精品解析：陕西省渭南中学2026届高三(3月中旬)质量调研数学试题

渭南中学2026届高三第六次质量调研 数学试题 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】复数化简为，即可求解． 【详解】， 则的虚部为2， 故选：D 3. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设该圆锥的高为，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合推得，代入所求式化简计算即得. 【详解】依题意，，设该圆锥的高为，则，. 由可得，化简得， 故. 4. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式，结合同角三角函数商数关系即可求解. 【详解】因为，由正弦定理化边为角可得， 因为， 所以， 整理可得，所以，即，所以. 5. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，分析可知为等边三角形，即可得出的值. 【详解】设抛物线的准线与轴的交点为，如下图所示： 由题意可知，因为，所以， 易知，所以， 由抛物线的定义可知，故为等边三角形，故. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. 14 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过两角和余弦公式对已知式子化简变形求解即可. 【详解】因为，，则 ，， 两式相加减，得到，解得 则. 故选：A. 7. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 8. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值. 【详解】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称， 又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 现有一组数据为5，8，7，9，11，7，7，10，则正确的命题有（ ） A. 这组数据的众数为7 B. 这组数据的平均数为8.5 C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的60%分位数为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数，平均数，方差及百分位数的定义计算判断各个选项即可. 【详解】这组数据中的7出现了3次，次数最多，故众数为7，A正确； 这组数据的平均数为，B错误； 这组数据的方差，C正确； 这组数据从小到大为5，7，7，7，8，9，10，11，由，得这组数据的60%分位数为8，D正确． 10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断. 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，， 则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 11. 小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（ ） A. 若，则比赛结束时总局数可能是5 B. 若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C. 若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D. 若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可知时，比赛结束时总局数为偶数可判断A，由二项分布、相互独立事件的概率公式可判断B和C，由全概率公式分析可判断D. 【详解】选项A：若，则比赛结束时积分差的绝对值为2， 设总局数为，小明胜局，小红胜局， 则，即，所以总局数为偶数，故A错误. 选项B：若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为： ，故B正确. 选项C：若，，则在不超过5局比赛结束，有两种情况，第一种小明或小红连胜3局，概率为. 第二种小明或小红以获胜，概率为. 其中小明以获胜的概率为. 所以在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为，故C正确. 选项D：设小明在净胜局（小明胜的局数比输的局数多）前提下，继续比赛最终获胜的概率为，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，比赛结束，小明失败. 根据全概率公式可得，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜0局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 同理可得，当净胜0局时，.当净胜1局时，. 当净胜2局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明以获胜，若小明输，则小明的状态变为净胜1局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 联立，即，整理得，解得. 因为表示小明和小红积分相同，即净胜0局，所以继续比赛小明最终获胜的概率为，故D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为可得， 又，得． 因为，所以，即，解得． 13. 的展开式中含的项的系数为_____； 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的推导原理，即可求得. 【详解】因， 所以含的项为， 故含的项的系数为. 故答案为： 14. 已知直线与圆相切于点，是圆上一动点，点满足，且以为圆心，为半径的圆恰与相切，则当取最小值时，点的坐标可以为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设，根据条件，列出等式，可得点P的轨迹方程，再设，根据三角函数的定义，可得的表达式，化简整理，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】设，则，直线与圆相切于点，则， 由以为圆心，为半径的圆恰与相切， 可得， 化简可得，且. 再设，则， 则， 由于对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有最大值-2，则取得最小值， 此时或. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）使用等差中项性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证. 【小问1详解】 设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】小问1利用勾股定理的逆定理证明，然后利用两组线线垂直推导线面垂直；小问2建立空间直角坐标系后，求出两个面的法向量，然后求出平面与平面夹角的余弦值。 【小问1详解】 （1）取中点，连接，， 因为是等边三角形，又，所以，， 又，，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 若，由（1）可得，所以，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以平面的一个法向量为 设平面与平面所成的角为， 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）结合（1）可得时，有极小值，进而结合题意可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为. （i）求（用表示）； （ii）若,的面积为,的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用离心率推得，结合点在椭圆上得，解得，即得椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据斜率公式化简计算即可；（ii）利用（i）的结论结合求得，分别表示出，借助于韦达定理和基本不等式即可求得的最大值. 【小问1详解】 由题可知，，化简得， 又因为在椭圆上，则， 联立解得，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）依题意，设直线的方程为， 则联立，消去得 其中，即， 设，则. 则 ； （ii）由（i）可得，解得，即， ，且. 因，， 则 令，则， ，当且仅当，即时等号成立. 的最大值为. 19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】（1）； （2）随机变量的分布列为： ； （3）①；②当时，取得最大值. 【解析】 【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小； ②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； 【小问3详解】 ①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南中学2026届高三第六次质量调研 数学试题 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 14 C. D. 7. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 现有一组数据为5，8，7，9，11，7，7，10，则正确的命题有（ ） A. 这组数据的众数为7 B. 这组数据的平均数为8.5 C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的60%分位数为8 10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 11. 小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（ ） A. 若，则比赛结束时总局数可能是5 B. 若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C. 若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D. 若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 已知向量，满足，，，则__________. 13. 的展开式中含的项的系数为_____； 14. 已知直线与圆相切于点，是圆上一动点，点满足，且以为圆心，为半径的圆恰与相切，则当取最小值时，点的坐标可以为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且，求a的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为. （i）求（用表示）； （ii）若,的面积为,的面积为，求的最大值. 19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $