精品解析：江苏省锡山高级中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题

高一年级3月份练习（数学） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上是增函数，且满足.若，，.则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，函数，若函数与的图象有个交点分别为，，…，，则（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. C. 可能为奇数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与向量方向相同，则_____. 13. 在中，在边上，平分，若，，且，则______． 14. 已知O为的外心，若，则实数m的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）函数，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值． 16. 如图，在中，，为的中点，与交于点.设，. （1）试用表示； （2）求. 17. 某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意.已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造.如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，.记. （1）当时，求； （2）请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值. 18. 在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． （1）求角； （2）若，且满足，求的取值范围． 19. 已知双曲余弦函数，双曲正弦函数．记函数． （1）计算的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）记的两个零点为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级3月份练习（数学） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分性和必要性的定义，结合三角形的性质即可求解. 【详解】在中，若，不妨取,,，此时为直角三角形； 若为锐角三角形，则为锐角，则， 所以在中，“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件； 故选：B 2. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 3. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 4. 已知函数在上是增函数，且满足.若，，.则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性，再由对数运算法则比较出自变量的大小，即可得出结论. 【详解】已知函数满足，所以是偶函数， 又在上是增函数，则在上是减函数， 因为，，, 易知，又 所以， 因此， 即. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为 ， 所以. 则 . 6. 已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简，然后解出的单调递增区间求解即可 【详解】 因为在区间上单调递增，所以 解得 由于区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间 可以覆盖该区间，因此，解得 又，所以 7. 若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． 8. 在锐角中，已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知式子化为.作于，设，即可求出.根据三角形内角和性质及两角和的正切公式，将所求用表示，计算化简，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由可得， 由正弦定理可得， 如图，作于，设， 因为，所以， 化简得，解得， 易知，，所以， 因此＝ ＝＝， 当且仅当时取得最小值. 故选：B 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 10. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面积公式和正余弦定理化简条件，得到角的关系，再结合锐角三角形定义确定的范围，最后将转化为关于的函数求值域. 【详解】已知在锐角中，，其中面积， ，因为，所以，即，选项A正确； 由余弦定理，，代入得：， 由正弦定理，，，代入得：， 继续化简得， 因为是锐角三角形，所以，，故，即，选项B正确； 因为是锐角三角形，且，所以：，解得：，选项C错误； ，而，代入得： ，因为，所以， 令，则，该函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为区间在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 而，，所以，选项D正确. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，函数，若函数与的图象有个交点分别为，，…，，则（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. C. 可能为奇数 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先由平移思想得出的对称性，再由分离常数思想得出的对称性，由于与有相同的对称中心，由交点的对称性质求解即可. 【详解】由题意，即，则函数的图象关于中心对称，故A错误； 由，令，则，故B正确； ，故函数和的图象都关于中心对称， 因为不经过，所以函数和的图象交点在点左右个数相等，则为偶数，故C错误； 由C可知则，故D正确． 故选：BD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与向量方向相同，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示以及向量同向可得，再求模长即可. 【详解】由题意可知：，则， 整理可得，解得或， 当时，则，，即，可知与反向，舍去； 当时，则，即，可知与同向，符合题意； 综上所述：，，所以. 故答案为：. 13. 在中，在边上，平分，若，，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由平分，所以，令，， 则， 在中，由正弦定理有：， 在中，由正弦定理有：， 所以，即， 在中，由余弦定理有：， 在中，由余弦定理有：， 又，所以，所以， 解得，所以，， 所以. 14. 已知O为的外心，若，则实数m的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义，将已知条件化简整理为，结合正弦定理、三角形内角性质、三角恒等变换得到，进而有，应用基本不等式求最值，注意取等条件. 【详解】如图，过点作于点,因点是的外心，则. 则，同理 故由可得： ， 令外接圆半径，，由正弦定理，得， 所以，， 所以，而， 所以， 所以， 由，可得，则， 当且仅当时取等号，故， 所以实数m的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）函数，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象结合周期和特殊点可求解析式； （2）利用换元法，结合图象对称性可求的值，进而可得结果. 【小问1详解】 由图象的最低点纵坐标为，可得， 由图可知，所以，解得. 函数为，代入可得， 所以，即，由，可得， 所以. 【小问2详解】 ，令，可得， 设，则，设，则； 作出简图如下，由图可知，； 所以 ， . 16. 如图，在中，，为的中点，与交于点.设，. （1）试用表示； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合三点共线结论即可求得答案； （2）根据数量积运算律求得，求出，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知为的中点，故， 设，由于， 则. 由于三点共线，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由于， 故， ， ， ， 所以. 17. 某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意.已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造.如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，.记. （1）当时，求； （2）请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值. 【答案】（1） （2） ，；当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果； （2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的. 【小问1详解】 根据题意，在△中，，又， 故由正弦定理可得： 解得，， 故. 即. 【小问2详解】 由题可知，在△中，， 则由正弦定理，可得， 故可得， 故 . 即. 当时，，此时取得最大值. 18. 在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． （1）求角； （2）若，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用向量垂直的坐标公式计算，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）分析可得，，，求出角的取值范围，由正弦定理可得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 由，则，即， 结合正弦定理可得： ，则， 因为、，则，所以， 可得，故； 【小问2详解】 因为，所以， 是锐角三角形，则， 又，故，    在中，，， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为，则，所以， 所以的取值范围是. 19. 已知双曲余弦函数，双曲正弦函数．记函数． （1）计算的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）记的两个零点为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定函数，直接计算即得. （2）等价变形不等式，令，利用单调性求出的范围，再换元并分离参数，利用单调性求出范围. （3）由（2）及已知可得方程有两个不等的正实根，令，利用根的判别式及韦达定理，结合一元二次不等式及函数单调性求出范围. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 不等式， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当时，，由，， 得，，而，函数在上递增， 则当时，，因此， 所以实数 的取值范围是. 【小问3详解】 由，得，由（2）得， 由的两个零点，函数在上单调递增，得方程有两个不等实根， 则，，当时，， 显然同号，若，则，与矛盾， 因此，，令，则， 由，得，则，由， 得，则，又 ，而， 解得，即，则，而， 因此，， 而，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $