第2章 不等式的性质、解一元一次不等式、一元一次不等式的实际应用 专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

不等式的性质、解一元一次不等式、一元一次不等式的实际应用专项训练 不等式的性质、解一元一次不等式、一元一次不等式的实际应用专项训练 考点目录 不等式的性质 解一元一次不等式 一元一次不等式的实际应用 考点一 不等式的性质 例1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例3．（25-26八年级上·山东济南·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级下·广东佛山·月考）已知，下列不等式中，成立的是（） A． B． C． D． 考点二 解一元一次不等式 例1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 例2．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）解不等式：． 例3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）在解不等式时，小聪给出如下解法： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得______ 两边同除以，得______ (1)请帮小聪把剩余的步骤补充完整； (2)其中第二步“移项”的依据是______． 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 变式3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 考点三 一元一次不等式的实际应用 例1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）某服装店经销两种恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进两种恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种恤衫进价每件上涨了5元，种恤衫进价每件上涨了10元，但两种恤衫的售价不变．服装店计划购进两种恤衫共150件，且种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的2倍，设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 例2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． (1)若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？ (2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 例3．（24-25八年级下·辽宁大连·开学考试）随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 例4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）为推进“美育浸润行动”，学校决定采购两类美育教室设备套装（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等），据了解购买套类设备、套类设备共需万元；购买套类设备、套类设备共需万元． (1)求、两种类型的设备每套的价格分别为多少万元； (2)若学校计划恰好用万元购进以上两种类型的设备（两种类型的设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 变式1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知每个乙型玩偶的售价是每个甲型玩偶售价的倍，销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元． (1)求甲、乙两种型号玩偶每个售价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 变式2．（25-26八年级上·山东济南·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），求该公司共有哪几种购买方案？ 变式3．（25-26八年级上·山西晋中·期末）学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 变式4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $不等式的性质、解一元一次不等式、一元一次不等式的实际应用专项训练 不等式的性质、解一元一次不等式、一元一次不等式的实际应用专项训练 考点目录 不等式的性质 解一元一次不等式 一元一次不等式的实际应用 考点一 不等式的性质 例1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 例2．（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 例3．（25-26八年级上·山东济南·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，或，故选项A不符合题意； ， ，故选项B不符合题意； ， ∴，故选项C不符合题意； ， ∴，故选项D符合题意． 故选：D． 变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴根据不等式性质1，不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变， 可得，，故A、B选项错误； ∵， ∴（负数的平方是正数）， 又∵， ∴根据不等式性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，故C选项正确； ∵，， ∴根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，故D选项错误； 故选C． 变式2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， 当时，，故选项A不一定成立，该选项不符合题意； 在两边同时乘2，得，故选项B符合题意； 在两边同时乘，得，故选项C不符合题意； 在两边乘得，两边加1得，故选项D不符合题意； 故选：B． 变式3．（24-25八年级下·广东佛山·月考）已知，下列不等式中，成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ∴根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变， ∴，故A选项不成立； ，故B选项不成立； ∵根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变， ∴，故C选项不成立； ∵根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变， ∴，故D选项成立． 故选：D． 考点二 解一元一次不等式 例1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1) ，见解析 (2) ，见解析 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 在数轴上表示为： （2）解：， ， ， ， ， . 在数轴上表示为： 例2．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）解不等式：． 【答案】 【详解】解： ． 例3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）在解不等式时，小聪给出如下解法： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得______ 两边同除以，得______ (1)请帮小聪把剩余的步骤补充完整； (2)其中第二步“移项”的依据是______． 【答案】(1)， (2)不等式的基本性质1 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （2）解：第二步“移项”的依据是不等式的基本性质1． 故答案为：不等式的基本性质1． 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【详解】（1）解：， 移项得，即， 系数化为1，两边同时除以2得． （2）解：， 两边同时乘以6去分母得， 去括号得， 合并右边常数项得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，两边同时除以5得． 变式2．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3 【详解】解：由题知， 第一步的依据是：不等式的基本性质2， 第二步的依据是：不等式的基本性质1， 第三步的依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3． 变式3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 【详解】（1）解： 去括号得 合并得 移项得 合并得 数轴表示： （2）解： 去分母，两边乘15得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： （3）解： 去分母，两边乘12得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： 考点三 一元一次不等式的实际应用 例1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）某服装店经销两种恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进两种恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种恤衫进价每件上涨了5元，种恤衫进价每件上涨了10元，但两种恤衫的售价不变．服装店计划购进两种恤衫共150件，且种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的2倍，设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)2880元 (2)①；②不能超过；理由见解析 【详解】（1）解：设购进A种恤衫件，购进B种恤衫件，根据题意列出方程组为： 解得， 全部售完获利（元）； 答：总利润为2880元． （2）解：①设第二次购进A种恤衫件，则购进B种恤衫件，根据题意， 即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 例2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． (1)若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？ (2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】(1)购买A种学习用品400件，B种学习用品600件 (2)最多购买B型学习用品800件 【详解】（1）解：设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件， 由题意得：， 解得：， 答：购买A种学习用品400件，B种学习用品600件； （2）解：设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品件， 由题意得：， 解得：， 答：最多购买B型学习用品800件． 例3．（24-25八年级下·辽宁大连·开学考试）随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元 (2)最多购进乙种纪念品70件 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元， 由题意可得：， 解得：， 答： 甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元； （2）解：设购进乙种纪念品m件， 由题意可得：， 解得：， 答： 最多购进乙种纪念品70件． 例4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）为推进“美育浸润行动”，学校决定采购两类美育教室设备套装（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等），据了解购买套类设备、套类设备共需万元；购买套类设备、套类设备共需万元． (1)求、两种类型的设备每套的价格分别为多少万元； (2)若学校计划恰好用万元购进以上两种类型的设备（两种类型的设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【答案】(1) 类设备每套万元，类设备每套万元 (2) 方案：购买类套，类套； 方案：购买类套，类套； 方案：购买类套，类套 【详解】（1）解：设A类设备每套万元，B类设备每套万元，根据题意得： ，解得． 答：类设备每套万元，类设备每套万元； （2）解：设购买类设备套，类设备套，其中、均为正整数， 根据题意得， 化简得， 变形得， 、均为正整数， 是正偶数，且， 必须是正偶数，且， 当时，， 当时，， 当时，， 答：方案：购买类套，类套； 方案：购买类套，类套； 方案：购买类套，类套． 变式1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知每个乙型玩偶的售价是每个甲型玩偶售价的倍，销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元． (1)求甲、乙两种型号玩偶每个售价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶每个售价分别为40元，60元 (2)最多可以采购30个乙型玩偶 【详解】（1）解：设甲型玩偶单价为x元，乙型玩偶的单价为元， ，解得：， 所以． 答：甲、乙两种型号玩偶每个售价分别为40元，60元． （2）解：设采购m个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶， 根据题意得，，解得：． 答：最多可以采购30个乙型玩偶． 变式2．（25-26八年级上·山东济南·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），求该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为10万元 (2)共有两种购买方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车5辆 【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意可得， 解得， 答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆.， 由题意可得， 解得， ∵，m和n均为正整数， ∴是正偶数，，则， 当时，； 当时，； 当m为1、3、5、6时，n不为正整数或不符合两种汽车均购买的条件，舍去， ∴或， 答：共有两种购买方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车5辆． 变式3．（25-26八年级上·山西晋中·期末）学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 【答案】(1)“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套 (2)31套 【详解】（1）解：设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套， 由题意可得，，解得， 答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套； （2）解：设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型套， 由题意可得，，解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31， 答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套． 变式4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1) (2)建设座种换电站可使投资总额最少，为万元 【详解】（1）解： ； （2）解：因为要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍， 所以，解得； 因为一次函数中，随的增大而减小， 所以当时，； 答：建设座种换电站可使投资总额最少，为万元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $