1.4 线段的垂直平分线（高效学习日日优）-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

4线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 堂清练习 名师讲坛 1.如图，在△ABC中，AC的垂直平 分线交AB于点D,交AC于点E, 01要点领悟 若CD平分∠ACB,∠A=50°，则 1.线段垂直平分线上的“点” 是任意的一点，这个点到线段两 ∠B的度数为 个端点的距离是指“点与点之间 A.259 B.309 C.359 D.409 的线段的长度”，即它与已知线段 2.通过如下尺规作图，能得到BD=AD的是( 两个端点所连线段的长度相等。 2.到线段两个端点距离相等 的点有无数个，要证明线段的垂 直平分线，则要证明这条直线上 有两点到线段两端点的距离分别 相等。 02典例导学 【例1】如图，在△ABC中，AB, BC的垂直平分线PM,PN相交 于点P.求证：点P在AC的垂直 平分线上。 (答题模板)连接 PA,PB,PC。 ∵PM,PN分别 3.如图，在△ABC中，点D在BC上， 为AB,BC的 Be--- 且BC=CD十AD,则点D在 垂直平分线， 的垂直平分线上。 ∴.PA=PB,PB=PC。 ∴.PA=PC。 4.如图所示，用两根钢索AB,AC加固 .点P在AC的垂直平分线上。 直立的电线杆AD。若要使钢索AB 03易错警示 与AC的长度相等，则需添加条件 【例2判断正误：已知线段AB及 理由是 点P,若PA=PB,则过点P的直 线垂直平分AB. (×) 【剖析】如图①，PA=PB,说明点 5.如图，在△ABC中，AB>AC,AB=8,BC的垂直平 P在AB的垂直平分线上，但（不 是AB的垂直平分线.如图②，若 分线DE分别交AB,BC于点E和点D,△AEC的 P1A=P1B,P2A=P2B,则过P1, 周长为13，求AC的长。 P2的直线L垂直平分AB 图① 图② 9 第2课时 尺规作等腰三角形与三角形三边的垂直平分线 堂清练习 名师讲坛 1.在平面内，到三角形三个顶点距离相等的点() 01要点领悟 A.只有1个 B.有2个 1.到线段两个端点距离相等 的点有无数个，它们组成了这条 C.有3个或3个以上 D.有一个或没有 线段的垂直平分线，但是到三角 2.等腰三角形的底角为40°，则两腰的垂直平分线的交 形三个顶点的距离相等的点只有 点 () 一个，它是三角形三边垂直平分 A.在三角形内部 B.在三角形外部 线的交点。 2.线段垂直平分线的作法： C.在三角形底边上 D.与三角形的边长有关 (1)分别以已知线段的两个 3.如图，在△ABC中，∠A=70°，点O是AB,AC垂直 端点为圆心，以大于这条线段长 平分线上的交点，则∠BCO的度数为 () 的一半为半径作弧；(2)两弧相交 A.20° B.22.5 于两个点，经过这两个点作直线， C.25 D.30 这条直线就是已知线段的垂直平 分线。 02典例导学 【例】如图，在△ABC中，D是AC 的中点，分别以点A,C为圆心， 第3题图 第4题图 大于号AC的长为半径作弧，两孤 4.如图，P是△ABC三边垂直平分线的交点，且在AC 交于F,直线FD交BC于点E, 上，已知AC=10,则BP= 连接AE,若AD=2,△ABE的周 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交 长为12，求△ABC的周长 AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,若∠BAE= 40°，求∠BEF的度数。 B E 解：D是AC的中点， ∴AC=2AD=4。由题意，得ED 是AC的垂直平分线，，EA=EC。 ,△ABE的周长为12，，AB+BE+ AE=12。.AB+BE+EC=12。 ∴AB+BC=12。.△ABC的周 长=AB+BC+AC=12+4=16。 10第三部分高效学习目目优 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 1.B2.C3.1024.直角5.6050706.15°7.解：CE是边AB 上的高，∠BEC=90°。：∠ABC=50°，.∠BCE=40°。：∠AFC=80°， ∴.∠CGF=60°。∴.∠AGC=180°-∠CGF=120°。 第2课时三角形的外角 1.D2.60°3.∠A<∠BEC<∠BDC4.50°5.解：(1)∠DAE是 △ABD的外角，.∠DAE=∠B+∠D=50°。∴.∠D=∠DAE-∠B=50 -30°=20°。(2)AD平分∠CAE,∴.∠DAC=∠DAE=50°。在△ACD 中，∠ACD=180°-∠DAC-∠D=180°-50°-20°=110°。 第3课时多边形的内角和与外角和 1.D2.C3.C4.B5.900°6.97.188.解：六边形ABCDEF的 每个内角都相等，.一个内角的大小为6-2)X180=120。·∠E=∠F 6 =∠BAF=120°。，∠1=48°，.∠FAD=120°-48°=72°。∴.在四边形 ADEF中，∠2=360°-∠E-∠F-∠FAD=48°。 2等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.B2.D3.120°4.225.19或236.2084°7.解：AE∥BC。理由 如下：AB=AC,∴∠B=∠C。,∠DAC=∠B+∠C,∴.∠DAC=2∠B。 :AE平分∠DAC.∠DAE=号∠DAC=号×2∠B=∠B.AE/BC 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.B3.D4.等腰5.这两个角所对的边相等6.等边对等角等 角对等边 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.D3.B4.485.66.证明：，△AB0是等边三角形，∴∠A= ∠B=∠AOB=60°。.CD∥AB,∴.∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°。又 ∠COD=∠AOB=60°，∴∠D=∠C=∠COD=60°。∴△OCD是等边三 角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.B3.B4.B5.42°6.87.解：∠ADE=124°，∠CDE= 180°-∠ADE=56°。.DE∥BC,∴.∠C=∠CDE=56°。：在△ABC中， ∠A=90°，.∴∠B=90°-∠C=34°。 第2课时利用“HL”判定两个直角三角形全等 1.D2.D3.34.59°5.证明：，AE⊥BC,DF⊥BC,∴.∠AEC= ∠DFB=9O°。BE=CF,.BE+EF=CF+EF,即BF=CE。在Rt △ACE和Rt△DBF中，AC=DB,CE=BF。.Rt△ACE≌Rt△DBF (HL)。∴∠C=∠B。∴AC∥DB。 4线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 1.B2.C3.AB4.BD=CD线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等5.解：DE垂直平分BC,.BE=CE。.△AEC的周长 为13，.AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=13。AB=8,.8+ AC=13。∴.AC=5。 第2课时尺规作等腰三角形与三角形三边的垂直平分线 1.A2.B3.A4.55.解：，AD垂直平分BE,EF垂直平分AC,∴.AB =AE=EC。.∠ABE=∠AEB,∠C=∠CAE。:∠BAE=40°，∴.∠AEB =号×180°-409)=70.∠EAC=号∠AED=35°。∠AEF=90°- ∠EAC=55°。.∠BEF=∠AEB+∠AEF=70°+55°=125°。