法），能按照新定义的步骤完成多项式的因式分解。 4、将实际生活情境、几何图形问题转化为因式分解问题，建立数学模型，利用因式分解解决实际问题和几何探究问题。 5、结合数式规律探索，通过因式分解验证规律的正确性，实现因式分解与规律探究的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 3．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 二、填空题 4．因式分解：______． 5．若多项式因式分解的结果是，则___________． 6．若多项式因式分解的结果为，则__________． 三、解答题 7．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 8．已知整式，整式，若可以分解为，求． 9．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 10．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 因式分解 知识点1：因式分解的定义 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。 2.核心特征：①对象是多项式；②结果是几个整式相乘；③是恒等变形，变形前后式子的值不变；④现阶段仅要求在有理数范围内分解。 3.反例说明：不是因式分解，因不是整式；不是因式分解，因结果不是整式的积。 知识点2：因式分解与整式乘法的关系 1.核心关系：二者是互为逆变形的关系，整式乘法是“整式的积→多项式”，因式分解是“多项式→整式的积”。 2.区别与联系（表格呈现）： 关系 因式分解 整式乘法 变形方向 多项式几个整式的积 几个整式的积多项式 运算本质 多项式的恒等变形 整式的乘法运算 相互验证 因式分解的结果可通过整式乘法检验是否正确 整式乘法的结果可通过因式分解还原为整式积 举例 知识点3：因式分解的几何意义 1.核心思路：同一几何图形的面积可通过直接公式计算和分割后求和/差两种方式表示，两种结果相等可推导出因式分解等式。 2.基本应用：通过长方形、正方形的拼接，将多项式的代数形式与图形的面积形式结合，直观理解因式分解的恒等性，如。 知识点4：因式分解的基本应用 1.整除问题：将代数式通过因式分解转化为某个整数与另一个整式的积的形式，证明该代数式能被这个整数整除。 2.求字母参数：利用因式分解与整式乘法的互逆性，将因式展开后通过多项式恒等的对应项系数相等，建立方程求解字母值。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的定义辨析 1.核心知识点 因式分解的定义及核心特征；整式与非整式的判断。 2.解题方法技巧 两步判断法：①先看左边是否为多项式，非多项式直接排除；②再看右边是否为几个整式的积，含加减运算、非整式则排除。 熟记典型反例，快速排除错误选项。 【例题1】.（25-26八年级上·河南周口·期末）以下变形不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需依据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合要求 【详解】∵因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，需满足两个核心条件：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的积的形式 ∴对各选项逐一分析： 选项A：左边是单项式，不满足“对象为多项式”的要求，因此该变形不是因式分解； 选项B：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解； 选项C：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解； 选项D：左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解， 故选：A 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·广东佛山·月考）下列各式从左到右是因式分解的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式的右边不是乘积的形式，是整式的乘法，则此项不是因式分解，该选项不符合题意； B、，原式因式分解不彻底，该选项不符合题意； C、等式的右边不是乘积的形式，则此项不是因式分解，该选项不符合题意； D、满足因式分解的定义，则此项是因式分解，该选项符合题意． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念：因式分解要求等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】A选项属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； B选项右边不是整式乘积的形式，不符合要求； C选项右边的不是整式，不符合要求； D选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，变形正确，属于因式分解，符合要求． 【题型2】利用整式乘法检验因式分解结果 1.核心知识点 因式分解与整式乘法的互逆性；单项式乘多项式、多项式乘多项式法则。 2.解题方法技巧 反向检验法：将因式分解的结果按整式乘法法则展开，若展开式与原多项式完全一致，则分解正确；若不一致，说明分解错误。 检验时注意符号运算，避免漏乘、错乘。 【例题2】.（25-26八年级下·重庆·月考）下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义（将多项式化为几个整式乘积的形式），结合因式分解的常用方法逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解， ∴A错误； B、∵，与不相等， ∴B错误； C、∵等式右侧不是整式，不符合因式分解要求， ∴C错误； D、∵， ∴ ， ∴D正确． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南周口·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据题目特点选择合适的方法是解题的关键．选择合适因式分解方法分解后，即可进行判断． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、 ，故选项正确，符合题意； D、，是整式乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法、十字相乘法和公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A．，提取公因式x，正确，不符合题意； B．，故选项B错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意； 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）下列是因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解，根据题目特点选择合适的方法是解题的关键． 对各选项进行因式分解，判断其结果是否正确即可． 【详解】解：选项A：，该步骤为因式分解，且结果正确，符合题意； 选项B：，该步骤并非因式分解，不符合题意； 选项C：，其中还可以进行因式分解为，故因式分解不彻底，不符合题意； 选项D：，故因式分解错误，不符合题意； 故选A． 【题型3】已知因式分解结果求单参数值 1.核心知识点 因式分解与整式乘法的互逆性；多项式恒等的对应项系数相等 2.解题方法技巧 展开对比法：将因式乘积按整式乘法展开，合并同类项后，与原多项式对应项系数对比，直接列等式求参数； 含系数因式时，先根据二次项/一次项系数设出待定因式，再展开对比求解。 【例题3】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 【详解】解：， ． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型4】单条件错解型求多项式字母参数 1.核心知识点 因式分解与整式乘法的互逆性；多项式恒等的对应项系数相等。 2.解题方法技巧 错解分离法：①看错某一参数时，另一参数保持正确，将分解结果展开，提取正确的参数值；②分别获取两个正确参数后，计算参数和/积。 如分解时，看错则正确，看错则正确。 【例题4】.（25-26八年级上·甘肃定西·月考）甲、乙两名同学分解因式时，甲把看错导致分解结果为，乙把n看错导致分解结果为，求多项式分解因式的正确结果． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键． 根据题意可知m、n是相互独立的，在因式分解中n决定常数项，m决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出m、n的值，代入原多项式进行因式分解即可． 【详解】解：∵甲同学分解因式时，把看错导致分解结果为， ， ∴是正确的， ∵乙同学分解因式时，把n看错导致分解结果为，， ∴是正确的， ∴ ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）小明抄写在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，因式分解的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方差公式的应用条件，需为平方项，且为不大于5的正整数，故可能为2或4，对应两种分解结果． 【详解】解：因为是不大于5的正整数，且能利用平方差公式分解因式， 所以必须为平方项， 即为偶数， 因为他只知道该指数为不大于5的正整数， 所以可能值为2或4， 当时，， 当时，． 选项D包含这两种结果， 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果：______________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 根据平方差公式分解因式有两种情况：①当的值为2时，②当的值为4时，利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：①当的值为2时，则； ②当的值为4时，则； 故答案为：或． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型5】已知一个因式求另一个因式及参数 1.核心知识点 因式分解的恒等性；多项式乘多项式的系数对应法则；解一元一次方程组。 2.解题方法技巧 待定因式法：①根据多项式的次数设出另一个因式（如二次三项式的一个因式是一次式，另一个因式也为一次式）；②将两个因式相乘展开，与原多项式对应项系数相等，建立方程组；③解方程组求出待定参数和因式的系数。 【例题5】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 【题型6】生活情境中的因式分解应用 1.核心知识点 因式分解的基本变形；实际问题中的数量关系转化。 2.解题方法技巧 情境建模法：①将实际问题中的数量关系转化为多项式形式；②通过因式分解简化多项式，分析数量之间的内在联系。 常见情境：图形拼接的边长计算、物品分配的数量表示、工程问题的工作量化简。 【例题6】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某公园有一块如下图所示的半径为（单位：）的圆形草坪，现要在其内修建4个半径均为（单位：）的圆形花坛．设草坪剩余部分（阴影部分）的面积为（单位：）． (1)用含，的式子表示． (2)当，时，利用因式分解的知识求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的面积计算，提公因式法和平方差公式因式分解，掌握先根据面积关系列表达式，再用因式分解简化代入计算是解题的关键． （1）用大圆面积减去4个小圆的面积，列出阴影部分面积的表达式； （2）对面积表达式先提取公因式，再用平方差公式因式分解，代入数值简化计算． 【详解】（1）解：=大圆面积−4×小圆面积， ． （2）解：． 当，时， ． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形． (1)阴影部分的面积为 （用代数式表示）． (2)先将上述代数式因式分解，再计算当，时，阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，直接列代数式； （2）对代数式用平方差公式因式分解，再代入数值简化计算． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，即． （2）解：． 当，时， 阴影部分的面积 答：阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用和因式分解的意义，掌握平方差公式是解题的关键． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（结果保留）． 【答案】浇制一节这样的管道需要的混凝土 【分析】用两个圆柱的体积之差来表示即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故浇制一节这样的管道需要的混凝土. 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，利用因式分解可使运算简便． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． (1)若多项式为，当时，写出所有的取件码______． (2)某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． (3)若多项式为，当，求出所有的取件码． 【答案】(1)1119和1911 (2)20 (3)262323、232623、232326 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）直接因式分解后将代入求值即可； （2）将因式分解后通过取件码数字反推x值即可； （3）将因式分解，将代入求出三个取件码数字，进而排列即可． 【详解】（1）解：， 代入，得 ，， 取件码为11和19的排列，即1119和1911； 故答案为：1119和1911； （2）解： ， 取件码172320对应数字17、23、20， ∵时，，， ∴他选取x的值是20； 故答案为：20； （3）解：， 代入，得 ，， 即三个取件码数字分别为26、23、23， 所有取件码为262323、232623、232326． 【压轴素养题型】 【题型7】因式分解在整除问题中的应用 1.核心知识点 因式分解的提公因式法；整除的定义（若，为整数，则能被整除）。 2.解题方法技巧 提公因式转化法：①提取代数式中各项的公因式，将原式变形为“整数×整式”的形式；②直接根据整除定义说明原式能被该整数整除。 对于幂的形式，先统一底数再提公因式，如。 【例题7】.（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了因式分解的应用（平方差公式、提取公因式法），熟练掌握因式分解的方法并结合整数的性质分析因数是解题的关键． （1）对因式分解，分析其因数，匹配选项； （2）先对用平方差公式因式分解，再化简，分析其是否含24的因数； （3）先因式分解，化简后根据能被36整除的条件，求n的最小值． 【详解】（1）解： ， ∵是正整数，是整数， ∴一定能被14整除， 故答案为：C； （2）解： ， ∵是正整数，和是连续整数， ∴能被2整除， ∴能被整除，即能被24整除； （3）解：， ∵能被36整除， ∴是整数， 即能被3整除， ∵是正整数，和是连续整数， ∴当时，能被3整除， 故的最小值为：2． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；也可以表示成，一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作． （1）能被9整除吗？请说明理由； （2）小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．         小明的证明思路 因为　　① 　　② 　　③ 又因为代数式③，都能被3整除， 所以能被3整除 (1)能被9整除吗？请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 【答案】(1)能被9整除，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握数的整除的方法是解题的关键． （1）根据给定的运算可表示出：，即可得证； （2）根据，结合已知条件即可证得． 【详解】（1）解：能被9整除，理由为： ， 能被9整除； （2）解： ， ，都能被3整除， 就能被3整除， 故答案为：；；． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 【答案】（1）；或；（2）能被11整除，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意完成证明过程即可； （2）根据即可得证． （3）根据题意得到即可． 【详解】解：（1）证明：∵① ② ， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． 故答案为：；或；    (2)能被11整除，理由如下：    ，    能被11整除；    (3) ， ，    设，    ，              能被7整除． 【题型8】因式分解与几何图形的综合探究 1.核心知识点 因式分解的几何意义；图形的拼接与分割；勾股定理、三角形形状判断。 2.解题方法技巧 数形结合法：①根据图形的拼接方式写出面积的两种表达式，推导因式分解等式；②将几何图形的边长、面积关系转化为多项式，通过因式分解判断图形的形状（如等边三角形、直角三角形）。 如通过因式分解为，判断为等边三角形。 【例题8】.（25-26八年级上·北京大兴·期末）阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． (1)在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式 ； (2)在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1的基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2)①见解析；②2a2+7ab+3b2＝（2a+b）（a+3b） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形面积的不同计算方法推导代数等式并根据给定面积的多项式进行图形拼接是解题的关键． （1）观察图2，大长方形的长是，宽是．计算面积（方法一）：根据长方形面积公式，面积为，计算面积（方法二）：数出组成大长方形的卡片：1张边长为a的正方形、3张长a宽b的长方形、2张边长为b的正方形，总面积为 ．两种方法计算的是同一图形面积，即； （2）①将面积分解为 ，确定大长方形的长为，宽为，确定卡片数量：根据因式分解结果，需要2张边长为a的正方形卡片、7张长a宽b的长方形卡片、3张边长为b的正方形卡片，补全图形；②按长和宽的尺寸，用上述卡片拼接成大长方形． 【详解】（1）解：图2面积为， 面积也可表示为：， 因此． 故答案为：． （2）解：①如图： ； ②因为大长方形的长为，宽为， 所以． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·江西宜春·月考）定义：我们将边长为的正方形称为“完全方框”．若将“完全方框”分成四个小区域（如图1所示），四个小区域的面积分别为，四个小区域的面积之和称为“完全方框”的完全和，即完全和等于． 【定义理解】 （1）若，用含的代数式表示该“完全方框”的完全和． 【深入探究】 （2）图2是一个长方形，沿图中虚线分割成四个全等的小长方形，拼成如图3所示的“完全方框”，且该“完全方框”的“完全和”为． ①图2中大长方形的面积为___________，图3中阴影部分的面积为___________；（用含，的代数式表示） ②若，求图3中阴影部分的面积． 【问题解答】 （3）图4是一块多边形空地，某校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余两块三角形区域种草．已知正方形与正方形的边长分别为，面积分别为，并且三点在同一条直线上，若 ，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）①，；②13；（3） 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）把，代入，进行求解即可； （2）①根据“完全方框”的“完全和”为，得到完全方框的边长为，进而得到小长方形的两条邻边的长分别为，进而得到大长方形的两条邻边的长分别为，利用面积公式进行求解即可；用“完全和”减去4个小长方形的面积求出阴影部分的面积即可；②利用完全平方公式变形和整体代入法求出阴影部分的面积即可； （3）根据题意，得到，利用完全平方公式变形求出的值，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴完全方框的边长为， ∴小长方形的两条邻边的长分别为， ∴大长方形的两条邻边的长分别为， ∴大长方形的面积为； 图3中阴影部分的面积为； ②∵， ∴ ； （3）由题意，， ∵， ∴， ∴； ∴种草区域的面积和. 【变式题8-2】.（25-26八年级上·天津蓟州·月考）如图，一个大正方形边长为，从中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积可表示为阴影部分． (1)写出阴影部分面积的代数式； (2)将该代数式分解因式； (3)若，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值以及因式分解，能够通过图形列出代数式是解题关键； （1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）将代入（2）中的结果计算即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为：，小正方形的面积为：， ∴阴影部分面积为：； （2）解：； （3）解：当时，， ∴阴影部分的面积为． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解正方形的面积，设，则，而，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设正方形的边长为， 则 ， 设，则：正方形的边长为， ∵， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 【题型9】因式分解的新定义阅读理解题 1.核心知识点 因式分解的基本思想；新定义方法的迁移应用（如分组分解法、换元法）。 2.解题方法技巧 定义迁移法：①认真阅读材料，理解新定义的因式分解方法（如分组分解的“分组提公因式→整体提公因式”）；②按照新定义的步骤，逐步对多项式进行因式分解；③注意方法的细节，如分组的合理性、换元的整体性。 【例题9】.（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由 ，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则 ，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则 ，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ； ∵， ∴ ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山东滨州·期末）【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法在因式分解和求代数式最值中的应用，熟练掌握配方法的步骤以及完全平方式的非负性是解题的关键． （1）先通过配凑，将转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）先提取二次项系数，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最小值． （3）先提取二次项系数的负号，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最大值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 故代数式的最小值为． （3）解： ， ， ， ， 故代数式的最大值为． 易错点 1、混淆因式分解与整式乘法的变形方向，误将整式乘法判断为因式分解，或反之。 2、判断因式分解时忽略“结果为整式的积”，误将含加减运算、非整式的变形当作因式分解。 3、利用系数对应求参数时，漏看多项式的符号，导致对应项系数相等的方程列错。 4、几何图形与因式分解结合时，错误计算图形的边长或面积，导致推导的因式分解等式错误。 5、解决整除问题时，未将原式彻底转化为“整数×整式”的形式，直接判断整除性。 重点 1、熟练掌握因式分解的定义，能准确辨析一个变形是否为因式分解，熟记核心特征和典型反例。 2、理解因式分解与整式乘法的互逆关系，能利用整式乘法检验因式分解的结果，反之亦然。 3、掌握利用“系数对应相等”求多项式中字母参数的方法，包括单条件错解型、已知一个因式型。 4、能结合几何图形的面积表示，推导因式分解等式，理解因式分解的几何意义，建立数形结合思想。 5、掌握因式分解在整除问题中的应用方法，能通过提公因式将代数式转化为“整数×整式”的形式。 难点 1、已知一个因式求另一个因式及参数时，能根据多项式的次数正确设出待定因式，准确展开并建立方程组求解。 2、解决多因式组合的参数探究题时，能正确展开多因式的乘积，结合参数的限定条件进行分类讨论，排除不合理的解。 3、理解并迁移应用因式分解的新定义方法（如分组分解、换元法），能按照新定义的步骤完成多项式的因式分解。 4、将实际生活情境、几何图形问题转化为因式分解问题，建立数学模型，利用因式分解解决实际问题和几何探究问题。 5、结合数式规律探索，通过因式分解验证规律的正确性，实现因式分解与规律探究的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【答案】C 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可． 【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法． 综上，①是因式分解，②是整式乘法． 3．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 二、填空题 4．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式进行因式分解. 【详解】解 ． 故答案为 5．若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 6．若多项式因式分解的结果为，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是整式乘法的逆运算是关键． 通过比较因式分解后的形式与原始多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴ ∴ 得方程组： 解得： ． 故答案为：． 三、解答题 7．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【答案】 另一个因式为 ， 【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 展开右边：， 比较系数得：，， 解得，， ∴另一个因式为，． 8．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 9．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 10．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题考查了恒等式的性质，解方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握性质和运算是解题的关键． （1）将等式的右边展开，根据恒等式的性质，解答即可； （2）仿照示范的例子解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：设另一个因式为， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $