专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的铅笔头模型是平行线拐点问题的经典模型，与猪蹄模型（M 型）、锯齿模型并列，核心是拐点在两条平行线外侧，形成 “尖角”，结论与猪蹄模型相反，解题关键仍是过拐点作平行线。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 9 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴由图①； 图②中过点E作，    ∵，∴，∴，， ∴，即， 同理可得图③，， ∴图4时，．故选C． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 例2（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 例3（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 例4（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3， ∵分别是的角平分线， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4），理由： 如图4，过C作，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 例5（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过M作，得到，推出，，求出，即可得到的度数． 本题考查平行线的性质，关键是过M作，得到，由平行线的性质来解决问题． 【详解】解：过M作， ， ， ，， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，准确进行推理证明．根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：如图， ， ， 平分， ， ，所以结论①正确； ， ， ，所以结论②正确； ， ， ， ， 平分， ， ，所以结论③不正确； ， ， ，所以结论④正确； 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②是①抽象出来的几何图形，其中，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的性质．通过作辅助线，得到，利用两直线平行，同旁内角互补，得到结果． 【详解】解：过A作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·广西河池·期末）如图，护眼灯（台灯底座高度忽略不计），其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【答案】130度/ 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作，得到即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：130度． 7．（24-25七年级下·天津河东·期末）如图，已知，点C为这两条平行线之间的一点，和的角平分线相交于点F，若，则的度数为 ． 【答案】/132度 【分析】本题考查平行线的性质，作，，则，根据角平分线的定义，设，，根据平行线的性质用含和的式子表示出和，结合即可求解． 【详解】解：如图，作，， 和的角平分线相交于点F， 设，， ，， ， ， ，，，， ，， ， ， 解得， 的度数为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点G在两条平行线之间，与的角平分线交于点H．若，则的度数为 ．                                         【答案】/42度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过点作，易得，同理得到，结合角平分线的定义，即可得出结果． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵与的角平分线交于点H， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质以及学生归纳总结找规律的能力，分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】解：当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出； （2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 13．（24-25七年级下·全国·月考）如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． (1)结论： ； ； ； ． (2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由． 【答案】(1)；；； (2)任选一个序号，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练运用平行线的性质进行推理是解题的关键． 过P作的平行线，再根据平行线的性质、角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：选择（1）中任意一个结论，证明同上． 14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 【答案】探究一：，理由见解析；探究二：；探究三：；探究四：或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分角的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 探究一：过点作，利用平行线的传递性和两直线平行同旁内角互补，即可得出结论； 探究二：过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，即可得出结论； 探究三：过点作，过点作，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，即可得出结论； 探究四：过点作，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行同旁内角互补得出，再利用角平分线得出，根据三等分角和两直线平行内错角相等得出． 【详解】解： 探究一：，理由如下， 如图所示，过点作， 又∵， ， ∴， 即， 故答案为：； 探究二：，理由如下， 如图所示，过点作， 又∵， ， ∴， 即； 探究三：，理由如下， 如图所示，过点作，过点作，过点作， 又∵， ， ， 即； 探究四：或，理由如下， 如图所示，过点作，过点作， 又∵， ， , ， ∵平分，平分， ， 又∵，， ， 故或． 15．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再结合角的和差关系可得答案． （3）如图，分别过作，的垂线，由（1）可得：，，证明，，，，可得，可得，过作的平行线，而，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点P作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （2）当点P在的右侧时，画出图形，过P点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （3）分两种情况讨论，①如图，当P在的左侧时，如图，当P在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：当点P在的右侧时，．理由： 如图，过P点作． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①如图，当P在的左侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，． ． 解得． 如图，当P在的右侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，， ． 解得． 综上：为或． 18．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质探究角的关系，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，进而可得； （3）作，则，根据两直线平行，内错角相等，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：， 证明：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：， 理由：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 20．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作， ． ，， ， ． ． ． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【答案】探究二：，见解析；探究三：；探究四：图形见解析；思维拓展： 【分析】本题考查平行线的判定与性质； 探究二：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究三：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究四：根据探究三的结果反方向画图即可； 探究三：过点、分别作作的平行线，根据探究的结果求解即可． 【详解】解：探究二：，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究三: ，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究四: 若，如图点符合条件， 思维拓展: ，证明如下： 过点作，点作，如图， ．， ∵， ， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25七年级下·江西赣州·期末）课本再现： 一般地，平行线具有性质： 性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． (1)【初步探究】如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．李华通过做辅助线实现等角转换，请你根据这一思路完成这题． (2)【方法运用】如图，已知，试说明，，之间的关系，并证明． (3)【解决问题】如图，已知，点在点的右侧，，点在点的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是作已知直线的平行线，根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据平角的定义可知，等量代换可证结论成立； 过点作，根据平行线的性质可知，，根据周角定义可知； 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角平分线的定义可知，，从而可知． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， ，， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ； （3）解：如下图所示，过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， ，， ． 22．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点P作，∴． ∵，，∴， ∴，∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，°，则 （2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线的上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数． 【答案】（1）70；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）延长至G，根据对顶角的性质求出，由[阅读理解]知：，结合即可求解； （2）过P作，根据平行线的性质得出，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （3）设，，则，，，， 由（2）知：，由[阅读理解]知：，结合，可得出，求出，即可求解． 【详解】解：（1）延长至G， 则， 由[阅读理解]知：， 又， ∴，即， 故答案为：70； （2）， 理由：如图，过P作， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （3）设，，则， ∵，的延长线平分， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， 由[阅读理解]知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知直线，是直线上一点，是直线上一点． (1)如图1，点在直线的下方，直线的上方，证明：； (2)如图2，若点在的上方，则之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，的平分线与的平分线交于点，则______ 【答案】(1)见解析； (2)不成立，，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差运算等知识，构造平行线是解题的关键． （1）过P作，则，有，，即可得； （2）过P作，则，有，， 由即可得之间的数量关系； （3）由（1）知：，则可得；平分，平分，得，由（1）知：，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：如图，过P作， ， ， ，， ， ； （2）解：不成立，； 理由：如图，过P作， ， ， ，， ， ， （3）解：由（1）知：， ， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， 由（1）知：， ． 故答案为：130． 24．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知，为两直线间的一点． (1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数； (2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？ (3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，即可得出结论； （2）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，再由平角的定义即可得出结论； （3）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，再由四边形内角和即可得出结论． 【详解】（1）解：如答图①，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵与的平分线相交于点D， ∴，， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由如下：如答图②，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵与的平分线相交于点D， ∴，， ∴ ， ∴． （3）解：． 理由如下：如答图③，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵的平分线与的平分线所在的直线相交于点D， ∴，． ∵ ， ∴． 25．（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移： （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动． ①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？ ②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①当点在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，；②当在延长线时，；当在之间时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当在延长线时，过作交于，结合图形可得；同理：可求当在之间时． 【详解】（1）解：如图：过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解 ：①，理由如下： 如图：过作交于， ， ， ， ； ②如图：当 P 在延长线时， 如图：过作交延长线于， ， ， ， 如图：当在之间时， 如图：过作交于， ， ， ， ． 26．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键． （1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解； （2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解； （3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）得，， ∴． （3）解：如图，过点作直线， ∵，， ∴， ， ∵由（1）得：， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的铅笔头模型是平行线拐点问题的经典模型，与猪蹄模型（M 型）、锯齿模型并列，核心是拐点在两条平行线外侧，形成 “尖角”，结论与猪蹄模型相反，解题关键仍是过拐点作平行线。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 9 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 例2（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，则的度数为 ． 例4（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 例5（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②是①抽象出来的几何图形，其中，，则 ． 6．（24-25七年级下·广西河池·期末）如图，护眼灯（台灯底座高度忽略不计），其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 7．（24-25七年级下·天津河东·期末）如图，已知，点C为这两条平行线之间的一点，和的角平分线相交于点F，若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点G在两条平行线之间，与的角平分线交于点H．若，则的度数为 ．                                         9．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 10．（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 11．（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 12．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 13．（24-25七年级下·全国·月考）如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． (1)结论： ； ； ； ． (2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由． 14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 15．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 16．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 18．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 19．（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 20．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作， ． ，， ， ． ． ． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 21．（24-25七年级下·江西赣州·期末）课本再现： 一般地，平行线具有性质： 性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． (1)【初步探究】如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．李华通过做辅助线实现等角转换，请你根据这一思路完成这题． (2)【方法运用】如图，已知，试说明，，之间的关系，并证明． (3)【解决问题】如图，已知，点在点的右侧，，点在点的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数． 22．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点P作，∴． ∵，，∴， ∴，∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，°，则 （2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线的上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数． 23．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知直线，是直线上一点，是直线上一点． (1)如图1，点在直线的下方，直线的上方，证明：； (2)如图2，若点在的上方，则之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，的平分线与的平分线交于点，则______ 24．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知，为两直线间的一点． (1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数； (2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？ (3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？ 25．（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移： （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动． ①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？ ②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系． 26．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $