江苏无锡市锡山区张泾中学2024-2025学年下学期九年级期中数学试卷

江苏省无锡市锡山区张泾中学2024-2025学年下学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.） 1．（3分）的倒数是（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥0 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣2x）2＝4x2 B．a8÷a4＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a2b﹣a2b＝2 4．（3分）下列事件是确定事件的是（　　） A．打开手机正好显示8点 B．抛掷正方体骰子一次出现4点 C．明天会下雨 D．任意画一个三角形，它内角和等于180° 5．（3分）已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 6．（3分）把抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位可得抛物线是（　　） A．y＝x2+3 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝x2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣1 7．（3分）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（　　） A． B． C．7x+6＝8（x﹣1） D．7x﹣6＝8x﹣1 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，E、F分别是AB、BC上的动点，连接DF、EF，M、N分别为DF、EF的中点，则MN的最小值是（　　） A． B． C．1 D．2 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B满足OB＝2BE，DE与BC交于点F．若反比例图象经过点C，且△BEF的面积为1．则k的值为（　　） A．52 B．60 C．75 D．90 10．（3分）定义在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足nx﹣y＝n，n为正整数，则称点P为该函数的“n倍值点”． ①点（3，4）是一次函数y＝x+1的“2倍值点”； ②若二次函数y＝x2+bx+2存在唯一的“2倍值点”，则b＝﹣2； ③反比例函数，总存在两个关于原点对称的“n倍值点”； ④若函数y＝﹣x+2n+3的“n倍点”在以点（﹣2，﹣3）为圆心，2n为半径的圆内部，则n为不小于3的所有整数． 上述说法正确的有（　　） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 11．（3分）去年2024年江苏省无锡市以21.69万元的人均GDP高居全国第二，仅次于北京，则216900用科学记数法表示为 　 　 ． 12．（3分）分解因式：m2﹣4n2＝　 　 ． 13．（3分）计算的结果为　 　 ． 14．（3分）△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AB边上的中线长为 　 　 ． 15．（3分）请写出一个函数表达式：　 　 ，使得该函数图象关于原点对称，并经过点（1，2）． 16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝24°，则∠ACB＝ 　 　 °． 17．（3分）如图，在4×3的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点E，则sin∠BED的值是 　 　 ． 18．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是对角线BD上一点（不与B、D重合），连接AE，过点E作AE的垂线，交BC边于点F，则＝ 　 　 ；若DE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数关系式为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分.） 19．（8分）计算： （1）（﹣2）2﹣2tan45°+（π﹣2025）0； （2）（2m﹣n）2﹣m（4m﹣3n）． 20．（8分）（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0； （2）解不等式组：． 21．（10分）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝62°，求∠ACE的度数． 22．（10分）为了解同学们对今年的社会实践活动景点的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的活动景点”的问卷调查，A．惠山古镇、锡惠公园；B．南长街、南禅寺；C．灵山胜景、拈花湾；D．鼋头渚、蠡园；E．水浒、三国影视城．调查结果统计图部分如图所示： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为　 　 名，选择“B南长街、南禅寺”活动景点所对应的扇形圆心角的度数是　 　 ； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）若该校七年级一共有1800名学生，（画图并标注相应数据）选择“鼋头渚、蠡园”活动景点的学生有多少名？ 23．（10分）春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是 　 　 ； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 24．（10分）如图，已知△ABC． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D使得∠ADC＝2∠ABC，再作出△ABD的内切圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）条件下，若AB＝16，，则⊙O的半径为 　 　 ． 25．（10分）如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，分别与AC、BC相交于点D、E，连接AE、BD交于点F，且DE平分∠BDC． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝6，BE＝8，当DE＝EF时，求的值． 26．（10分）高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中y2＝﹣x+40． 时间x 7时 10时 13时 16时 19时 第2车道车流量y1（辆/分钟） 18 24 30 36 42 第5车道车流量y2（辆/分钟） 33 30 27 24 21 （1）y1与x的函数表达式为 　 　 ； （2）在12时，通过计算判断y1与y2的大小关系； （3）如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为m＝y1+y2，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 27．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB边上的一个动点，连接DE，过点E作DE的垂线交BC于点F，以EF为斜边作等腰直角三角形EFG（点G在EF上方）． （1）若AE＝2，求GE的长； （2）当点E从点A运动到点B的过程中，求△EFB的外接圆的圆心到AB边距离的最大值； （3）当点E从点A运动到点B时，则点G经过的路径长为 　 　 ． 28．（10分）已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当∠PCA＝∠ACD时，求点P的坐标； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 江苏省无锡市锡山区张泾中学2024-2025学年下学期九年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D B C C A B A 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.） 1．（3分）的倒数是（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【解答】解：的倒数是﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥0 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解不等式可得答案． 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣2x）2＝4x2 B．a8÷a4＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a2b﹣a2b＝2 【分析】利用完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂除法法则逐项判断即可． 【解答】解：（﹣2x）2＝4x2，则A符合题意， a8÷a4＝a4，则B不符合题意， （a+b）2＝a2+2ab+b2，则C不符合题意， 2a2b﹣a2b＝a2b，则D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（3分）下列事件是确定事件的是（　　） A．打开手机正好显示8点 B．抛掷正方体骰子一次出现4点 C．明天会下雨 D．任意画一个三角形，它内角和等于180° 【分析】根据确定事件，不确定事件的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、打开手机正好显示8点，是不确定事件，故A不符合题意； B、抛掷正方体骰子一次出现4点，是不确定事件，故B不符合题意； C、明天会下雨，是不确定事件，故C不符合题意； D、任意画一个三角形，它内角和等于180°，是确定事件，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握确定事件，不确定事件的特点是解题的关键． 5．（3分）已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 【分析】根据圆锥的侧面积公式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为圆锥的底面圆半径为2，母线长为3， 所以圆锥的侧面积为π×2×3＝6π． 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键． 6．（3分）把抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位可得抛物线是（　　） A．y＝x2+3 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝x2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣1 【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 把抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位可得抛物线的解析式为y＝x2﹣1+3＝x2+2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键． 7．（3分）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（　　） A． B． C．7x+6＝8（x﹣1） D．7x﹣6＝8x﹣1 【分析】根据“如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房”，结合客人人数不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：7x+6＝8（x﹣1）． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，E、F分别是AB、BC上的动点，连接DF、EF，M、N分别为DF、EF的中点，则MN的最小值是（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】连接DE，过点D作DG⊥AB于点G，证明MN是△DEF的中位线，得MN＝DE，当DE最小时，MN最小，此时点E与点G重合，即MN的最小值为DG的长，再由菱形的性质得AD＝AB＝4，进而由直角三角形的性质得AG＝AD＝2，然后由勾股定理求出DG＝2，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接DE，过点D作DG⊥AB于点G， ∵M、N分别为DF、EF的中点， ∴MN是△DEF的中位线， ∴MN＝DE， ∴当DE最小时，MN最小， 此时点E与点G重合，即MN的最小值为DG的长， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝4， ∴∠DAG＝90°﹣∠A＝30°， ∴AG＝AD＝2， ∴DG＝＝＝2， ∴MN的最小值为DG＝， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B满足OB＝2BE，DE与BC交于点F．若反比例图象经过点C，且△BEF的面积为1．则k的值为（　　） A．52 B．60 C．75 D．90 【分析】作FG⊥BE，延长GF交CD于点H，设A（﹣3a，0），D（0，6b），由翻折的性质得：△ADO≌△EDO，根据全等三角形性质得OA＝OE，结合题意可得E（3a，0），B（2a，0），由平行四边形性质得，AE∥CD，AB＝CD＝5a，C（5a，6b），根据相似三角形判定和性质得，即可求出△CDF的面积从而得FG＝b，由三角形面积公式得，即ab＝2，将点C坐标代入反比例函数解析式即可求得k值． 【解答】解：作FG⊥BE，延长GF交CD于点H，如图，设A（﹣3a，0），D（0，6b）， 由条件可知FH⊥CD， 依题意可得：△ADO≌△EDO， ∴E（3a，0）， ∵OB＝2BE， ∴B（2a，0）， ∴BE＝a， ∵AE∥CD，AB＝CD＝5a，C（5a，6b）， ∴△BEF∽△CDF， ∴， ∴＝（）2＝， ∵△BEF的面积为1， ∴S△CDF＝25， 又∵D（0，6b）， ∴OD＝6b， ∴FG＝b， 又∵S△BEF＝＝1， ∴， ∴ab＝2， ∴k＝5a×6b＝30ab＝60． 故选：B． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，相似三角形判定和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（3分）定义在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足nx﹣y＝n，n为正整数，则称点P为该函数的“n倍值点”． ①点（3，4）是一次函数y＝x+1的“2倍值点”； ②若二次函数y＝x2+bx+2存在唯一的“2倍值点”，则b＝﹣2； ③反比例函数，总存在两个关于原点对称的“n倍值点”； ④若函数y＝﹣x+2n+3的“n倍点”在以点（﹣2，﹣3）为圆心，2n为半径的圆内部，则n为不小于3的所有整数． 上述说法正确的有（　　） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【分析】依据题意，根据“n倍值点”的定义逐个判断分析可以得解． 【解答】解：对于①，由题意，∵nx﹣y＝n，n为正整数，点P为该函数的“n倍值点”， ∴y＝n（x﹣1）． 又∵2（3﹣1）＝4， ∴点（3，4）是一次函数y＝x+1的“2倍值点”，故①正确． 对于②，由题意，∵“2倍值点”的n＝2， ∴y＝2（x﹣1）． 联立方程组， ∴x2+（b﹣2）x+4＝0． ∵二次函数y＝x2+bx+2存在唯一的“2倍值点”， ∴Δ＝（b﹣2）2﹣16＝0． ∴b＝6或﹣2，②错误． 对于③，联立方程组， ∴＝n（x﹣1）． ∴nx2﹣nx﹣4＝0． ∵n为正整数， ∴Δ＝n2+16n＞0． ∴反比例函数总存在两个的“n倍值点”． 设其中一点为（x1，），另一个点为（x2，）， ∴x1+x2＝1≠0． ∴这两个“n倍值点”不关于原点对称，故③错误． 对于④，联立方程组， ∴． ∴函数y＝﹣x+2n+3的“n倍点”为（3，2n）． ∴点（3，2n）与点（﹣2，﹣3）的距离为． 又∵当（3+2）2+（2n+3）2≤（2n）2时， ∴12n+34≤0． 又n为正整数， ∴不合题意，故④错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 11．（3分）去年2024年江苏省无锡市以21.69万元的人均GDP高居全国第二，仅次于北京，则216900用科学记数法表示为 　2.169×105 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：216900＝2.169×105． 故答案为：2.169×105． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（3分）分解因式：m2﹣4n2＝　（m+2n）（m﹣2n）　 ． 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．此题可用平方差公式分解． 【解答】解：m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n）． 【点评】本题考查用平方差公式法进行因式分解，能用平方差公式法进行因式分解的式子的特点需熟记． 13．（3分）计算的结果为　1　 ． 【分析】根据同分母分式加减法的运算法则进行计算，即可求出答案． 【解答】解：原式＝＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了同分母分式的加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减的运算法则． 14．（3分）△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AB边上的中线长为 　5　 ． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，进而可得出结论． 【解答】解：∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，62+82＝102， ∴△ABC是直角三角形，且AB为斜边， ∴AB边上的中线长为AB＝×10＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 15．（3分）请写出一个函数表达式：y＝2x（答案不唯一）　 ，使得该函数图象关于原点对称，并经过点（1，2）． 【分析】设一次函数的解析式为y＝kx（k≠0），（1，2）代入求出k的值即可． 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx（k≠0）， ∵该函数图象经过点（1，2）， ∴2＝k， ∴此函数的解析式为y＝2x． 故答案为：y＝2x（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，正比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一． 16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝24°，则∠ACB＝ 　66　 °． 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABO，根据三角形内角和定理求出∠AOB，再根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵OA＝OB，∠BAO＝24°， ∴∠ABO＝∠BAO＝24°， ∴∠AOB＝180°﹣24°×2＝132°， 由圆周角定理得：∠ACB＝∠AOB＝66°， 故答案为：66． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 17．（3分）如图，在4×3的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点E，则sin∠BED的值是 　　 ． 【分析】连接DF，CF，过点F作FG⊥CD，垂足为G，先利用勾股定理求出CD和DF的长，再利用面积法求出FG的长，然后在Rt△DFG中，利用锐角三角函数的定义求出in∠FDG的值，最后根据题意可得：AB∥FD，从而可得∠BED＝∠FDG，即可解答． 【解答】解：如图：连接DF，CF，过点F作FG⊥CD，垂足为G， 由题意得：CD＝＝， DF＝＝， △DCF的面积＝3×3﹣×3×2﹣×2×1﹣×3××1 ＝9﹣3﹣1﹣ ＝， ∴CD•FG＝， FG＝7， FG＝， 在Rt△DFG中，sin∠FDG＝＝＝， 由题意得：AB∥FD， ∴∠BED＝∠FDG， ∴sin∠BED＝sin∠FDG＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是对角线BD上一点（不与B、D重合），连接AE，过点E作AE的垂线，交BC边于点F，则＝ 　　 ；若DE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数关系式为 　　 ． 【分析】过点E作EG⊥AD于G，延长GE交BC于H，可证明四边形ABHG是矩形，得到，BG＝AB＝4，∠GHB＝90°，GH∥AB，则可证明△DEG∽△DBA，得到；设DG＝3a，GE＝4a，则EH＝4﹣4a，BH＝AG＝3﹣3a，DE＝5a＝x，即；证明△AGE∽△EHF，可得，则，，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【解答】解：如图所示，过点E作EG⊥AD于G，延长GE交BC于H， ∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC， ∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝3，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴AG＝BH，BG＝AB＝4，∠GHB＝90°，GH∥AB， ∴△DEG∽△DBA， ∴， ∴， 设DG＝3a，GE＝4a，则EH＝GH﹣GE＝4﹣4a，BH＝AG＝3﹣3a， ∴， ∴， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝∠EHF＝∠AGE＝90°， ∴∠GAE+∠GEA＝∠GAE+∠HEF＝90°， ∴∠GAE＝∠HEF， ∴△AGE∽△EHF， ∴， ∴， ∴BF＝BH﹣HF＝3﹣3a﹣a＝3﹣a， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分.） 19．（8分）计算： （1）（﹣2）2﹣2tan45°+（π﹣2025）0； （2）（2m﹣n）2﹣m（4m﹣3n）． 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，特殊锐角三角函数值，零指数幂计算后再算加减即可； （2）利用完全平方公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝4﹣2×1+1 ＝4﹣2+1 ＝2+1 ＝3； （2）原式＝4m2﹣4mn+n2﹣（4m2﹣3mn） ＝4m2﹣4mn+n2﹣4m2+3mn ＝n2﹣mn． 【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（8分）（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0； （2）解不等式组：． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0， （x﹣1）（2x+1）＝0， 则x﹣1＝0或2x+1＝0， 所以． （2）， 解不等式①得，x＞﹣1； 解不等式②得，x≤2， 所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元一次不等式组，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 21．（10分）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝62°，求∠ACE的度数． 【分析】（1）依据“SAS”判定△ABC和△ADE即可； （2）根据（1）的结论得∠BAC＝∠DAE＝62°，AC＝AE，进而得∠ACE＝∠AEC，然后在△ACE中，由三角形内角和定理即可得出∠ACE的度数． 【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， （2）解：∵∠BAC＝62°， 由（1）得：△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE＝62°，AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC， 在△ACE中，∠ACE+∠AEC+∠DAE＝180°， ∴2∠ACE+62°＝180°， ∴∠ACE＝59°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 22．（10分）为了解同学们对今年的社会实践活动景点的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的活动景点”的问卷调查，A．惠山古镇、锡惠公园；B．南长街、南禅寺；C．灵山胜景、拈花湾；D．鼋头渚、蠡园；E．水浒、三国影视城．调查结果统计图部分如图所示： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为　40　 名，选择“B南长街、南禅寺”活动景点所对应的扇形圆心角的度数是　126°　 ； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）若该校七年级一共有1800名学生，（画图并标注相应数据）选择“鼋头渚、蠡园”活动景点的学生有多少名？ 【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，用360°乘以B类所占的百分比即可得出答案； （2）用总人数减去其它景点的人数求出D的人数，从而补全统条形统计图； （3）用七年级的总人数乘以D的学生所占的百分比即可． 【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为：8÷20%＝40（名）， 选择“B南长街、南禅寺”活动景点所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝126°； 故答案为：40，126°； （2）选择“D．鼋头渚、蠡园”活动景点的人数为40﹣8﹣14﹣4﹣6＝8（人）， 补全条形统计图如下： （3）1800×＝360（名）， 答：估计选择“鼋头渚、蠡园”活动景点的学生有360名． 【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．（10分）春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是 　　 ； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【分析】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种， ∴卡片人物恰好是哪吒的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： C D E A （A，C） （A，D） （A，E） B （B，C） （B，D） （B，E） 共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：（A，E），共1种， ∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 24．（10分）如图，已知△ABC． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D使得∠ADC＝2∠ABC，再作出△ABD的内切圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）条件下，若AB＝16，，则⊙O的半径为 　　 ． 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，再作∠ABC的平分线，交直线DE于点O，以点O为圆心，OE的长为半径画圆，则点D和点O即为所求． （2）设⊙O与BC相交于点F，连接OF，由（1）可得，OF⊥BD，DE垂直平分AB，可得OE⊥AB，BE＝＝8，由锐角三角形的定义可得DE＝6，可得BD＝＝10．证明△ODF∽△BDE，可得，设⊙O的半径为x，则OE＝OF＝x，OD＝6﹣x，代入求出x的值即可． 【解答】解：（1）如图1，作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，再作∠ABC的平分线，交直线DE于点O，以点O为圆心，OE的长为半径画圆， 则点D和点O即为所求． （2）如图，设⊙O与BC相交于点F，连接OF， 由（1）可得，OF⊥BD，DE垂直平分AB， ∴OE⊥AB，BE＝＝8， ∵， ∴， ∴DE＝6， ∴BD＝＝＝10． 设⊙O的半径为x，则OE＝OF＝x，OD＝6﹣x， ∵∠OFD＝∠BED，∠ODF＝∠BDE， ∴△ODF∽△BDE， ∴， 即， 解得x＝， ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．（10分）如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，分别与AC、BC相交于点D、E，连接AE、BD交于点F，且DE平分∠BDC． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝6，BE＝8，当DE＝EF时，求的值． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠ABE+∠ADE＝180°，则可证明∠CDE＝∠ABE，然后证明∠BAE＝∠ABE，从而得到结论； （2）先证明∠AFB＝∠ABE，则可判断△ABF∽△AEB，利用相似三角形的性质可计算出AF＝，则EF＝，然后证明△CDE∽△CBA，然后利用相似比得＝＝． 【解答】（1）证明：∵∠ABE+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABE， ∵DE平分∠BDC， ∴∠CDE＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠BAE， ∴∠CDE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠ABE， ∴AE＝BE； （2）解：∵BE＝8， ∴AE＝8， ∵DE＝EF， ∴∠EDF＝∠EFD， ∵∠AFB＝∠EFD，∠DEF＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠AFB， ∵∠BAF＝∠ABE， ∴∠AFB＝∠ABE， ∵∠BAF＝∠EAB， ∴△ABF∽△AEB， ∴AF：AB＝AB：AE， 即AF：6＝6：8， 解得AF＝， ∴EF＝AE﹣AF＝8﹣＝， ∵∠CDE＝∠CBA，∠DCE＝∠BCA， ∴△CDE∽△CBA， ∴＝＝＝． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了圆周角定理． 26．（10分）高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中y2＝﹣x+40． 时间x 7时 10时 13时 16时 19时 第2车道车流量y1（辆/分钟） 18 24 30 36 42 第5车道车流量y2（辆/分钟） 33 30 27 24 21 （1）y1与x的函数表达式为 y1＝2x+6　 ； （2）在12时，通过计算判断y1与y2的大小关系； （3）如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为m＝y1+y2，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当x＝12时，y1＝28，y2＝28即可得出结论； （3）当2x+4＞﹣x+40时，x＞12，再结合（2）中的结果，可得当7≤x＜12时，n＝﹣x+40；当12＜x≤19时，n＝2x+4．m＝y1+y2＝x+44，当时，x≥16；当时，x≤8.5，求出对应x的取值范围即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y1＝kx+b， 由题意可得， 解得：， ∴y1与x的函数解析式为y1＝2x+4， 故答案为：y1＝2x+4； （2）当x＝12时， y1＝2×12+4＝28，y2＝﹣12+40＝28， ∴y1与y2的大小关系为y1＝y2； （3）当2x+4＝﹣x+40时，x＞12， ∴当7≤x＜12时，n＝﹣x+40； 当12＜x≤19时，n＝2x+4， m＝y1+y2＝x+44， 当2x+4≥（x+44）时，x≥16； 当时，x≤8.5， 7时到8：30时，第2车道的方向设置为直行； 16时到19时，第5车道的方向设置为左转． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用．待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 27．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB边上的一个动点，连接DE，过点E作DE的垂线交BC于点F，以EF为斜边作等腰直角三角形EFG（点G在EF上方）． （1）若AE＝2，求GE的长； （2）当点E从点A运动到点B的过程中，求△EFB的外接圆的圆心到AB边距离的最大值； （3）当点E从点A运动到点B时，则点G经过的路径长为 　　 ． 【分析】（1）利用矩形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）设△EFB的外接圆的圆心为O，过点O作OH⊥AB于点H，则OH为△BEF的中位线，OH＝，设AE＝x，则BE＝8﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得DF，利用二次函数的性质得到DF的最大值，则结论可求； （3）过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，连接BG，利用全等三角形的判定与性质得到GM＝GN，EM＝NF，则四边形GNBN为正方形，可得点G在∠AB的平分线上运动；当点E与点A重合时，点G在G1位置，此时的点G1为运动的起点，当点E到达终点B时，点F，G在点B处，当点E从点A运动到点B时，当BM最大时线段BG的长，BG＝BM；设AE＝x，则BE＝8﹣x，BF＝﹣+，设BM＝BN＝a，则EM＝BE﹣BM＝8﹣x﹣a，NF＝BN﹣BF＝a﹣（﹣+）＝+a，利用EM＝FN，得到a为x二次函数解析式，利用二次函数的性质解答得出BG的最大值．由此可知：当0≤AE≤1时，点G的运动距离为﹣4，当1＜AE≤8时，点G的运动距离为，则点G经过的路径长为﹣4+＝． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥EF， ∴∠AED+∠FEB＝90°， ∴∠ADE＝∠FEB． ∵AE＝2，AB＝8，AD＝6， ∴BE＝6＝AD， 在△ADE和△BEF中， ， ∴△ADE≌△BEF（ASA）， ∴AE＝BF＝2， ∴EF＝＝2． ∵△EFG为等腰直角三角形， ∴GE＝； （2）∵∠B＝90°， ∴△EFB的外接圆的圆心Z在斜边EF的中点处． 设△EFB的外接圆的圆心为O，过点O作OH⊥AB于点H，如图， ∵OH⊥AB，FB⊥AB， ∴OH∥FB， ∵OE＝OF， ∴OH为△BEF的中位线， ∴OH＝． 设AE＝x，则BE＝8﹣x， 由（1）知：∠ADE＝∠FEB，∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE∽△BEF， ∴， ∴， ∴BF＝﹣+＝﹣， ∵﹣＜0， ∴当AE＝4时，DF有最大值为． ∴OH的最大值为DF＝． ∴△EFB的外接圆的圆心到AB边距离的最大值为． （3）过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，连接BG，如图， ∵GM⊥AB，GN⊥BC，∠B＝90°， ∴四边形GNBN为矩形，∠MGN＝90°， ∵△EFG为等腰直角三角形， ∴∠EGF＝90°，GE＝GF， ∴∠EGF＝∠MGN＝90°， ∴∠EGM＝∠FGN， 在△EGM和△FGN中， ， ∴△EGM≌△FGN（AAS）， ∴GM＝GN，EM＝NF， ∴四边形GNBN为正方形， ∴∠MBG＝∠NBG＝45°， ∴点G在∠ABC的平分线上运动， 当点E与点A重合时，如图， 此时AG1＝BG1＝AB＝4，此时的点G1为运动的起点，当点E到达终点B时，点F，G在点B处， 当点E从点A运动到点B时，如图，则BG＝BM， 由（1）知：设AE＝x，则BE＝8﹣x，BF＝﹣+， 设BM＝BN＝a，则EM＝BE﹣BM＝8﹣x﹣a，NF＝BN﹣BF＝a﹣（﹣+）＝+a， ∴8﹣x﹣a＝+a， ∴a＝﹣+4＝﹣， ∴a的最大值为， ∴BG的最大值＝． 由此可知：当0≤AE≤1时，点G的运动距离为﹣4， 当1＜AE≤8时，点G的运动距离为． ∴点G经过的路径长为﹣4+＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形点P的与性质，正方形的判定与性质，三角形的中位线，直角三角形的外接圆的性质，条件适当的辅助线构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． 28．（10分）已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当∠PCA＝∠ACD时，求点P的坐标； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据对称轴公式x＝﹣可得a＝﹣1，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得c＝3，即可解答； （2）分两种情况：①点P在AC的下方时，先利用待定系数法可得CD的解析式，联立抛物线和直线CD的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在AC的上方时，证明∠OCD＝∠AEC，可得tan∠OCD＝tan∠AEC，即可解答； （3）设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），分三种情况：①如图3，过点P作PF⊥x轴于F，则∠AFP＝90°，②如图4，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGC＝90°，③如图5，∠APC＝90°，即可解答． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c，对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+c， 将点B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c中得： ﹣1﹣2+c＝0， ∴c＝3， ∴这个二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）分两种情况： ①点P在AC的下方时，如图1， ∵D（1，0），C（0，3）， 设DC的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴DC的解析式为：y＝﹣3x+3， ∴﹣x2+2x+3＝﹣3x+3， 解得：x1＝0（舍），x2＝5， ∴点P的坐标为（5，﹣12）； ②点P在AC的上方时，如图2，设直线CP交x轴于E， ∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， ∵∠ACO＝∠ACD+∠OCD，∠CAO＝∠ACP+∠AEC，∠ACD＝∠ACP， ∴∠OCD＝∠AEC， ∴tan∠OCD＝tan∠AEC， ∴＝， ∴＝， ∴OE＝9， ∵E（9，0）， 易得CE的解析式为：y＝﹣x+3， ∴﹣x2+2x+3＝﹣x+3， ∴3x2﹣7x＝0， x（3x﹣7）＝0， ∴x1＝0，x2＝， ∴点P的坐标为（，）； 综上，点P的坐标为（5，﹣12）或（，）； （3）设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， 分三种情况： ①如图3，过点P作PF⊥x轴于F，则∠AFP＝90°， ∵四边形ACQP是矩形， ∴∠CAP＝90°， ∵∠CAO＝45°， ∴∠PAF＝45°， ∴△AFP是等腰直角三角形， ∴AF＝FP， ∴3﹣t＝t2﹣2t﹣3， ∴t1＝3，t2＝﹣2， ∴点P的横坐标为﹣2， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴点Q的横坐标为﹣5； ②如图4，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGC＝90°， ∵四边形ACPQ是矩形， ∴∠ACP＝90°， ∵∠ACO＝45°， ∴∠PCG＝45°， ∴△PCG是等腰直角三角形， ∴PG＝CG， ∴t＝﹣t2+2t+3﹣3， ∴t＝0或1， ∴点P的横坐标为1， ∴点Q的横坐标为4； ③如图5，∠APC＝90°， ∴CP2+AP2＝AC2， ∴t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2+（t﹣3）2+（﹣t2+2t+3﹣0）2＝（3）2， ∴t4﹣4t3+2t2+3t＝0， ∵t≠0， ∴t3﹣4t2+2t+3＝0， ∴（t﹣3）（t2﹣t﹣1）＝0， ∴t1＝3（舍），t2＝，t3＝， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是﹣5或4或或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $