垂直平分线3种高频考点专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

垂直平分线3种高频考点专项训练 垂直平分线3种高频考点专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的判定 垂直平分线作图问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且，则的周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．11 D．13 例4．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为______． 例5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 例6．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 变式1．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 变式3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 变式4．（25-26八年级上·湖南怀化·月考）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论正确的有 __ ． ①；②；③；④ 变式5．（25-26八年级上·广西来宾·期末）在中，已知，的垂直平分线分别交，于点D、E，连接，若的周长为24，则的周长为_______． 变式6．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，若点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，，，则的最小值为______． 考点二 垂直平分线的判定 例1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线，交于点．连接，交于点． (1)求证：为的垂直平分线； (2)若，则__________． 例3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 例4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求的度数； (2)求证：点P在线段的垂直平分线上． 变式1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在中； (1)求作的边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：点在的垂直平分线上． 变式2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 变式3．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 (2)若，求的度数． 变式4．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 考点三 垂直平分线作图问题 例1．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)我们把有一个内角为的三角形叫做“幸运三角形”．在（1）的条件下，若，判断是否为“幸运三角形”，并说明理由． 例2．（25-26八年级上·福建福州·期末）小明发现：任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． (1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ∴．（_________________________________________）（填推理的依据） ∴__________________________ …… 请继续完成小明的证明过程． 例3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，． (1)作线段的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则______． 变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，请根据要求作图并完成计算． (1)用直尺和圆规作边上的垂直平分线，分别交，于点和点． (2)连接，若，，求的周长． 变式2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中， (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①作的角平分线； ②作的高线． (2)求和的长； (3)点为上一动点，则的最小值为______． 变式3．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $垂直平分线3种高频考点专项训练 垂直平分线3种高频考点专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的判定 垂直平分线作图问题 考点一 垂直平分线的性质 例1.(25-26九年级上·四川绵阳期末)如图，在ABC中，AB=AC且AD⊥BC于D,EF垂直平分AC,与BC 交于E,与AC交于F,若AB=5,BC=8,则EC的长为() B D/E 25 A. B.9 3 8 8 D. 4 【答案】A 【详解】解：如图，连接AE, 4 B D/E ~EF垂直平分AC, ∴AE=CE, AB=AC且AD⊥BC,BC=8, G.BD CD=BC=A AB=5, 六AD=VAB2-BD2=3, 设AE=CE=x,则DE=4-x, 在RtAADE中，AD2+DE2=AE2, 32+(4-x2=x2, 垂直平分线3种高频考点专项训练 解得：x=25 8 即CE=2 例2.(24-25八年级上山西阳泉·期末)如图，ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交 BD于点F,连接CF,若LA=80°，∠ABD=20°，则LACF的度数是() A.20° B.40° C.450 D.60 【答案】B 【详解】解：BD平分∠ABC,∠ABD=20°， .∠DBC=∠ABD=20°，∠ABC=2LABD=40°， ∠A=80°， ∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-80°-40°=60°， EF垂直平分BC, ∴BF=CF, ∴.∠FCB=∠FBC=20°， ∠ACF=∠ACB-∠FCB=60°-20°=40°； 故选：B 例3.(24-25八年级上河北廊坊期中)如图，1是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E是1上任意一点，且 AC=5,BC=8,AB=6,则△AEC的周长的最小值为() B A.6 B.8 c.11 D.13 【答案】D 【详解】解：如图，连接BE, 垂直平分线3种高频考点专项训练 B :I是ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足， .AE=BE, :△AEC的周长为：AE+EC+AC=BE+EC+AC2BC+AC=8+5=13. 例4.(25-26八年级上湖南郴州期末)如图，在ABC中，∠A=40°，∠B=35°，分别以点B,C为圆心，以大 于三BC长为半径画弧，交于点M,N,连接MN交AB于点D,连接CD,则LACD的度数为 D M 【答案】70 【详解】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线， :DB=DC, ∠DCB=∠B=35°， 在ABC中，∠A=40°，∠B=35°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-35°=105°， ∠ACD=∠ACB-∠DCB=105°-35°=70°. 例5.(25-26八年级上江苏南京期末)如图，在ABC中，BC=10cm,AC的垂直平分线交BC于D,连接AD, AB的垂直平分线交AD于F,则BDF的周长是 cm. B 【答案】10 【详解】解：：DE垂直平分AC, :AD=CD, F在AB的垂直平分线上， .AF BF, 垂直平分线3种高频考点专项训练 :△BDF的周长=BD+DF+BF =BD+DF+AF =BD+AD =BD+CD =BC =10cm. 例6.(25-26八年级上四川绵阳期末)如图，在ABC中，∠ABC=120°，D是AC边上的点，BD1BC,点D在 AB的垂直平分线上，DB=2,则AC的长为一 D B 【答案】6 【详解】解：~BD⊥BC, ·∠DBC=90°， 又∠ABC=120°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120°-90°=30°， 点D在AB的垂直平分线上，DB=2, AD BD =2, .∠A=∠ABD=30°， ∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°， LC=90°-∠BDC=90°-60°=30°， ∴.CD=2BD=4, ∴AC=AD+CD=2+4=6, 故答案为：6. 变式1.(2025山东烟台一模)如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,ABC的周长 为19，△ACE的周长为13，则AB的长为() 垂直平分线3种高频考点专项训练 A.3 B.6 C.12 D.16 【答案】B 【详解】解：~AB的垂直平分线交AB于点D, AE BE, ~△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=13, ABC的周长=AC+BC+AB=19, ∴.AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6. 变式2.(2425八年级上~四川眉山：期末)如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于2B长为半径画弧， 两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若AC=5,BC=10,则△ADC的周长为() D A.20 B.15 C.10 D.25 【答案】B 【详解】解：根据作图痕迹，MN是线段AB的垂直平分线， .AD BD AC=5,BC=10, :△ADC的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=I5, 故选：B. 变式3.(25-26八年级上·浙江金华期末)如图，在ABC中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在AB和BC上分别截取BM和BN,使BM=BN,分别以M,N为圆心，大于2MN的长为半径作弧，两弧交 于点O,作射线BO交AC于点D: ②分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q,作直线PQ分别交4C,BC于 点E和点F. 根据以上作图，若LA=54°，∠C=18°，AD=4,BC=10,则CF的长为() 垂直平分线3种高频考点专项训练 M F A.4 B.21 C. 23 5 5 D.5 【答案】B 【详解】解：连接DF, D M B N F Q ∠A=54°，∠C=18°， ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=108°， 由作法得BD平分∠ABC,PQ垂直平分CD, ∠ABD=∠CBD=54°， ∠A=∠ABD=54°， :BD=AD=4, CF=DF, ∠C=∠CDF=18°， LDFB=∠C+∠CDF=36°， ∠BDF=180°-∠DFB-∠CBD=90°， 设CF=DF=x,则BF=BC-CF=I0-x, 则BF2=BD2+DF2即(10-x)2=16+x2, 解得x=2 故选：B. 变式4.(25-26八年级上湖南怀化月考)如图，在ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC, 且BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点F,BF=2CE,H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G,下列结论 正确的有一· ①LA=67.5°；②DF=AD;③DH⊥BC;④BE=2BG 6 垂直平分线3种高频考点专项训练 A D E H 【答案】①②③ 【详解】解：∠ABC=45°，CD⊥AB, △BCD是等腰直角三角形， :.BD=CD, BE平分∠ABC, ∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°， 2 ~BE⊥AC, .∠BEA=90°， ∴LA=90°-∠ABE=67.5°，故①正确： CD⊥AB,BE⊥AC, .∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°， ·∠DBF=∠ACD, 在BDF和aCDA中， ∠DBF=∠ACD BD=CD ∠BDF=∠CDA ·ABDF≌CDA(ASA, DF=AD,故②正确； ~△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点， ∴DH⊥BC,故③正确； 连接CG,如图， A F E H ~△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点， 垂直平分线3种高频考点专项训练 ∴DH是BC的垂直平分线， ∴.BG=CG, ∴∠GCB=LCBG=22.5°， .∠CGF=∠CBG+∠GCB=45°， BE⊥AC, ∴∠CEG=90°， ∠ECG=LEGC=45°， ∴CE=GE, ∴CG=VGE2+CE2=√2GE, ·BG=V2GE, GE-BG 2 BE=BG+GE=BG+2BG=2+58G≠2BG,故@错误： 2 综上，正确的是①②③. 变式5.(25-26八年级上广西来宾期末)在ABC中，已知AB=AC=10,AC的垂直平分线分别交AC,AB于 点D、E,连接CD,若ABC的周长为24，则△BCD的周长为： B 【答案】14 【详解】解：AB=AC=10,ABC的周长为24， ∴BC=24-10-10=4, ~DE垂直平分AC, ∴DC=AD, ∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+(BD+AD=BC+AB=4+10=14. 变式6.(24-25八年级下·甘肃白银开学考试)如图，在ABC中，AC的垂直平分线DE分别交AC、AB于点E、 D,若点F是直线DE上一动点，点G是直线BC上一动点，连接GF、FC,SA4Bc=50,BC=I0,则GF+CF的 最小值为一 垂直平分线3种高频考点专项训练 B G 【答案】10 【详解】解：如图，连接AF,过点A作AH⊥BC,交BC延长线于H, D B H(G ~点G是直线BC上一动点， ·AG的最小值为AH, ~DE是AC的垂直平分线，点F是直线DE上一动点， .CF=AF, ∴.GF+CF=GF+AF2AG, 当点G与点H重合时，GF+CF有最小值，最小值为AH, Sa4Bc=50,BC=10, 1 BC·AH=二x10AH=50, 2 解得：AH=10, ∴GF+CF的最小值为10. 9 垂直平分线3种高频考点专项训练 考点二 垂直平分线的判定 例1.(25-26八年级上河北邢台期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，D为AC上一点， CD=CE,∠ACE=60°， D 分 (I)求证：△BCD≌△ACE; (②)延长BD交AE于F,连接CF,且AF=CF, ①求证：BF为边AC的垂直平分线； ②直接写出线段BF与DF之间的数量关系. 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②BF=4DF 【详解】(1)证明：~AB=AC,∠BAC=60°， ·ABC是等边三角形， ∴BC=AC,LBCD=60°. 在△BCD和△ACE中， CD=CE ∠BCD=∠ACE, BC=AC △BCD≌△ACE(SAS); (2)①证明：~AF=CF,AB=BC, 点B,F均在边AC的垂直平分线上， ∴BF为边AC的垂直平分线； ②解：BF=4DF. 由(2)①可知BF⊥AC且平分AC, BD为等边三角形ABC中边AC上的高， BD平分∠ABC, ∠ABD=∠DBC=30°. 10