第二章-相交线与平行线-平行线的性质讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第二章 相交线与平行线 平行线的性质一、知识点回顾 1. 平行线的基本性质 平行线的性质是研究两条平行直线被第三条直线所截时，形成的角之间的关系。这些性质与平行线的判定定理是互逆的。 平行线的性质定理 性质1（同位角相等）：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 性质2（内错角相等）：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 性质3（同旁内角互补）：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 平行公理的推论 推论1：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：如果a∥b，b∥c，那么a∥c。 推论2：平行于同一直线的两条直线互相平行。 推论3：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 2. 平行线的性质与判定的对比 对比项 平行线的性质 平行线的判定 已知条件 已知两直线平行 已知角的关系（相等或互补） 得出结论 得到角的关系（相等或互补） 得到两直线平行 因果关系 由"平行"→"角的关系" 由"角的关系"→"平行" 用途 计算角度大小，证明角相等或互补 证明两条直线平行 3. 平行线的传递性 平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 这一性质是平行公理的直接推论，在复杂的几何证明中经常使用。 已知：直线a∥直线c，直线b∥直线c 结论：直线a∥直线b 二、重难点讲解 重难点1：性质定理的综合应用 在复杂的几何图形中，往往需要同时运用多个平行线的性质定理，结合其他几何知识（如三角形内角和、对顶角等）解决问题。 综合应用思路 解题步骤： 1. 识别图形中的平行线，标记已知的平行关系 2. 找出被平行线所截的第三条直线（截线） 3. 根据问题需要，选择合适的性质定理 4. 结合其他几何知识（如对顶角相等、邻补角互补等）进行推导 5. 将所得角的关系进行等量代换，最终得到所求结果 重难点2：平行线性质与判定的综合运用 在复杂的几何证明中，常常需要交替使用平行线的性质和判定，这是本章的难点。 综合运用策略 基本模式： 1. 先用判定定理证明两直线平行 2. 再用性质定理得到角的关系 3. 利用得到的新角的关系，结合其他条件继续证明 关键技巧： · 思路的转换：在证明过程中，要根据需要灵活转换思路，时而是"由角证平行"，时而是"由平行得角"。 · 条件的充分利用：注意图形中隐含的条件，如对顶角、邻补角、三角形内角和等。 · 辅助线的添加：在适当的时候添加辅助线（如平行线），构造可用的平行关系。 重难点3：平行线性质的实际应用 平行线的性质不仅是理论，也有广泛的实际应用，如工程设计、测量等。 实际应用举例 1. 方位角问题：利用平行线的性质，计算方位角。 2. 道路设计：平行线性质用于设计平行道路、铁路轨道等。 3. 建筑测量：利用"两直线平行，同位角相等"的性质进行角度测量。 4. 图形绘制：在工程制图中，利用平行线性质绘制平行线。 思维拓展：平行线性质的推广 平行线的性质可以推广到更一般的情况： · 一组平行线被一组相交线所截，对应线段成比例（为相似三角形打下基础） · 平行线间的距离处处相等（为平行四边形、梯形的学习作准备） · 平行线的传递性在空间几何中仍然成立（为立体几何学习作准备） 三、易错点讲解 易错点1：混淆性质定理与判定定理 常见错误：在证明过程中，错误地使用性质定理来判定两直线平行，或错误地使用判定定理来得到角的关系。 错误分析： "两直线平行，同位角相等"是性质定理，已知平行得到角相等。 这里应该是"同位角相等，两直线平行"，这是判定定理。 正确区分： 1. 判定定理：同位角相等→两直线平行 2. 性质定理：两直线平行→同位角相等 易错点2：忽略"两直线平行"的前提条件 常见错误：在应用平行线的性质定理时，没有确认两条直线是否平行，就直接使用性质定理。 性质定理的前提条件： 平行线的性质定理必须在"已知两直线平行"的前提下才能使用。如果不知道两条直线是否平行，就不能直接使用这些性质。 易错情形： 1. 看到图形中两条直线"看起来"平行，就以为它们平行 2. 凭感觉认为两条直线应该平行，但没有经过证明 3. 在复杂图形中，错误地认为某两条直线平行 规避方法： 在使用平行线的性质定理前，必须明确写出"因为...∥..."，确认平行关系。 易错点3：对"同旁内角互补"理解错误 常见错误：认为只要两条直线被第三条直线所截，同旁内角就一定互补。 正确理解： 只有两条直线平行时，同旁内角才互补。如果两条直线不平行，同旁内角不一定互补。 反例： 两条相交直线被第三条直线所截，形成的同旁内角之和通常不等于180°。 记忆要点： 性质定理3：两直线平行→同旁内角互补 判定定理3：同旁内角互补→两直线平行 易错点4：平行线性质应用的逻辑错误 常见错误：在证明过程中，循环论证或逻辑跳跃。 错误类型： 1. 循环论证：用待证的结论作为证明的前提。 2. 逻辑跳跃：缺少必要的中间步骤，直接从已知条件跳到结论。 3. 理由不当：使用错误的定理或理由。 规范要求： 1. 每一步推导都要有明确的依据 2. 使用定理时要准确写出定理内容 3. 复杂的证明要分步进行，每一步都要清晰 易错点5：平行线传递性的误用 常见错误：错误地认为"垂直于同一直线的两条直线互相平行"在任何情况下都成立。 正确理解： "垂直于同一直线的两条直线互相平行"这个结论只在同一平面内成立。在立体几何中，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能异面。 本章限制： 在本章中，我们只研究平面几何，所以可以认为"在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行"。 特别注意： 在应用这个推论时，必须明确"在同一平面内"这个前提条件。 易错点总结与应对策略 易错点 错误表现 正确做法 混淆性质与判定 用性质定理证平行，用判定定理得角 明确因果关系：已知平行→用性质；要证平行→用判定 忽略前提条件 未确认平行就使用性质定理 使用性质前必须确认"两直线平行" 理解"互补"错误 认为同旁内角总是互补 只有两直线平行时，同旁内角才互补 逻辑错误 循环论证，逻辑跳跃 每一步都要有依据，书写规范证明过程 传递性误用 忽视"在同一平面内"的前提 明确"在同一平面内"的前提条件 一、 选择题 1 .(单选)如图，在中，，为的延长线．①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一段弧于点；④过点作射线．则下列结论错误的是（      ） A. B. C. D. 【答案】 D 2 .(单选)如图所示，直线 a， b被直线 c所截．若，，则（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 3 .(单选)下列说法中正确的个数为（        ）①直线外一点到这条直线的垂线段的长度是该点到这条直线的距离；②同位角相等；③一条直线的中垂线有无数条；④两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥任意两条直线的位置关系不是相交就是平行． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 A 4 .(单选)如图，，，，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】 B 5 .(单选)如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 6 .(单选)已知与是同旁内角，，则的度数是（        ） A. B. C.或 D.不能确定 【答案】 D 7 .(单选)如图所示的是某单车车架的示意图，线段 AB， CE， DE分别为前叉、下管和立管（点 C在 AB上）， EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 8 .(单选)一个立方体木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为（      ） A. B. C. D. 【答案】 B 二、 填空题 1 .如图， ， ，求证： . 请将证明过程填写完整. 证明： （已知），                       . 又 （已知），                       .                       .            . 【答案】 两直线平行，同位角相等等量代换内错角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补 （已知）， （两直线平行，同位角相等）. 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补） 2 .将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为           ． 【答案】 或或 3 .如图， , , 则           . 【答案】 因为 ，， 根据“如果一条直线垂直于一组平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”， 所以 ， 那么 ． 4 .如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是           ． 【答案】 5 .修建一条灌溉水渠，水渠从 A村沿北偏东方向到 B村，从 B村沿北偏西方向到 C村，水渠从 C村继续沿方向修建，此时保持与的方向一致，则图中度数为          ． 【答案】 6 .如图，已知 ，点 ， 在边 上， 点 ， 在边 上， 分别沿 ， 折叠， 使点 和点 都落在点 处， 若 ， 则 的度数为           . 【答案】 ， ，， 由折痕，得到，， ， ， ， 综上，答案为． 7 . 测量地球的周长     你听说过“坐地日行八万里”吗？这句话告诉我们地球的周长大约是万里．可人们是怎么知道这个数据的呢？     大约在公元前年，古希腊人埃拉托色尼，约前前)运用一些天文知识和数学知识，就测得了地球的周长．他用的数学知识你们也知道，其中包括：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.     埃拉托色尼发现，在当时的城市塞恩(图中的点)，直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在英里以外的亚历山大(图中的点)，直立的杆子却偏离太阳光线(图中).根据这个数据，可以算出地球的周长约等于英里，这是因为“弧的长 地球周长”的缘故，其中弧的长大约为英里.     由于英里约为，所以，地球的周长约为里.     其中与的关系为           ，理由是           . 【答案】 太阳光线是平行光线， 与 是一组内错角，根据“两直线平行，内错角相等”,可以得到 （说法不唯一） 根据“两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等”的定理可得． 这一关系是埃拉托色尼计算地球周长的关键， 通过弧的长度（英里）与对应的圆心角（）， 利用“弧长与圆心角的比例等于周长与的比例”， 算出地球周长约英里（即约里）． 8 .如图，直线，，，，则的度数为           ． 【答案】 三、 解答题 1 .如图，已知直线 ， ，求 的度数. 【答案】 如图， ∵ ， ∴ . ∴ . 2 .在直角三角板 ABC中，，，直尺 DEFG的边 DG与 AB相交于点 Q． (1)如图①，直角三角板 ABC的 BC边在直线 EF上，则的度数为________，的度数为________．(2)如图②，现将直角三角板 ABC绕点 B逆时针旋转．当，且点 C恰好落在 DG边上时，①的度数为________，的度数为________；（结果用含 n的代数式表示）②若恰好是的，求 n的值．(3)如图①，现将 AB绕点 A以每秒的转速逆时针旋转，同时 CF绕点 C以每秒的转速顺时针旋转，当 CF第一次旋转回到起点时， CF， AB均停止转动，设旋转时间为 ts．请求出当 t为何值时，． 【答案】 (1)； (2)①；② n的值为30 (3)当 t的值为40或100或160时， 3 .如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：；(2)若，，求的度数． 【答案】 (1)见解析 (2) 4 .【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？【问题探究】已知的两边和的两边分别平行． （1）同学甲画出如图1所示的图形，，，通过测量，猜想，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程；（2）同学乙在探究中发现存在的情况，在图2中画出一个以点 O为顶点且满足条件的，直接写出此时和的数量关系为_______；（3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角______或______．【结论应用】已知的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是_______． 【答案】 问题探究：（1）见解析；（2）；（3）相等，互补；结论应用：平行或垂直 5 .如图，在 中，点在边上. ( 1 )在边求作点，使得 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ( 2 )在（1）的条件下，若 ， ，求 的度数. 【答案】 (1)见解析 (2) (1)如图，点 即为所求. (2)由作图可知， ， ∴ ， ∴ . 6 .如图，在中， ，是线段上一点. ( 1 )尺规作图：在内作 ，与边相交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） ( 2 )在(1)的条件下，当 时，求 的度数. 【答案】 (1)见解析 (2) (1)如图所示，即为所求. (2)因为 , ， 所以 . 所以 . 7 .如图，中，点 E在边 AC上，，，．试说明：． 【答案】 见解析 8 .如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题：①，则___________；②用等式表示、、之间的数量关系，并证明．(2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】 (1)①；②，见解析 (2) 9 .如图，已知，直线 EF分别交直线 AB， CD于点 E， F，，． (1)若，求的度数．(2)试说明： FH平分． 【答案】 (1) (2)见解析 10 .如图， ， ，求 的度数. 【答案】 如图， ∵ 和 是对顶角， ∴ . ∵ ， ∴ （两直线平行，同位角相等）. 11 .如图，点 C， F， A， D在同一条直线上，，，．试说明：． 【答案】 见解析 12 .如图1，已知， E， F分别是，上的点， P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：．(2)如图2，在，内部另作一条折线，且点 Q在直线的右侧．①若，，，求的度数，②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含 n的代数式表示） 【答案】 (1)见解析 (2)①；② 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线 平行线的性质一、知识点回顾 1. 平行线的基本性质 平行线的性质是研究两条平行直线被第三条直线所截时，形成的角之间的关系。这些性质与平行线的判定定理是互逆的。 平行线的性质定理 性质1（同位角相等）：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 性质2（内错角相等）：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 性质3（同旁内角互补）：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 平行公理的推论 推论1：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：如果a∥b，b∥c，那么a∥c。 推论2：平行于同一直线的两条直线互相平行。 推论3：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 2. 平行线的性质与判定的对比 对比项 平行线的性质 平行线的判定 已知条件 已知两直线平行 已知角的关系（相等或互补） 得出结论 得到角的关系（相等或互补） 得到两直线平行 因果关系 由"平行"→"角的关系" 由"角的关系"→"平行" 用途 计算角度大小，证明角相等或互补 证明两条直线平行 3. 平行线的传递性 平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 这一性质是平行公理的直接推论，在复杂的几何证明中经常使用。 已知：直线a∥直线c，直线b∥直线c 结论：直线a∥直线b 二、重难点讲解 重难点1：性质定理的综合应用 在复杂的几何图形中，往往需要同时运用多个平行线的性质定理，结合其他几何知识（如三角形内角和、对顶角等）解决问题。 综合应用思路 解题步骤： 1. 识别图形中的平行线，标记已知的平行关系 2. 找出被平行线所截的第三条直线（截线） 3. 根据问题需要，选择合适的性质定理 4. 结合其他几何知识（如对顶角相等、邻补角互补等）进行推导 5. 将所得角的关系进行等量代换，最终得到所求结果 重难点2：平行线性质与判定的综合运用 在复杂的几何证明中，常常需要交替使用平行线的性质和判定，这是本章的难点。 综合运用策略 基本模式： 1. 先用判定定理证明两直线平行 2. 再用性质定理得到角的关系 3. 利用得到的新角的关系，结合其他条件继续证明 关键技巧： · 思路的转换：在证明过程中，要根据需要灵活转换思路，时而是"由角证平行"，时而是"由平行得角"。 · 条件的充分利用：注意图形中隐含的条件，如对顶角、邻补角、三角形内角和等。 · 辅助线的添加：在适当的时候添加辅助线（如平行线），构造可用的平行关系。 重难点3：平行线性质的实际应用 平行线的性质不仅是理论，也有广泛的实际应用，如工程设计、测量等。 实际应用举例 1. 方位角问题：利用平行线的性质，计算方位角。 2. 道路设计：平行线性质用于设计平行道路、铁路轨道等。 3. 建筑测量：利用"两直线平行，同位角相等"的性质进行角度测量。 4. 图形绘制：在工程制图中，利用平行线性质绘制平行线。 思维拓展：平行线性质的推广 平行线的性质可以推广到更一般的情况： · 一组平行线被一组相交线所截，对应线段成比例（为相似三角形打下基础） · 平行线间的距离处处相等（为平行四边形、梯形的学习作准备） · 平行线的传递性在空间几何中仍然成立（为立体几何学习作准备） 三、易错点讲解 易错点1：混淆性质定理与判定定理 常见错误：在证明过程中，错误地使用性质定理来判定两直线平行，或错误地使用判定定理来得到角的关系。 错误分析： "两直线平行，同位角相等"是性质定理，已知平行得到角相等。 这里应该是"同位角相等，两直线平行"，这是判定定理。 正确区分： 1. 判定定理：同位角相等→两直线平行 2. 性质定理：两直线平行→同位角相等 易错点2：忽略"两直线平行"的前提条件 常见错误：在应用平行线的性质定理时，没有确认两条直线是否平行，就直接使用性质定理。 性质定理的前提条件： 平行线的性质定理必须在"已知两直线平行"的前提下才能使用。如果不知道两条直线是否平行，就不能直接使用这些性质。 易错情形： 1. 看到图形中两条直线"看起来"平行，就以为它们平行 2. 凭感觉认为两条直线应该平行，但没有经过证明 3. 在复杂图形中，错误地认为某两条直线平行 规避方法： 在使用平行线的性质定理前，必须明确写出"因为...∥..."，确认平行关系。 易错点3：对"同旁内角互补"理解错误 常见错误：认为只要两条直线被第三条直线所截，同旁内角就一定互补。 正确理解： 只有两条直线平行时，同旁内角才互补。如果两条直线不平行，同旁内角不一定互补。 反例： 两条相交直线被第三条直线所截，形成的同旁内角之和通常不等于180°。 记忆要点： 性质定理3：两直线平行→同旁内角互补 判定定理3：同旁内角互补→两直线平行 易错点4：平行线性质应用的逻辑错误 常见错误：在证明过程中，循环论证或逻辑跳跃。 错误类型： 1. 循环论证：用待证的结论作为证明的前提。 2. 逻辑跳跃：缺少必要的中间步骤，直接从已知条件跳到结论。 3. 理由不当：使用错误的定理或理由。 规范要求： 1. 每一步推导都要有明确的依据 2. 使用定理时要准确写出定理内容 3. 复杂的证明要分步进行，每一步都要清晰 易错点5：平行线传递性的误用 常见错误：错误地认为"垂直于同一直线的两条直线互相平行"在任何情况下都成立。 正确理解： "垂直于同一直线的两条直线互相平行"这个结论只在同一平面内成立。在立体几何中，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能异面。 本章限制： 在本章中，我们只研究平面几何，所以可以认为"在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行"。 特别注意： 在应用这个推论时，必须明确"在同一平面内"这个前提条件。 易错点总结与应对策略 易错点 错误表现 正确做法 混淆性质与判定 用性质定理证平行，用判定定理得角 明确因果关系：已知平行→用性质；要证平行→用判定 忽略前提条件 未确认平行就使用性质定理 使用性质前必须确认"两直线平行" 理解"互补"错误 认为同旁内角总是互补 只有两直线平行时，同旁内角才互补 逻辑错误 循环论证，逻辑跳跃 每一步都要有依据，书写规范证明过程 传递性误用 忽视"在同一平面内"的前提 明确"在同一平面内"的前提条件 一、 选择题 1 .(单选)如图，在中，，为的延长线．①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一段弧于点；④过点作射线．则下列结论错误的是（      ） A. B. C. D. 2 .(单选)如图所示，直线 a， b被直线 c所截．若，，则（        ） A. B. C. D. 3 .(单选)下列说法中正确的个数为（        ）①直线外一点到这条直线的垂线段的长度是该点到这条直线的距离；②同位角相等；③一条直线的中垂线有无数条；④两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥任意两条直线的位置关系不是相交就是平行． A.1 B.2 C.3 D.4 4 .(单选)如图，，，，则为（    ） A. B. C. D. 5 .(单选)如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（        ） A. B. C. D. 6 .(单选)已知与是同旁内角，，则的度数是（        ） A. B. C.或 D.不能确定 7 .(单选)如图所示的是某单车车架的示意图，线段 AB， CE， DE分别为前叉、下管和立管（点 C在 AB上）， EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（        ） A. B. C. D. 8 .(单选)一个立方体木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为（      ） A. B. C. D. 二、 填空题 1 .如图， ， ，求证： . 请将证明过程填写完整. 证明： （已知），                       . 又 （已知），                       .                       .            . 2 .将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为           ． 3 .如图， , , 则           . 4 .如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是           ． 5 .修建一条灌溉水渠，水渠从 A村沿北偏东方向到 B村，从 B村沿北偏西方向到 C村，水渠从 C村继续沿方向修建，此时保持与的方向一致，则图中度数为          ． 6 .如图，已知 ，点 ， 在边 上， 点 ， 在边 上， 分别沿 ， 折叠， 使点 和点 都落在点 处， 若 ， 则 的度数为           . 7 . 测量地球的周长     你听说过“坐地日行八万里”吗？这句话告诉我们地球的周长大约是万里．可人们是怎么知道这个数据的呢？     大约在公元前年，古希腊人埃拉托色尼，约前前)运用一些天文知识和数学知识，就测得了地球的周长．他用的数学知识你们也知道，其中包括：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.     埃拉托色尼发现，在当时的城市塞恩(图中的点)，直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在英里以外的亚历山大(图中的点)，直立的杆子却偏离太阳光线(图中).根据这个数据，可以算出地球的周长约等于英里，这是因为“弧的长 地球周长”的缘故，其中弧的长大约为英里.     由于英里约为，所以，地球的周长约为里.     其中与的关系为           ，理由是           . 8 .如图，直线，，，，则的度数为           ． 三、 解答题 1 .如图，已知直线 ， ，求 的度数. 2 .在直角三角板 ABC中，，，直尺 DEFG的边 DG与 AB相交于点 Q． (1)如图①，直角三角板 ABC的 BC边在直线 EF上，则的度数为________，的度数为________．(2)如图②，现将直角三角板 ABC绕点 B逆时针旋转．当，且点 C恰好落在 DG边上时，①的度数为________，的度数为________；（结果用含 n的代数式表示）②若恰好是的，求 n的值．(3)如图①，现将 AB绕点 A以每秒的转速逆时针旋转，同时 CF绕点 C以每秒的转速顺时针旋转，当 CF第一次旋转回到起点时， CF， AB均停止转动，设旋转时间为 ts．请求出当 t为何值时，． 3 .如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：；(2)若，，求的度数． 4 .【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？【问题探究】已知的两边和的两边分别平行． （1）同学甲画出如图1所示的图形，，，通过测量，猜想，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程；（2）同学乙在探究中发现存在的情况，在图2中画出一个以点 O为顶点且满足条件的，直接写出此时和的数量关系为_______；（3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角______或______．【结论应用】已知的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是_______． 5 .如图，在 中，点在边上. ( 1 )在边求作点，使得 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ( 2 )在（1）的条件下，若 ， ，求 的度数. 6 .如图，在中， ，是线段上一点. ( 1 )尺规作图：在内作 ，与边相交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） ( 2 )在(1)的条件下，当 时，求 的度数. 7 .如图，中，点 E在边 AC上，，，．试说明：． 8 .如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题：①，则___________；②用等式表示、、之间的数量关系，并证明．(2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 9 .如图，已知，直线 EF分别交直线 AB， CD于点 E， F，，． (1)若，求的度数．(2)试说明： FH平分． 10 .如图， ， ，求 的度数. 11 .如图，点 C， F， A， D在同一条直线上，，，．试说明：． 12 .如图1，已知， E， F分别是，上的点， P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：．(2)如图2，在，内部另作一条折线，且点 Q在直线的右侧．①若，，，求的度数，②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含 n的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $