专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）（几何模型讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.蛇形模型 4 10 蛇形模型（5字模型）是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似蛇的弯曲形态，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·浙江杭州·模拟预测）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键． （1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解； （2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解； （3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）得，， ∴． （3）解：如图，过点作直线， ∵，， ∴， ， ∵由（1）得：， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.蛇形模型 例1（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，，设，．下列说法中，正确的是（        ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则； 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的性质，数形结合分析进行判定即可求解． 【详解】解：如图所示，，即，延长交直线于点， ∴， 当时，，即， ∴，则， ∵与是变化的， ∴选项A，B中，不确定，表示不了， 假设C选项成立，即，则， ∴，由上述证明可得， ∴， 解得，， ∴，， ∴，故假设有误， ∴C选项错误，不符合题意； 若，如图所示， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确， 故选：D． 例2（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过作，过作，得到，推出，，，求出，得到，即可求出． 【详解】解：过作，过作，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 例3（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）如图是一款折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为______． 【答案】/108度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可，解题的关键是过拐点构造平行线． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和，，过点作射线，过点作射线，，，点和点分别在和上，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键．分别过点作，表示出，求出，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例5（25-26七年级下·浙江衢州·期中）如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”． (1)如图（2）所示，已知，请问成立吗？并说明理由； (2)如图（3）所示，已知，请问又有何关系？并说明理由； (3)如图（4）所示，已知．若，则 ． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，正确作出辅助线是解题的关键； （1）过E作，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得结论； （2）过E作，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得结论； （3）分别过E，F，G作的平行线，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得，即可得解． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 如图，过E作， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图，过E作， ， ， ， ． （3）解：如图，分别过E，F，G作的平行线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（25-26七年级下·四川内江·开学考试）如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行线公理的应用，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质和平行公理得出，根据角平分线的定义和平行线的性质得出，，即可得出，同理得出；；总结规律得出． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； 同理得：； ； …… ∴， 故选：C． 4．（25-26七年级下·广西来宾·期中）如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作的平行线，过点B作的平行线，由两直线平行，内错角相等可得；再根据两直线平行，同旁内角互补得出，根据图中角的关系求出，即得． 本题考查了平行线的性质．熟练掌握“两直线平行，同位角相等”；“两直线平行，同旁内角互补”；“两直线平行，内错角相等”．作辅助线．是解题的关键（方法不唯一）． 【详解】解：过点A作的平行线，过点B作的平行线，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴． 故选：C． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，则___________． 【答案】/540度 【分析】本题考查了平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系． 分别过作或的平行线，运用平行线的性质求解． 【详解】解：作， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·海南·期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是________，__________． 【答案】 平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行公理即可判断与的位置关系；过点A作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 如图，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：平行；． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，直线，，，，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，分别过点分别作的平行线，，设交于点，根据平行线的性质可得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点分别作的平行线，，设交于点， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 8．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，若，，且，，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质．过点E作，过点F作，则，根据平行线的性质，结合可证，再根据推出，即可列式求解． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ，， ， ， ，， ． ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则__________度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识，作，，，，由题意得到，进而得到，由角平分线的性质得到，，再得到即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作，，，，如图： ∵， ∴， ∴，，，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·重庆江津·月考）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为：___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【详解】解：过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，，试求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．延长，交于点H，过点H作，根据平行线的性质得出，从而得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交于点H，过点H作， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)①如图1，、、的数量关系为 ； ②如图，、、的数量关系为 ． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则 ． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与的数量关系是 ． 【答案】(1)①；② (2)①；②，见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）①过点作，根据平行线的性质即可解决问题； ②过点作，则，得，，然后求解作答即可； （2）①由（1）可知，，则，作，则，，，根据，计算求解即可； ②由①的结论，整理作答即可； ③由②可知，，同理可得，，，由角平分线可推导一般性规律为，由，可得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：①如图1，过点作， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：； ②如图，过点作，则， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①由（1）可知，， ， ，分别平分和， ，， ， 如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ②，理由如下： 由①可知，， 整理得，， ； ③由②可知，， 同理可得，，，， 由角平分线可知，，，， ，，， ，，， 可推导一般性规律为， ， ， 当时，， ，即． 故答案为：． 13．（2025七年级·山东·竞赛）如图所示，，试说明之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，根据平行线的性质、平行公理推论可得，，再根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，两个等式相加即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 在题干图中，即为． 14．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案． 【详解】（1）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （2）如图，过点F作， 由（1）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键． 15．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 16．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：过点B作， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（ ）， ∴， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线之间的点，连接平分，平分，设，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接平分，平分，已知，试探究的度数，若不变求其值，若变化说明理由． 【答案】（1）；平行于同一直线的两直线平行；（2）；（3）的值不变，为． 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质及角的和差求解即可； （2）根据角平分线定义、结合（1）结论求解即可； （3）根据角平分线定义、结合（1）结论求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；平行于同一直线的两直线平行； （2）∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴由（1）可得， ∴ ， ∴的度数为； （3）解：的值不变，为， 理由：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由（1）可得， ∴ ， ∵， ∴． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可； （2）根据题意，结合图形，可得，，可得到结果； （3）仿照（1）的运算，可得，，即可得到，结合已知条件，可得到结果． 【详解】解：（1）过点作， （两直线平行，内错角相等）， 又， （平行于同一直线的两直线平行）， ， ，，， ， 故答案为：两直线平行， 内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；； （2）如图2，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点作， 由（1）可知，， 即， ， ， ， ， 即， ，，， ， ， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：由（1）得：， 同理：， 平分，平分， ，， ， ； ， ； （3）解：，理由如下， ∵平分， ， 平分， ， ，即， ，即， ， ，即， ， 由（2）得：， ． 19．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则有，又因为，所以，则，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，过点作，所以，所以，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：如图，过点作，过点作， 因为， 所以， 所以，，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以． 20．（24-25七年级下·吉林·月考）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图①，已知点是外一点，连接、．求的度数． 解：过点作，______，______，又，______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，若，点在、下方，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，、交于点，若，则______． 【答案】（），；；（），理由见解析；（）． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则，，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，则，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，则，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：（）过点作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，；； （），理由， 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定，以及由特殊情况得到一般规律． 22．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 23．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 24．已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据可证，再根据可证，，然后根据平行公理推论可证； （2）①延长，交直线于点，先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得证； ②先求出，，，，，再过点作，过点作，根据平行线的性质可得，根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，然后根据建立等式，化简即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：①如图，延长，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵，，，， ∴，，， ∴， ∵和两角的角平分线交于点，且， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，求证：； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含的代数式表示）； (3)如图3，，，．直线交、分别于点、，若，，则的值是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过作，过作，易得，利用平行线的性质可求解； （2）由角平分线的定义可设，，延长交于点G，过点M作交于点H，又由（1）可得，，则，进而求解； （3）设，，则，， 分别过点M，N作，，则，由得，再由（1）的结论得，计算可求解n值． 【详解】（1）解：过作，过作， 又∵， ∴， 则，，，， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图2， ∵平分，平分， ∴设，， 延长交于点G，过点M作交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作， 则，， ∴， 又由（1）可得，， ∴， ∴， 即； （3）解：如图3，设，，则，， 分别过点M，N作，，则， ∴， ∴， 即， ∴， 又由（1）知， 得到， ∴． 26．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）作，证明，可得，故从而可得； （2）作，证明，设，则可得设故，又，即得，知； （3）作，，设设，，有，而，得，即可得． 本题考查平行线的判定与性质，解题的根据是作出辅助线，构造平行解决问题 【详解】（1）解：作，如图： ， ， ， ， ， ， ． ， ； （2）解：作，如图： ， ． ， ． ． ． ． 由平分，设，则． ． 由平分，设． ， 由（1）可知， ， ； （3）解：，理由如下： 作，，如图： 设，， 平分， ， 由（1）可知，． ， ， ． ． ． 27．（24-25七年级下·广东潮州·期末）已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，余角和补角等知识，解题的关键是充分利用平行线的性质进行求解； （1）过点作，利用平行线的性质求解即可； （2）过点G作，利用平行线的传递性，则，再利用平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得到，即可得到之间的关系，即可求解； （3）由（1）得再根据平分，，再根据条件，分别用表示出根据补角得出两者之间的等量关系，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如答案图，过点G作，则． ∴ ∴． 同理可得． ∵平分，平分 ． （3）解：由（1）得 平分， ， 又， ， 的余角等于的补角， ， 即， ， ， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.蛇形模型 4 10 蛇形模型（5字模型）是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似蛇的弯曲形态，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·浙江杭州·模拟预测）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.蛇形模型 例1（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，，设，．下列说法中，正确的是（        ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则； 例2（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）如图是一款折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为______． 例4（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和，，过点作射线，过点作射线，，，点和点分别在和上，，则的值是______． 例5（25-26七年级下·浙江衢州·期中）如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”． (1)如图（2）所示，已知，请问成立吗？并说明理由； (2)如图（3）所示，已知，请问又有何关系？并说明理由； (3)如图（4）所示，已知．若，则 ． 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川内江·开学考试）如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 4．（25-26七年级下·广西来宾·期中）如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，则___________． 6．（24-25七年级上·海南·期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是________，__________． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，直线，，，，，则的度数为________． 8．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，若，，且，，，则_______． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则__________度． 10．（25-26七年级下·重庆江津·月考）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为：___________． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，，试求的度数． 12．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)①如图1，、、的数量关系为 ； ②如图，、、的数量关系为 ． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则 ． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与的数量关系是 ． 13．（2025七年级·山东·竞赛）如图所示，，试说明之间的数量关系． 14．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 15．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 16．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：过点B作， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（ ）， ∴， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线之间的点，连接平分，平分，设，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接平分，平分，已知，试探究的度数，若不变求其值，若变化说明理由． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 18．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 19．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 20．（24-25七年级下·吉林·月考）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图①，已知点是外一点，连接、．求的度数． 解：过点作，______，______，又，______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，若，点在、下方，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，、交于点，若，则______． 21．（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 22．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 23．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 24．已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 25．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，求证：； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含的代数式表示）； (3)如图3，，，．直线交、分别于点、，若，，则的值是______． 26．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 27．（24-25七年级下·广东潮州·期末）已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $