精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷

荆州中学2025～2026学年高一下学期三月月考 数 学 试 题 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角正弦的定义可得. 【详解】由题可知，， 所以，解得. 故选：C. 3. 在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理将题干条件转化为，再次用余弦定理推出，进而得解. 【详解】由余弦定理，，则， 整理可得，则， 结合是三角形的内角，则， 即是钝角三角形. 4. 已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 5. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学生的体重. 【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反 两只胳膊的拉力的合力大小为 则该学生的体重约为（kg） 故选：B 6. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式和诱导公式，化简函数解析式，判断函数周期. 【详解】. 则函数最小正周期为. 故选：C. 7. 在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹. 【详解】设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心， 故选：C. 8. 若函数恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数与复合函数的性质结合零点存在性定理得到在上有1个零点，进而推出当时，有个零点，再结合正弦函数性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意得，当时，， 结合对数函数与复合函数性质可得在上单调递减， 则在上单调递增， 由一次函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增， 而，，可得， 由零点存在性定理得存在作为零点， 当时，， 令，解得， 而，解得， 因为函数恰有3个零点，所以当时，有个零点， 则具有两个符合题意的，当时，，符合题意， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上可得，即正实数的取值范围是，故A正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC． 10. 已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ） A. 若该扇形的半径为1，则其面积为2 B. 该扇形面积的最大值为1 C. 当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，应用基本不等式计算判断选项D. 【详解】由题意知：，，， 对于选项A：当时，，可得，故选项A不正确； 对于选项B、C：，当时取等，该扇形面积的最大值为1，此时，，故选项B、C正确； 对于选项D： 当且仅当时，取最小值为，故选项D正确． 故选：BCD 11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（    ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A用表示，代入数量积公式；选项B用表示，代入数量积公式；选项C由求出，代入模长公式计算；选项D根据欧拉线定理得到. 【详解】因为是的重心，， 又， ，选项A正确； 因为是的外心， ，， ， 选项B错误； 若，， 可得， ， 则，选项C正确； 根据已知条件，，即， ， 所以，选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为_________ 【答案】16 【解析】 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：16 13. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，可得，然后利用齐次式即可求值； （2）根据向量夹角为锐角，可得数量积小于0且不共线，代入坐标计算即可. 【小问1详解】 因为，，且，所以. 因为，所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，又， 所以，. 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得 又，即， 所以的取值范围是. 16. 已知向量. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数a取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换和辅助角公式化简，求出单调区间； （2）转化为两函数图象交点个数问题，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由题可得， ， 令，， 解得，， 故单调递增区间为，； 【小问2详解】 由题意，函数在有两个不同零点， 令，则在有两个不同的解，故， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故，则，即. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求A； （2）点是边上一点，，且，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理角化边结合多项式因式分解运算从而得的等式关系，再由余弦定理得角A即可；或者利用正弦定理边化角，结合和差公式与角度关系化简从而得角A的大小； （2）根据平面向量线性运算可得两边取平方再结合余弦定理化简可得关系，从而得的值． 【小问1详解】 方法一：由和余弦定理， 可得：， 展开得， 即， 所以，即， 所以，即， 所以，则，即， 由余弦定理，， 因为，所以； 方法二：因为， 由正弦定理可知：， 所以，即， 因为，， 则有或(此情况在三角形中不能成立)， 故， 由，可得． 【小问2详解】 由，可得，即， 两边取平方：，即， 依题意，，即， 两边同时除以可得：， 或， 因，则． 18. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）﹒ 【解析】 【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【小问1详解】 直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； 【小问2详解】 ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 19. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解； （2）①设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，从而得解； ②设，利用向量的线性运算得到，从而将转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域，由此得解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 ①. 设，又，所以， 则 所以 ， 因为，则， 所以，则 故； ②设， 则， 所以，由得， 即，整理得， 所以， 所以. 所以. 令， ， ，令， 则， 因为， 则，即， 所以在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025～2026学年高一下学期三月月考 数 学 试 题 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（ ） A B. C. D. 3. 在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 4. 已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 或 5. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，) A. B. C. D. 6. 函数最小正周期为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，设，那么动点M轨迹必通过△ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 8. 若函数恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 10. 已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ） A. 若该扇形的半径为1，则其面积为2 B. 该扇形面积最大值为1 C. 当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D. 的最小值为 11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（    ） A. B. C. 若，则 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为_________ 13. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________. 14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和夹角为锐角，求的取值范围. 16. 已知向量. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求A； （2）点是边上一点，，且，若，求的值． 18. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 19. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $