精品解析：江苏无锡市第一中学太湖新城分校2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题

无锡市第一中学太湖新城分校高一数学测试卷 2026.3.21 一、单项选择题：本大题共8小题． 1. 海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可. 【详解】如题图，，， 由正弦定理，得，解得， 故选：D． 2. 已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量，再利用夹角公式求解即可． 【详解】解：因为，， 故平方得， 即， 设向量与的夹角为，， 故． 故选：C． 3. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　) A. a＝－b B. a∥b C. a＝2b D. a∥b且|a|＝|b| 【答案】C 【解析】 【详解】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得或 为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.所以选C. 4. 在如图所示的半圆中，为直径，为圆心，点为半圆上一点且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，，由，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，又， 所以 . 故选：C 5. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断的形状. 【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，, 即，整理为， 即，得，或, 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 6. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理可得：， 所以， 即， 又因为，，所以， 故，解得， 又因为，所以， 所以， 所以. 故选：D. 7. 点是所在平面内一点且满足，则下列说法正确的个数有（ ） ①若，则点是边的中点；②若点是边上靠近点的三等分点，则；③若点在边的中线上且，则点是的重心；④若，则与的面积相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①转化为，即可判断；②选项转化为，进而根据平面向量基本定理即可判断；③分析可得点为边的中线的中点，即可判断；④可得点在直线上，点与点到边的距离相等即可判断. 【详解】①若，则， 即，即. 即点是边的中点，故①正确； ②由点是边上靠近点三等分点， 所以，即， 即， 所以，故②错误； ③因为点在边的中线上，设为中点， 设， 又， 所以， 又，则， 所以，即， 所以点为边的中线的中点，故不是重心，故③错误； ④设，，则，， 故点在直线上，点与点到边的距离相等， 所以与的面积相等，故④正确. 故选：B. 8. 在中，，边上的高等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设出，再利用锐角三角函数结合勾股定理，分别求出、值，再由余弦定理即可求出的值. 【详解】 由题意，设，那么边上的高， ，，， 则， ， 在中，由余弦定理可得： . 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 非零向量和不共线，若，则、、三点共线 B. 已知和是两个夹角为的单位向量，且，则实数 C. 若四边形满足，则该四边形一定是矩形 D. 点在所在的平面内，动点满足，则动点的运动路径经过的重心 【答案】BD 【解析】 【分析】计算出，即可判断与不共线，从而判断A，根据数量积的定义及运算律判断B，可得再结合平面几何的性质判断C，设的中点为，得到，即可判断D. 【详解】对于A：因为非零向量和不共线，所以和可以作为平面内的一组基底， 因为，， 所以， 显然不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对于B：因为和是两个夹角为的单位向量，所以， 又，且， 所以， 即，解得，故B正确； 对于C：由可得ABCD为平行四边形 ，，即， 所以，即四边形为对角线互相垂直的平行四边形，则该四边形可能是菱形或正方形，故C错误； 对于D：设的中点为，则，因为， 所以，即，所以、、三点共线， 即在上，又三角形重心在上，所以动点的运动路径经过的重心，故D正确； 故选：BD 10. 在中，，则下列说法正确的是（ ） A. 有两解 B. 边上的高为 C. 的长度为 D. 的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦定理判断A；根据条件直接求边上的高，判断B；根据余弦定理判断C；根据三角形面积公式判断D. 【详解】A.根据正弦定理可知，，则，解得:， 且，所以角只有一解，故A错误； B. 边上的高，故B正确； C.根据余弦定理，即， 解得：或（舍） 即的长度为，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 11. 如图，若的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是（ ） A. 若⊙O的半径为定值，则·为定值 B. 若的长度为定值，则·为定值 C. ·＝· D. ·＝2－2 【答案】BCD 【解析】 【分析】由于D为AB的中点，为外接圆的圆心，则垂直平分，所以，对于A，利用平面向量数量积的定义求解判断，对于B，连接，则，而，代入结合数量积的定义和余弦定理化简，对于CD，利用数量积的定义求解即可. 【详解】因为D为AB的中点，为外接圆的圆心， 所以垂直平分，所以， 设⊙O的半径为， 对于A，设，则， 所以 所以， 因为不一定为定值，所以·不一定为定值，所以A错误， 对于B，连接，则是的中线，所以， 所以 , 因为的长度为定值，所以为定值，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D， ，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量数量的定义及运算律，考查余弦定理的运算，解题的关键是由题意可知垂直平分，则，然后运算数量积的定义和余弦定理分析判断，考查数学计算能力，属于中档题. 三、填空题：本大题共3小题． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件只有一个． 故答案为：1． 13. 在中，已知，，，则的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式结合三角内角关系求出，利用余弦定理结合已知条件构造方程求出，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】由可得 ， 则， ，， 由余弦定理知， 联立解得,， 故． 14. 已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 ， 当时，，显然不成立； 当时，，显然成立， 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 所以，，， ， ， 因为， 所以. 所以的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题． 15. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）已知是边上的点，，求的最小值. 【答案】（1） （2）最小值为9 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可； （2）先根据面积公式列式得出，最后应用基本不等式计算求解最小值即可. 小问1详解】 因为， 所以， 即， 可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由可得， 即， 可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，点． （1）若，求； （2）若，当取得最大值时，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标运算得出，再由模长公式计算即可； （2）由向量共线的坐标运算得出，进而由正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 ∵，∴， 若，则，∴，解得， ∴， ∴． 【小问2详解】 由题意，， ∵向量与共线，∴，即， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时． 17. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由图和题设条件可得： ； . 【小问2详解】 由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 18. 已知向量，设函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的最值和单调区间. 【答案】（1） （2）的最小值为，最大值为的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积得出函数关系式，再利用二倍角正弦与余弦公式化简前者得正弦型函数，故可求周期； （2）根据正弦函数的性质可求的最值和单调区间. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 令，即时，故在递增； 令，即时，故在递减. 综上，的最小值为，最大值为， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 19. 在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. （1）若，求的大小； （2）当取得最小值时，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； 【小问2详解】 由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学太湖新城分校高一数学测试卷 2026.3.21 一、单项选择题：本大题共8小题． 1. 海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 2. 已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　) A. a＝－b B. a∥b C. a＝2b D. a∥b且|a|＝|b| 4. 在如图所示的半圆中，为直径，为圆心，点为半圆上一点且，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 点是所在平面内一点且满足，则下列说法正确个数有（ ） ①若，则点是边的中点；②若点是边上靠近点的三等分点，则；③若点在边的中线上且，则点是的重心；④若，则与的面积相等. A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 在中，，边上的高等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题． 9. 下列命题正确的是（ ） A 非零向量和不共线，若，则、、三点共线 B. 已知和是两个夹角为的单位向量，且，则实数 C. 若四边形满足，则该四边形一定是矩形 D. 点在所在的平面内，动点满足，则动点的运动路径经过的重心 10. 在中，，则下列说法正确的是（ ） A. 有两解 B. 边上的高为 C. 的长度为 D. 的面积为 11. 如图，若的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是（ ） A. 若⊙O的半径为定值，则·为定值 B. 若长度为定值，则·为定值 C. ·＝· D. ·＝2－2 三、填空题：本大题共3小题． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 13. 在中，已知，，，则的面积为________． 14. 已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题． 15. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）已知是边上的点，，求的最小值. 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，点． （1）若，求； （2）若，当取得最大值时，求实数的值． 17. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，求的最小值． 18. 已知向量，设函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的最值和单调区间. 19. 在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. （1）若，求的大小； （2）当取得最小值时，求面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $