精品解析：福建省厦门市同安第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

同安一中2024-2025学年下学期第一次月考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率公式计算可得； 【详解】解：因为，， 所以，即函数在区间上的平均变化率为； 故选：C 2. 设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A. 6 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和与通项公式即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得， 则. 故选：D 3. 若圆的圆心为，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为圆， 所以圆心的坐标为 则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 5. 现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】设3家养老院的编号依次为1、2、3，首先安排1号养老院，有（种）， 再安排2号养老院，有（种），最后安排3号养老院，有（种）， 根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法（种）. 故选：C 6. 已知直线与双曲线（，）的左，右两支分别交于A，B两点，F是双曲线C的左焦点，且，则双曲线C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，根据线段关系可得直角三角形，则可利用焦距表示焦半径，根据双曲线的定义，建立方程，可得答案. 【详解】如图，因为直线的斜率为，所以.因为， 所以，所以为等边三角形，， 所以，，. 设双曲线的右焦点为，连接.由对称性可知. 由双曲线的定义可得，即，则. 故选：B. 7. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示： 由函数图象可得. 故选：A. 8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【详解】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，由多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此得解. 【详解】根据导函数图象可知，当时，，在时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 所以是函数的极小值点，故A正确； ∵在上单调递增， ∴不是函数的最小值点，故B错误； ∵函数在处的导数大于0， ∴切线的斜率大于零，故D错误． 故选：AC. 10. 如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（   ） A. 当为靠近D的三等分点时，异面直线与所成角的余弦值为 B. 存在点G，使得平面CEF C. 点B到平面CEF的距离是 D. 过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，根据向量法逐个证明计算即可. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 且，，分别是棱，的中点， 则各点坐标为：，，，. 设，.  对于选项A，当为靠近的三等分点时，，即.则，. 设异面直线与所成角为，. .. 所以，选项A正确.  对于选项B，，，设平面的法向量为. 则，即，令，则，，所以. ，若平面，则与平行，但，则不存在点，使得平面，选项B错误.  对于选项C，由上述已得平面的法向量，. 根据点到平面的距离公式. .. 所以，选项C正确.  对于选项D，长方体的体对角线长为，则长方体外接球的半径，球心为长方体体对角线的中点，坐标为. ，. 当截面（为截面圆心）时，截面面积最小，此时为球心到直线的距离. 设方向上的单位向量为. 则，，，. 所以截面半径. 截面面积，选项D正确.  故选：ACD. 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数存在唯一极值点，且 B. 令，则函数无零点 C. 若恒成立，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由在上单调递增，又，，即可判断A；由导数判断出恒大于0，恒大于0，即可判断B；由的值域即可判断C；由的单调性即可判断D. 【详解】对于A：，显然在上单调递增，又，， 所以，使得，故A正确； 对于B：由A得，，使得，即，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以恒大于0； 所以要研究函数的零点，只需研究函数的零点. 由，令，， ，当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，即，即在单调递增， 又时，，所以， 由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确； 对于C：由B得，由恒成立，得在恒成立， 所以，即，故错误； 对于D：因为在单调递增，又，，则， 所以，即， 整理得， 不等式两边同除以得，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙相互独立地任选一个出站口出站，则共有_____________种出站方法． 【答案】64 【解析】 【详解】每位乘客都有4种出站选择，根据分步乘法计数原理可得共有种出站方法． 13. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出的表达式，并利用基本不等式求出其最小值. 【详解】如下图示： 易知焦点，设，且 当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知，此时； 当直线斜率存在时，可设直线方程为，显然， 联立直线和抛物线方程，消去整理可得， 利用韦达定理可知， 又利用焦半径公式可知， 所以可得， 当且仅当，即时，等号成立； 综上可得，的最小值是. 故答案为： 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若的极小值小于零，则的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：求导，利用导数有两个正根可得，求解即可；空2：利用空1，可得函数的单调性，可得时，函数取得极小值，由已知计算可得，根据可求结论. 【详解】空1：函数的定义域为 求导得，令，可得， 因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根， 设两根分别为且，所以可得，解得， 所以的取值范围为； 空2：由（1）可得时，，当时，， 当时，，所以时，函数取得极小值， 所以且，即， 极小值，所以， 令，求导可得， 所以在上为减函数， 又，所以时，， 由，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，，所以， 所以的取值范围为. 故答案案为：；. 【点睛】思路点睛：函数有极值点转化为导数为0的方程的根的问题，进而可转化为函数的零点问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）对函数求导，通过导函数的正负判断的单调区间； （2）根据（1）中的单调性可得的极值，与区间端点值比较可得最值. 【小问1详解】 定义域为，， 令，得， 列表如下： 2 0 ↗ ↘ 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； ∴的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 ，， ∵，∴， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值. 16. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式联立两个方程即可求得结果. （2）根据题干中的条件先求出，再用分组求和即可求得结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由， 得，∵是由正数组成的等比数列，则，， 则，解得或（舍），又，所以， 解得，所以 【小问2详解】 ， 所以 17. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若和有相同的最小值，求的值. 【答案】（1） （2） 当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． 【小问2详解】 函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ； ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②略 19. 已知函数. （1）若函数在其定义域上单调递减，求实数a的最小值. （2）若函数存在两个零点，设 （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）． （2）（i）； （ii）由（1）知当时，，当时，， 由（ⅰ）知，则，， 由，得， ，整理得， 两式相减得，因此； 记，令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 整理得，而 ，即， 因此，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，借助给定单调性列出不等式求解. （2）（i）利用导数探讨函数的最值，再列出不等式求出的范围；（ii）由（1）的信息，结合零点的意义推理证得，构造函数，结合函数的零点证得即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，由在上单调递减， 得，恒成立，即恒成立， 而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以的最小值为. 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为，， 令，求导得，函数在上单调递减， 而，则当时，，即；当时，，即， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，，当时，， 由函数存在两个零点，得，解得， 所以实数m的取值范围是. （ⅱ）略 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2024-2025学年下学期第一次月考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A. 6 B. 20 C. 25 D. 30 3. 若圆的圆心为，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 120种 6. 已知直线与双曲线（，）的左，右两支分别交于A，B两点，F是双曲线C的左焦点，且，则双曲线C的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，由多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 10. 如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（   ） A. 当为靠近D的三等分点时，异面直线与所成角的余弦值为 B. 存在点G，使得平面CEF C. 点B到平面CEF的距离是 D. 过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数存在唯一极值点，且 B. 令，则函数无零点 C. 若恒成立，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙相互独立地任选一个出站口出站，则共有_____________种出站方法． 13. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______. 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若的极小值小于零，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 16. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 17. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若和有相同的最小值，求的值. 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 19. 已知函数. （1）若函数在其定义域上单调递减，求实数a的最小值. （2）若函数存在两个零点，设 （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $