专题06一元一次不等式组同步讲义（1）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题06一元一次不等式(组)同步讲义（1） 【3.1不等式的意义3.4一元一次不等式的应用】 · 懂概念：认识不等式与不等号，能根据实际问题列不等式。 · 会变形：掌握不等式 3 条基本性质，乘除负数要变号。 · 会求解：能解一元一次不等式，并在数轴上表示解集，会求整数解。 · 能应用：能将实际问题建模成不等式，并用其解决实际问题。 必备 知识点梳理 1.不等式的意义 2.不等式的性质(核心命脉) 3.一元一次不等式的解法 4.解集与数轴表示 5.一元一次不等式应用 6.十大易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.不等式的概念与意义 2.不等式的核心性质 3.一元一次不等式的定义 4.不等式的解集 5.求一元一次不等式的解集 6.在数轴上表示不等式的解集 7.求一元一次不等式的整数解 8.求一元一次不等式解的最值 9.列一元一次不等式 10.用一元一次不等式解决实际问题 11.用一元一次不等式解决几何问题 巩固专练 解答题(5题) 【知识点01.不等式的意义】 1.核心概念 定义：用不等号（、、、、）连接两个代数式的式子。 等价关系：a>b⟺a−b>0；a<b⟺a−b<0（用于比较大小的理论基础）。 2.列不等式关键（由词到式） 抓住 “关键词语” 进行翻译： 正向：大于 (>)、小于 (<)、超过 (>)、不足 (<)。 反向：不小于 (≥)、不大于 (≤)、至少 (≥)、最多 (≤)。 注意：列不等式时，务必分清 “谁是未知数”，且单位要统一。 【知识点02.不等式的性质】 1.三大性质（必背） 性质 1（加减性）：不等式两边加 (减) 同一个数 (或式子)，不等号方向不变。 公式：a>b⟹a±c>b±c 性质 2（乘正性）：不等式两边乘 (除) 同一个正数，不等号方向不变。 公式：a>b,c>0⟹ac>bc 性质 3（乘负性・核心陷阱）：不等式两边乘 (除) 同一个负数，不等号方向必须改变。 公式：a>b,c<0⟹ac<bc 2.拓展性质 对称性：a>b⟺b<a。 传递性：a>b,b>c⟹a>c。 【知识点03.一元一次不等式的解法】 1.定义判定 三要素：只含一个未知数；未知数最高次数是1；左右两边均为整式。 2.解一元一次不等式的 五步标准流程 ** (1) 去分母：两边同乘各分母最小公倍数 注意：若乘负数，必须变号；分子是多项式要加括号。 (2)去括号：注意符号法则，括号前是负号，去括号后各项要变号。 (3)移项：跨越等号变号，移项要变号（通常含未知数的项移左边，常数项移右边）。 (4)合并同类项：系数相加减，字母及指数不变。 (5)系数化为 1：最关键一步。观察系数正负，负数必变号。 【知识点04.解集与数轴表示】 x>a：空心圈，向右画。 x<a：空心圈，向左画。 x≥a：实心点，向右画。 x≤a：实心点，向左画。 【知识点05.一元一次不等式的应用】 解题四步法（规范答题） 1.审：审题，找出已知量和未知量，挖掘隐含的不等关系（这是得分关键）。 2.设：设未知数（直接设或间接设）。 3.列：根据不等关系列出一元一次不等式。 4.解：解不等式，并检验解的合理性。 合理性判断：解必须符合实际意义（如人数为整数、物品个数为非负整数、时间为正数等）。 【知识点06.十大易错点警示】 1.变号陷阱：运用性质 3（乘除负数）时，忘记改变不等号方向。 2.去分母陷阱：分母去掉后，分子作为整体未加括号。 3.移项变号：移项忘记变号（跨过等号必须变）。 4.数轴表示：区分空心圈（不包含）与实心点（包含）。 5.箭头方向：>向右，<向左，搞反方向。 6.列不等式关键词：把 “不大于” 看成 “大于”，或遗漏 “非负 / 非正” 条件。 7.实际意义：求出小数解后，没有根据实际情况进行取整（通常用去尾法或进一法）。 8.负数的绝对值：在含绝对值的不等式变形中，忽略绝对值的非负性。 9.系数为 0：在判断一元一次不等式时，忘记检验未知数系数是否为 0。 10.传递性误用：在多个不等式相加时，错误地直接传递不等号。 . 【题型1.不等式的概念与意义】 【典例】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．则： （1）可理解为_____． （2）请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是________、________、________． 【跟踪专练1】小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时， 【跟踪专练2】一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 【题型2.不等式的核心性质】 【典例】若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是_____（填写正确结论的序号）． ；的最大值是；的最小值是；存在实数，使成立． 【跟踪专练2】十五个整数，，，…，依次排列在数轴上．这些整数呈等距排列，并且具有以下特性，，． 问的各位数字之和是多少？ A．8 B．9 C．10 D．11 E．12 【跟踪专练3】已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【题型3.一元一次不等式的定义.】 【典例】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 【跟踪专练1】已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是____． 【跟踪专练3】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【题型4.不等式的解集】 【典例】如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为____________． 【跟踪专练1】能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】已知关于的不等式有4个非负整数解，若是整数，则为______；若不一定是整数，则的取值范围是______． 【跟踪专练3】若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型5.求一元一次不等式的解集】 【典例】已知：，化简：______． 【跟踪专练1】已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）若，则______0；（2）若，则______． 【跟踪专练3】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型6.在数轴上表示不等式的解集】 【典例】已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 【跟踪专练1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是________． 【跟踪专练3】在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（   ） A．－5 B．－1 C．1 D．5 【题型7.求一元一次不等式的整数解】 【典例】写出一个满足不等式的正整数解是________． 【跟踪专练1】不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 【跟踪专练2】如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 【跟踪专练3】下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 【典例】对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是______． 【跟踪专练1】已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【跟踪专练2】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型9.列一元一次不等式】 【典例】某商店将定价为元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分打八折小芬有元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品件，则根据题意，可列不等式为______． 【跟踪专练1】某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（    ）． A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线 【跟踪专练2】一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为 __________________． 【跟踪专练3】定义表示不超过实数的最大整数，例如：．给出下列结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型10.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】学校举行数学知识竞赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记分．七年级一班代表队的得分目标为不低于102分，则这个队至少要答对______道题才能达到目标要求． 【跟踪专练1】.茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 【跟踪专练3】定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 【题型11.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【跟踪专练1】2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 【跟踪专练2】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【跟踪专练3】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答题】 1．【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在①、②、③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的是_____（填序号）． (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，求的取值范围． (3)若（是非零常数）是的“相斥不等式”，求的取值范围． 2．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 3．已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 4．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 5．十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元一次不等式(组)同步讲义（1） 【3.1不等式的意义3.4一元一次不等式的应用】 · 懂概念：认识不等式与不等号，能根据实际问题列不等式。 · 会变形：掌握不等式 3 条基本性质，乘除负数要变号。 · 会求解：能解一元一次不等式，并在数轴上表示解集，会求整数解。 · 能应用：能将实际问题建模成不等式，并用其解决实际问题。 必备 知识点梳理 1.不等式的意义 2.不等式的性质(核心命脉) 3.一元一次不等式的解法 4.解集与数轴表示 5.一元一次不等式应用 6.十大易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.不等式的概念与意义 2.不等式的核心性质 3.一元一次不等式的定义 4.不等式的解集 5.求一元一次不等式的解集 6.在数轴上表示不等式的解集 7.求一元一次不等式的整数解 8.求一元一次不等式解的最值 9.列一元一次不等式 10.用一元一次不等式解决实际问题 11.用一元一次不等式解决几何问题 巩固专练 解答题(5题) 【知识点01.不等式的意义】 1.核心概念 定义：用不等号（、、、、）连接两个代数式的式子。 等价关系：a>b⟺a−b>0；a<b⟺a−b<0（用于比较大小的理论基础）。 2.列不等式关键（由词到式） 抓住 “关键词语” 进行翻译： 正向：大于 (>)、小于 (<)、超过 (>)、不足 (<)。 反向：不小于 (≥)、不大于 (≤)、至少 (≥)、最多 (≤)。 注意：列不等式时，务必分清 “谁是未知数”，且单位要统一。 【知识点02.不等式的性质】 1.三大性质（必背） 性质 1（加减性）：不等式两边加 (减) 同一个数 (或式子)，不等号方向不变。 公式：a>b⟹a±c>b±c 性质 2（乘正性）：不等式两边乘 (除) 同一个正数，不等号方向不变。 公式：a>b,c>0⟹ac>bc 性质 3（乘负性・核心陷阱）：不等式两边乘 (除) 同一个负数，不等号方向必须改变。 公式：a>b,c<0⟹ac<bc 2.拓展性质 对称性：a>b⟺b<a。 传递性：a>b,b>c⟹a>c。 【知识点03.一元一次不等式的解法】 1.定义判定 三要素：只含一个未知数；未知数最高次数是1；左右两边均为整式。 2.解一元一次不等式的 五步标准流程 ** (1) 去分母：两边同乘各分母最小公倍数 注意：若乘负数，必须变号；分子是多项式要加括号。 (2)去括号：注意符号法则，括号前是负号，去括号后各项要变号。 (3)移项：跨越等号变号，移项要变号（通常含未知数的项移左边，常数项移右边）。 (4)合并同类项：系数相加减，字母及指数不变。 (5)系数化为 1：最关键一步。观察系数正负，负数必变号。 【知识点04.解集与数轴表示】 x>a：空心圈，向右画。 x<a：空心圈，向左画。 x≥a：实心点，向右画。 x≤a：实心点，向左画。 【知识点05.一元一次不等式的应用】 解题四步法（规范答题） 1.审：审题，找出已知量和未知量，挖掘隐含的不等关系（这是得分关键）。 2.设：设未知数（直接设或间接设）。 3.列：根据不等关系列出一元一次不等式。 4.解：解不等式，并检验解的合理性。 合理性判断：解必须符合实际意义（如人数为整数、物品个数为非负整数、时间为正数等）。 【知识点06.十大易错点警示】 1.变号陷阱：运用性质 3（乘除负数）时，忘记改变不等号方向。 2.去分母陷阱：分母去掉后，分子作为整体未加括号。 3.移项变号：移项忘记变号（跨过等号必须变）。 4.数轴表示：区分空心圈（不包含）与实心点（包含）。 5.箭头方向：>向右，<向左，搞反方向。 6.列不等式关键词：把 “不大于” 看成 “大于”，或遗漏 “非负 / 非正” 条件。 7.实际意义：求出小数解后，没有根据实际情况进行取整（通常用去尾法或进一法）。 8.负数的绝对值：在含绝对值的不等式变形中，忽略绝对值的非负性。 9.系数为 0：在判断一元一次不等式时，忘记检验未知数系数是否为 0。 10.传递性误用：在多个不等式相加时，错误地直接传递不等号。 . 【题型1.不等式的概念与意义】 【典例】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．则： （1）可理解为_____． （2）请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是________、________、________． 【答案】 数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2 0 1 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义及不等式的概念，准确地理解绝对值的几何意义是解题的关键．（1）按照题意理解为数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）先理解的意义，结合a为整数，可得可以列举的a的值是：0,1，． 【详解】解：（1）∵的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离， ∴可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）∵可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2，a为整数， ∴可以列举的a的值是：0,1，． 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；0，1，． 【跟踪专练1】小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时， 【答案】 15 7 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 【跟踪专练2】一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 【跟踪专练3】根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以， ∵不等号由“”变成“”， ∴， 故答案为：． 【题型2.不等式的核心性质】 【典例】若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 【跟踪专练1】设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是_____（填写正确结论的序号）． ；的最大值是；的最小值是；存在实数，使成立． 【答案】 【分析】根据定义表示小于的最大整数，即可判断；设（为整数），则，则有，所以，即，即可判断． 【详解】解：根据定义表示小于的最大整数，小于的最大整数是， ∴，该结论正确； 设（为整数），则， ∴， ∴，即， ∴最小值是，取不到，故错误，正确； ∵， ∴恒为负数，不可能等于，故错误， 综上可得：结论中正确的是． 【跟踪专练2】十五个整数，，，…，依次排列在数轴上．这些整数呈等距排列，并且具有以下特性，，． 问的各位数字之和是多少？ A．8 B．9 C．10 D．11 E．12 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的规律问题，不等式的性质，找到规律并确定d的值是关键；设相邻两个整数的距离为，则可用d及表示出各数及d的范围，根据求得d及，从而求得，即可求解． 【详解】解：设相邻两个整数的距离为，则，…，，； ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 由于d取整数，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴， ∴各位数字和为， 故选：A． 【跟踪专练3】已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，不等式的性质，熟练根据题意正确列出代数式是解题的关键．先利用，，确定，再分别讨论，，，时，结合和，，，均为绝对值小于的整数，且，一一枚举出来所有情况，再进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， 即或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或或或或或， ∴或或或或或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， ∴或， 共种，其中单项式有个； 综上， 满足条件的整式中，有个单项式， 故①错误； 当时，满足条件的整式有且只有个， 故②错误； 满足条件的整式一共有个， 故③错误； 故正确的个数是个， 故选：A． 【题型3.一元一次不等式的定义.】 【典例】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ． 故答案为：1． 【跟踪专练1】已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数次数为1，且未知数系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵原不等式是关于的一元一次不等式， ∴满足两个条件： 未知数次数为1，即； 未知数系数不为0，即； 由得，解得或， 又∵，即， ∴． 【跟踪专练2】如果是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是____． 【答案】 【分析】由一元一次不等式的定义即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出的值，将其代入原不等式中即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵是关于的一元一次不等式， ∴，解得：， ∴原不等式为：， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义以及解一元一次不等式，解题的关键是根据一元一次不等式的定义确定的值及熟练掌握一元一次不等式的解法． 【跟踪专练3】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 【题型4.不等式的解集】 【典例】如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为____________． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解． 【详解】解：设车速为， 小童爸爸开货车走右侧车道，车速应该在， 建议车速为． 故答案为：答案不唯一． 【跟踪专练1】能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解： ， ， ， ， ∴ 满足条件的负整数只有，共个． 【跟踪专练2】已知关于的不等式有4个非负整数解，若是整数，则为______；若不一定是整数，则的取值范围是______． 【答案】 3 【分析】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先求出这个不等式的4个非负整数解为，再根据是整数、不一定是整数求解即可得． 【详解】解：∵关于的不等式有4个非负整数解， ∴它的4个非负整数解为， ∴若是整数，则， 若不一定是整数，则的取值范围是， 故答案为：3；． 【跟踪专练3】若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的解集．先求出不等式得到，进而根据意义得到，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， ， ， ， 故选：B 【题型5.求一元一次不等式的解集】 【典例】已知：，化简：______． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，再化简绝对值即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∴. 【跟踪专练1】已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入不等式求出的取值范围，即可判断. 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴，即：， 故选：D ． 【跟踪专练2】（1）若，则______0；（2）若，则______． 【答案】 【分析】第一题通过移项、合并同类项即可求解的范围，第二题先判断的符号，再利用不等式的基本性质变形，即可得到与的大小关系． 【详解】解：（1）， 移项，得 ， ． （2）∵， ∴， ∴， ∴不等式两边同时除以正数，得，即． 【跟踪专练3】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 【题型6.在数轴上表示不等式的解集】 【典例】已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：根据图示可知：该不等式的解集为． 【跟踪专练1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来即可；本题主要考查解不等式的基本能力及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握是解题关键． 【详解】解： 不等式的解集在数轴上表示： 故选：C． 【跟踪专练2】如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据数轴表示不等式组解集的方法可得答案．本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式组解集的方法是正确解答的前提． 【详解】解：由数轴表示不等式解集的方法可得这个不等式组的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练3】在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（   ） A．－5 B．－1 C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； 根据新定义的运算解出不等式的解，结合数轴上的表示，即可解出k的值． 【详解】解：由， 得， 则． 由数轴，得不等式的解集为， ， 解得； 故选：A． 【题型7.求一元一次不等式的整数解】 【典例】写出一个满足不等式的正整数解是________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式的解集及确定最小整数解．先求出不等式的解集，然后确定最小整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 解得， ∵大于等于的最小整数是， ∴该不等式的最小整数解是． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据程序图分为奇数和偶数两种情况求出的最小值，通过比较找出最小的值． 【详解】解：当为偶数时， 可得：， 解得：， 是正整数， ； 当为奇数时， 可得：， 解得：， 为正整数， ， 输入的最小正整数是． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解与解集的概念，通过代入验证或解不等式即可判断各选项正误． 【详解】解：∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的解， A说法正确，不符合题意； ∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的一个解， B说法正确，不符合题意； ∵解不等式，解得，不是， ∴C说法错误，符合题意； ∵不等式的整数解包括所有小于10的整数，有无数个， ∴D说法正确，不符合题意. 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 【典例】对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是______． 【答案】0 【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解即可得出． 【详解】∵， ∴ 解得： ∴最大整数解是0． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出是解题的关键． 【跟踪专练1】已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【跟踪专练2】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 【题型9.列一元一次不等式】 【典例】某商店将定价为元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分打八折小芬有元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小芬可以购买该种商品件，则根据题意，可列不等式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列不等式，设小芬可以购买该种商品件，结合题意可得，根据一次性购买件以上，超过部分打八折，进一步列不等式即可． 【详解】解：设小芬可以购买该种商品件， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（    ）． A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线 【答案】D 【分析】本题考查列不等式，需根据“≥”的含义结合标准线判断横线处的描述． 【详解】解：∵“≥”在实际情境中表示“不低于”（即大于或等于）， 又∵不等式为，其中是标准线， ∴横线处应填“不低于标准线”， ∴故选：． 【跟踪专练2】一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为 __________________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系． 设答对的题数为x道，则答错或不答的题数为道，根据总分答对题数答错或不答题数，结合总得分不少于88分，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意可得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】定义表示不超过实数的最大整数，例如：．给出下列结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由新定义的含义可直接判断①，②，④，再分两种情况对③进行讨论，可判断③，从而可得答案． 【详解】解：由新定义运算可得∶ ，运算正确，故①符合题意； 若，则；运算正确，故②符合题意； 若，当时，则， 当时，则故③不符合题意； 若，， 则 则，故④符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查新定义运算与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整问题，转化为一元一次不等式问题去解决． 【题型10.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】学校举行数学知识竞赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记分．七年级一班代表队的得分目标为不低于102分，则这个队至少要答对______道题才能达到目标要求． 【答案】13 【分析】根据题意找出不等关系，答对题目所得分数与答错或放弃题目所得分数之和不低于102分，据此列一元一次不等式，求解后取符合题意的最小整数解即可． 【详解】解：设这个队答对道题才能达到目标要求， 由题意得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即这个队至少要答对13道题才能达到目标要求． 【跟踪专练1】.茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽和长的关系表示出长，再结合长方形周长公式和篱笆长度的限制列出不等式即可． 【详解】解：∵设试验田的宽为，宽比长少， ∴试验田的长为， ∵篱笆总长度是长方形的周长，要求篱笆总长度不超过， 长方形周长宽长，“不超过”用“”表示， ∴可列不等式为． 【跟踪专练2】某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 【答案】33 【分析】考查一元一次不等式解决实际问题，设B产品的件数为件，根据生产两种产品所需原料总量不超过现有原料量列一元一次不等式，求解后结合实际取整数即可得到B产品的最大件数． 【详解】设生产B产品件，则生产A产品件， 根据题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， ， 系数化为1，得， 因为为产品件数，需取非负整数，所以的最大值为33． 【跟踪专练3】定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算、实数比较大小、一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键．根据新定义为不超过的最大整数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，故选项A错误，不符合题意； 例如，，， ∵， ∴， ∴不成立，选项B错误，不符合题； 例如，，， ∴， ∴（为整数）不成立，选项C错误，不符合题； ∵为不超过的最大整数， ∴，选项D正确，符合题意． 故选：D． 【题型11.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 【答案】A 【分析】根据题意可得，列出不等式，求得最小整数解即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧， ， 即， 解得， 为正整数， ∴的最小值为， 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出是解题的关键． 【跟踪专练2】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 【跟踪专练3】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【解答题】 1．【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在①、②、③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的是_____（填序号）． (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，求的取值范围． (3)若（是非零常数）是的“相斥不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3)且 【分析】本题主要考查解一元一次不等式、不等式的解集等知识点，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”的定义求解即可； （2）根据“相斥不等式”的定义可得到关于a的不等式，求解即可； （3）根据“相斥不等式”的定义可得到关于k的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：①∵的解可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”． ②∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ③∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”． 故答案为：③． （2）解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式是的“相斥不等式”， ∴， 解得：． （3）解：∵（是非零常数）是的“相斥不等式”， 的解集为， ∴， 解得：且． 2．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析. (2)，数轴见解析. 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴如下： （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴如下： 3．已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 4．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【详解】（1）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． （2）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． 5．十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $