精品解析：湖北宜昌市葛洲坝中学2025-2026学年高二下学期3月巩固提升数学试题

宜昌市葛洲坝中学高二年级2026年3月巩固提升 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件列方程可得，，由此判断的符号，结合等比数列性质求可得结论. 【详解】由题意可知，，， 易知，， 由等比数列的性质可知，，得， 由偶数项符号相同可知． 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为双曲线（，）的离心率为， 所以，则， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程是. 4. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由奇函数排除B选项，再由时，，可排除A选项，结合导数研究可得在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析即可求解. 【详解】由题意，关于原点对称，又为奇函数，可排除B选项； 又时，可得，可排除A选项， 当时，, 当时，，所以当时，，当时，, 所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析D不对，C选项正确. 5. 已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D 6. 已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给方程，求出圆心C和半径r，由条件分析可得圆心C到直线l的距离，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】将圆C化为标准方程可得，由得，， 则圆心，半径， 因为圆C被直线l所截得的弧长之比为， 则弧长对应的圆心角之比为，即劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为， 如图所示，设直线l与圆交于A、B两点，则， 在中，，则圆心C到直线l的距离， 又圆心到直线l的距离， 所以，解得. 7. 如图，在空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用向量表示，再利用向量模长公式结合数量积计算． 【详解】因为，，所以． 又，，， 所以，，， 所以 ， 所以．故选：A． 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误． 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 10. 下列说法正确的有（    ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知为等比数列的前项和，，，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 【答案】AD 【解析】 【详解】A：，正确. B：， ，所以，错误. C：由，错误. D：，所以，正确. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（ ） A. 满足的点P恰有两个 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点坐标，再利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可. 【详解】因为，所以焦点为， 因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为， 与抛物线C仅有一个交点，故A错误； 如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确； 如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点， 根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确； 因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，，则与方向相反的单位向量的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以， 则与方向相反的单位向量为． 13. 已知数列满足，且，则______ 【答案】1013 【解析】 【分析】利用数列递推式推出数列是常数列，求出数列的通项，即可求得答案. 【详解】由，可得，即数列是常数列， 因，则，即得，故. 故答案为：1013. 14. 已知，，对任意的都有，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】把转化成，设，通过分析函数的单调性，得到，再分离参数，转化成，设，转化为恒成立问题，求函数的最小值即可. 【详解】∵∴ 令，则 ，当时， ∴在上单调递增 ∴， 令，则，由， 所以在上单调递减，在， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是把转化成，然后设，通过分析函数的单调性，得到恒成立问题. 四、解答题（共77分） 15. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，求出的值判断出在圆的外部，分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程，求出圆心到直线切线的距离，由得到的方程，解出的值，将代入切线方程得到所求. （2）两圆相减得到公共弦所在直线的方程；求出圆心到直线的距离为，则计算得解. 【小问1详解】 ，， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. 【小问2详解】 ①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 16. 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【小问1详解】 ， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 ， ． 17. 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥. （1）证明：平面平面； （2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，判断二面角对应的平面角，求出相关点的坐标，结合线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，，故. 又因为，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，， 又，所以即为二面角的平面角，即. 则，，，. ，，， 设平面的法向量， 则，即，取 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【小问1详解】 当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． 小问2详解】 ，其中，， 时，，时，, 故上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故取值范围是． 19. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，结合代入法、，，三者之间关系进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； （ii）根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆右焦点坐标为，所以，因为椭圆过点，所以，因为， 所以解得，，所以椭圆方程. 【小问2详解】 （i）设直线与直线交于点，所以，所以，所以， 显然，直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为，，，且，， 由可得，所以，， 所以，整理可得，， 所以，解得，所以直线的方程为，所以直线过定点. （ii）由（i）可得，由， 解得，且，，所以， 代入可得，令，所以， 所以当，即，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜昌市葛洲坝中学高二年级2026年3月巩固提升 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A B. C. D. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点P在曲线上，设该曲线在点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 7. 如图，在空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是极大值点 D. 曲线在处的切线斜率为2 10. 下列说法正确的有（    ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知为等比数列的前项和，，，则. C. 已知等差数列前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（ ） A. 满足的点P恰有两个 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最大值为3 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，，则与方向相反的单位向量的坐标为_______． 13. 已知数列满足，且，则______ 14. 已知，，对任意的都有，则的取值范围是_______ 四、解答题（共77分） 15. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 16. 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 17. 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥. （1）证明：平面平面； （2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且存在，使得成立，求的取值范围． 19. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $