专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 9 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·河北邢台·模拟预测）如图1，，为与之间的一点，连接，过点作，与相交于点． (1)求证：． (2)如图2，为上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请写出正确结论并证明． (3)如图3，为下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出正确结论． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，见解析 (3)不成立，结论应为 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质可得，进而，即可证得结论； （2）过点作，利用平行线的性质可得，进而，即可证得结论； （3）过点作，利用平行线的性质可得，进而，即可证得结论． 【详解】（1）解：证明：如图， 过点作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：结论不成立，． 证明：如图， 过点作，则． 又∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：结论不成立，． 证明：如图， 过点作，则． 又∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，，，分别平分，，与的反向延长线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，四边形内角和，角平分线；设角等于 ；角的等量代换是解题的关键．过点F作，得，得；根据是 的角平分线，，，根据四边形内角和为，即可求出的角度． 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 可设， ， 在四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得． 故选：C． 例2（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 例3（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知直线，按如图所示的方式放置，点在直线上，，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过B作，根据平行线的性质得出，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】解：如图，过B作，则， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为__________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵，， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故答案为：． 例5（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 1．（2026·上海·模拟预测）如图，，，，那么____度． 【答案】100 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，设，，证明，根据“两直线平行，内错角相等”可得，，结合求得的值，进而可得的值，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作， 根据题意，，， ∴可设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 2．（25-26七年级下·山东德州·期末）已知，平分，，，则___________． 【答案】/30度 【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，作于，作于， 则， 设，则，， 平分， ， 设，则， ， ，， ， ，， ，， 又， ， 解得， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 3．（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 4．（25-26七年级下·全国·期中）如图，，点E在上，点H在上，点F在直线，之间，连接，，． (1)直接写出的度数为________； (2)如图②，平分，交的延长线于点M，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点F作，则，由平行线的性质可得，，并结合计算即可得解； （2）过点F作，过点M作，则，，，，从而可得，求出．由角平分线的定义可得，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点F作，过点M作， 因为，，， 所以，，，， 所以， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 因为，， 所以． 5．已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过作， ， ， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下： 如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ， ， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质得到，，即可求得. （2）过E作，根据平行线的性质得到，，即． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）解：． 理由如下： 过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，可知，根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可知，，即可求出的度数； （2）过点作，可知，根据平行线的性质可知，，即可得到之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以； （2）解：如图2，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． 8．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）（1）探究：如图1，，点G、H分别在直线、上，连接、，当点P在直线的左侧时，试说明； （2）变式：如图2，将点P移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，，点P在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点Q，用含有的式子表示的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4）． 【分析】本题考查了平行线性质的综合应用，解题关键在于：一是辅助线做法，二是根据不同图形利用不同的性质去解决问题． （1）过点P作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点P作，由平行线的性质可得，，结合，即可得解； （3）过点P作，由平行线的性质可得，，结合，即可得解； （4）过点P作，过点Q作，由平行线的性质可得，，，，从而可得，，由角平分线的定义可得，，即可得解． 【详解】解：（1）如图所示：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图所示：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图所示：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）如图所示：过点P作，过点Q作， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴，， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·吉林·月考）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图①，已知点是外一点，连接、．求的度数． 解：过点作，______，______，又，______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，若，点在、下方，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，、交于点，若，则______． 【答案】（），；；（），理由见解析；（）． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则，，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，则，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，则，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：（）过点作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，；； （），理由， 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知，直线，点E．F分别在直线上，点H是直线与外一点，连接． (1)如图（1）， 若，，求的度数； (2)如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）， 若，，， 点P．H．Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键． （1）过点H作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点N作，过点H作，则，可设，由得到，，，，故，，因此得到，即：； （3）设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故． 【详解】（1）解：过点H作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点N作，过点H作， ∵平分，平分， ∴设， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 即：； （3）解：过点P作，过点H作，过点Q作， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即． 11．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知：如图，，分别探讨下列四个图形中与， 的关系，得出四个关系式，请以所得的四个关系式中任选一个加以说明． 【答案】图①：结论：；图②，结论：；图③：结论：；图④，结论：.证明见解析 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，过点E作，结合， 可得，再利用平行线的性质与角的和差关系证明即可. 【详解】解：如图①，结论：，理由如下： 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图②，结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图③：结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图④，结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 12．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）有一天，李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E．连接、后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，、与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系． (1)你能探讨出图①至图④各图中的、与之间的关系吗？请你写出关系式； (2)请你说明图③所写关系式成立的理由． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，解决此类题目的基本思路是过拐点作平行线． （1）分别过E作，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答即可； （2）选择③，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证． 【详解】（1）解：图①：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 图②：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 图③：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 图④：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． （2）证明：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 13．（24-25六年级下·山东济南·期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作． （_____） ， （_____） ， ， _____．（_____） (3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． 【答案】(1) (2)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ，等量代换 (3)不会变，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键． （1）设过点P作的平行线为，易得出，从而得出，．再根据，即得出； （2）根据平行线的性质结合角的和与差补全证明过程即可； （3）过点作，得到，推出，由为定值得到的大小不会随刀片的转动而改变． 【详解】（1）解：如图，设过点P作的平行线为． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：过点P作， （两直线平行，内错角相等）． ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ． ， （等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，等量代换； （3）证明：过点作， ∵ ∴， ∴，． ∵， ∵为定值， ∴的大小不会随刀片的转动而改变． 14．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练利用平行线的判定及性质探究角之间的关系是解题的关键． （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （2）①过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，即可求解； ②当在线段上（不与重合）时，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，，，即可求解； 当在的右边时，同理可求． 【详解】（1）证明：过作， ， ， ，， ； （2）解：①； 理由如下：过作， ， ， ， ， ， ； ②当在线段上（不与重合）时， 过作， ， ， ， ， ， ； ； 当在的右边时， 过作， 同理可求：； 综上所述：． 16．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）已知，点M、N分别在、上． (1)、间有一点E，点E在直线左侧，如图1．求证：． (2)当、间的点E在直线右侧时，如图2．之间有什么关系？ (3)如图3，当点E在、外侧时，探索之间有何关系？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可得解； （2）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可得解； （3）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 17．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义. （1）由平行线的性质求出，由角平分线的定义得，进而可求出的度数； （2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论； （3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴ （2），理由如下： 过点H作， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，； ∵， ∴， ∴． ∴ （3）由（1）知，， ∴． 如备用图1，当与共线前， ∵， ∴， ∴， 解得；    如备用图2，当与共线后， ∵， ∴， ∴， 解得；    综上可知，t的值为20或80． 18．（25-26七年级下·江西九江·期中）已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质得到，，进而得到，再利用角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求出的度数； （3）过点作，利用平行线的性质得到，，利用角的和差得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵和的角平分线交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得，， ∴， 整理得， ∴． 19．（24-25七年级下·吉林白城·月考）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为__________度． 【探究】如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系．并说明理由． 【拓展】如图③，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数＝__________． 【延伸】如图④，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数=__________．（用含的式子表示） 【答案】猜想：；探究：，理由见详解；拓展：；延伸： 【分析】猜想：如图（1），过E点作直线，根据平行线的性质可得，，从而可得的度数； 探究：如图（2），过E点作直线，根据平行线的性质可得，，进而可得； 拓展：运用图（1）的结论可得，，则可得，进而可得，，由此可得． 延伸：如图4，过E点作直线，则可得，．设，则，．进而可得，，利用图（2）的结论即可得的度数． 【详解】解：猜想：如图1，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 探究：，理由如下： 如图2，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 拓展：如图3，， 由图（1）得，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 延伸：如图4，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由图（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角的和差的计算．熟练掌握平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 21．（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，角平分线，平行公里的推论，邻补角，根据性质定理得到角的关系． （1）过E点作，再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到 （2）过点E作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到，再作，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，得到，的度数． （3）过点E作，如图，设，再利用角平分线性质得到，，再利用平行线性质、角平分线定义，作即可求出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作 ， ， ， ， ． （2）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，，， ∵， ∴， ∵平分平分 ∴ ∴， ∴． （3）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，， 有， 设， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∵平分 ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，直线，为平面内一点，点E，F分别在直线，上，连接，，． (1)如图（1），若点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图（2），若点在直线，之间，、分别是的平分线，、分别是的平分线，猜想与的数量关系以及与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），若点在直线的下方，、分别是的平分线，平分，平分，的反向延长线与直线相交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)度 (2)，，见解析 (3)， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，利用拐点作出辅助线是解题的关键． （1）过点向右作，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）设，，过点作，求得，得到，，过点作，过点Q向左作，据此即可求得，； （3）设，，求得，过点P向右作，过点Q向左作，同（2）的方法即可求得，，再求解即可． 【详解】（1）解：过点向右作， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （2）解：，， 设，， 分别是的平分线， ，， ，， 过点作， ， ∵，，， ∴， ， ， 分别是的平分线， ，， 过点作，过点Q向左作， 同理，可得， ， ，； （3）解：，， 过程如下： 设，， 分别是的平分线， ，， ，， 分别是的平分线所在直线相交于点， ，， ， ， 过点P向右作， ∵， ∴， ，， ， 过点Q向左作，同理可得： ， ， ， ， ，． 23．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，点E，F分别为直线，上的点，点在两平行线与之间，连接的平分线交于点． (1)如图1，过点作，若，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点． ①试说明：； ②请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)①理由见解析；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出； （2）①过点P作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，根据，求出结果即可； ②过点M作，根据平行公理得出，证明，设，，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①成立；理由见解析： 过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②如图，过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， 根据解析①可知：， ∴， 即． 24．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 过点G作点H在点G的左侧，证明得，，则，由此即可得出结论； 过点P作点E在点P的左侧，先求出，根据平分设，证明得，，则，由的结论得，由此即可得出的度数； 过P作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可． 【详解】（1）证明：过点G作点H在点G的左侧，如图1所示： ， ， ，， ， ， ∵，， ； （2）解：过点P作点E在点P的左侧，如图2所示： 平分，， ， 平分， 设， ， ， ，， ， 由的结论得：， ； （3）解：如图，过P作，过G作， ， ，， 平分，平分， 设，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·湖南永州·期末）【感知】（1）如图，，求的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①所示，过点P作， ， ________（平行于同一直线的两条直线平行）， ________（两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ， （________）， ，即． 【探究】（2）如图②所示，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【应用】（3）如图③所示，已知直线，点在直线a上，点在直线b上（点C在点D的左侧），连接，作直线平分，直线平分，且直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）图见解析，的度数为或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质与判定可求解； （2）依据题意，根据的平分线和的平分线交于点G，可得的度数； （3）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解． 【详解】（1）如图①所示，过点P作， ， （平行于同一直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ， （两直线平行，内错角相等）， ，即． （2）如图②所示， 是的平分线，是的平分线， ， ， 过点G作 （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∴． （3）当点A在B左侧时， 如图，过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ． 当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在上方时， 如图，过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ． 当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在下方时， 同理可求． 当点A在B右侧时，点E在和内时， 过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ， ，或， 综上，的度数为或或或或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 9 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·河北邢台·模拟预测）如图1，，为与之间的一点，连接，过点作，与相交于点． (1)求证：． (2)如图2，为上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请写出正确结论并证明． (3)如图3，为下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出正确结论． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，，，分别平分，，与的反向延长线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知直线，按如图所示的方式放置，点在直线上，，若，则的度数为_____． 例4（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为__________．（用含的式子表示） 例5（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 1．（2026·上海·模拟预测）如图，，，，那么____度． 2．（25-26七年级下·山东德州·期末）已知，平分，，，则___________． 3．（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 4．（25-26七年级下·全国·期中）如图，，点E在上，点H在上，点F在直线，之间，连接，，． (1)直接写出的度数为________； (2)如图②，平分，交的延长线于点M，试说明． 5．已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 6．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 7．（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 因为， 所以， 所以，， 8．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）（1）探究：如图1，，点G、H分别在直线、上，连接、，当点P在直线的左侧时，试说明； （2）变式：如图2，将点P移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，，点P在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点Q，用含有的式子表示的度数． 9．（24-25七年级下·吉林·月考）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图①，已知点是外一点，连接、．求的度数． 解：过点作，______，______，又，______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，若，点在、下方，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，、交于点，若，则______． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知，直线，点E．F分别在直线上，点H是直线与外一点，连接． (1)如图（1）， 若，，求的度数； (2)如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）， 若，，， 点P．H．Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）． 11．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知：如图，，分别探讨下列四个图形中与， 的关系，得出四个关系式，请以所得的四个关系式中任选一个加以说明． 12．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）有一天，李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E．连接、后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，、与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系． (1)你能探讨出图①至图④各图中的、与之间的关系吗？请你写出关系式； (2)请你说明图③所写关系式成立的理由． 13．（24-25六年级下·山东济南·期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作． （_____） ， （_____） ， ， _____．（_____） (3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：； 14．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 15．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 16．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）已知，点M、N分别在、上． (1)、间有一点E，点E在直线左侧，如图1．求证：． (2)当、间的点E在直线右侧时，如图2．之间有什么关系？ (3)如图3，当点E在、外侧时，探索之间有何关系？ 17．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 18．（25-26七年级下·江西九江·期中）已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 19．（24-25七年级下·吉林白城·月考）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为__________度． 【探究】如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系．并说明理由． 【拓展】如图③，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数＝__________． 【延伸】如图④，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数=__________．（用含的式子表示） 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 21．（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 22．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，直线，为平面内一点，点E，F分别在直线，上，连接，，． (1)如图（1），若点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图（2），若点在直线，之间，、分别是的平分线，、分别是的平分线，猜想与的数量关系以及与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），若点在直线的下方，、分别是的平分线，平分，平分，的反向延长线与直线相交于点，当时，直接写出的度数． 23．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，点E，F分别为直线，上的点，点在两平行线与之间，连接的平分线交于点． (1)如图1，过点作，若，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点． ①试说明：； ②请直接写出与的数量关系． 24．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 25．（24-25七年级下·湖南永州·期末）【感知】（1）如图，，求的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①所示，过点P作， ， ________（平行于同一直线的两条直线平行）， ________（两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ， （________）， ，即． 【探究】（2）如图②所示，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【应用】（3）如图③所示，已知直线，点在直线a上，点在直线b上（点C在点D的左侧），连接，作直线平分，直线平分，且直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $