专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 10 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（23-24下·安徽黄山·七年级校考期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C．7 D． 例2．（2024七年级上·广东·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 例3．（2024下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（    ）      A． B． C． D． 例4．（2024下·浙江温州·七年级统考期末）图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则 ．    例5．（24-25七年级下·成都·专项训练）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    例6．（2024下·山东菏泽·七年级统考期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．    （1）试说明：； 【类比应用】（2）已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数，请说明理由． ②如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为______． 例7．（2024下·重庆江津·七年级校联考期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数；(2)如图，判断、、之间的数量关系为 ．(3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 例8．（2024下·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知．【初步感知】（1）如图1，若，求的度数． 【拓展延伸】（2）如图2，当点E，F在两平行线之间，且B、E、F、C四点不在同一条直线上时．求证：．【类比探究】（3）如图3，若，，，，直接写出的度数．      1．（23-24下·浙江·七年级校考期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25重庆市七年级期末）如图，，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24下浙江·七年级校考期末）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 7．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图，是一段赛车跑道的示意图，其中，测得，．那么（    ）    A． B． C． D． 8．（2024下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 10．（2023·浙江七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则为 ．      11．（2023下·浙江·七年级校联考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座点O，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置（如图 2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则 ．    12．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，射线与交于点，射线与交于点．若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知）______（两直线平行，内错角相等） 是的角平分线（已知）______（角平分线定义）______（等量代换） （已知）______（______） （______）（等量代换） 13．（2023上·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图①，，且， (1)求的度数．(2)如图②，试猜想与、之间的关系．    14．（23-24七年级下·广西·期末）【阅读理解】如图①，已知点是外一点，连接，求的度数． （1）请将下面推理过程补充完整； 解：如图①，过点作，则________． 因为________________________，所以． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，已知，试说明：． 【深化拓展】（3）已知，点在点的右侧，，平分平分交于点，点在与两条平行线之间． ①如图③，若点在点的左侧，，求的度数． ②如图④，若点在点的右侧，，直接写出的度数． 15．（2024下·甘肃庆阳·七年级校考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， （已知），（已作）， (　　．(　　)． ，　　(　　)， ，（等量代换）． （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是 　　；（3）解决问题：如图③，，，，请求出的度数． 16．（2024下·湖北·七年级统考期末）如图，．    (1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知．①如图2．若，求的度数； ②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系． 17．（23-24七年级下·四川成都·期末）劳动课正式成为义务教育阶段必修课程，小明在区劳动教育实践基地学习铁艺作品的制作，他用铁丝弯折得到如下的形状． (1)如图1，已知，，若，求的度数； (2)若将铁丝弯折成如图2所示形状，若，求证：； (3)再拿出另外一根铁丝弯折成，与图2中的铁丝叠放成如图3的形状．当，，，且，，求的度数． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，点在直线、之间，且． （1）求证：； （2）若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数； （3）如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______（请直接写出答案，用含的式子表示）． 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 10 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（23-24下·安徽黄山·七年级校考期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：过C作，    ∵，∴，∴，， ∵，∴ ∴．故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等． 例2．（2024七年级上·广东·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则，，，， ，，，， ，， ，． 例3．（2024下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作，再根据平行线的性质得出，，求解即可． 【详解】过点E作，∴，      ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 例4．（2024下·浙江温州·七年级统考期末）图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则 ．    【答案】 42 /76度 【分析】如图2，过点B作，则，利用平行线的性质求出，再利用平行线的性质即可求出；如图3，延长交于H，利用三角形外角的性质求出，利用平行线的性质求出，然后根据的度数列式计算即可． 【详解】解：如图2，过点B作，       ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴；如图3，延长交于H， ∵，，∴， ∵，∴， 又∵，∴，故答案为：42，． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键． 例5．（24-25七年级下·成都·专项训练）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ，，，， ， ，． 例6．（2024下·山东菏泽·七年级统考期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．    （1）试说明：； 【类比应用】（2）已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数，请说明理由． ②如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为______． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）过点作，根据平行线性质即可证明结论成立；（2）①过点作，根据平行线性质可得，，即可求出的度数；②过点作，根据平行线性质可得，，即可得出，从而得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作．    ，，， ，即：； 解：（2）①如图，过点作，      ，，，，， ，∴； ②如图，过点作，      ，，，， ，， ；故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，，熟练掌握平行线的性质正确作出辅助线是解答本题的关键． 例7．（2024下·重庆江津·七年级校联考期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数；(2)如图，判断、、之间的数量关系为 ．(3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数；（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作，，， ，，， ，，； （2）如图2，过点作，则，，， ，， ，故答案为：； （3）如图3，设交于点，，， ，∴ ，，，， 平分，，， 由（2）得：，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线的意义，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例8．（2024下·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知．【初步感知】（1）如图1，若，求的度数． 【拓展延伸】（2）如图2，当点E，F在两平行线之间，且B、E、F、C四点不在同一条直线上时．求证：．【类比探究】（3）如图3，若，，，，直接写出的度数．      【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，得，再代入，可求得； （2）过E作，过点F作，根据平行公理的推论得，由平行线的性质，，可得，由平行线的性质得，从而； （3）由上结论知，进而得，从而，由“8”字三角形得，进而便可求得的度数． 【详解】（1）解：∵，∴ ∵∴ ∴ （2）证明：过E作，过点F作．      ∵，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴； （3）解：由上结论知，， ∴， ∵，，∴， ∵， ∵，，∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键． 1．（23-24下·浙江·七年级校考期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，添加平行线是解题的关键．过点C作，根据平行线的性质可求得，从而，再根据平行线的传递性可得，最后根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作，，， ，，，，．故选：A 2．（24-25重庆市七年级期末）如图，，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质解题的关键． 根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ，．故选：A． 3．（23-24下浙江·七年级校考期末）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ，，， ， ，．故选：D． 4．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质：分别过G、H作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】解：如图，分别过G、H作的平行线和，∵，∴， ∴，， ∴， ， ∴， 又，∴，∴， ∴，∴，故选B． 5．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，故选：． 6．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到，，过M作，过N作，再利用平行线的判定与性质得到，，，，经过角度之间的运算得到，，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分，∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵，∴，，∴，， ∴，即， 又∵， ∴，即，故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 7．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图，是一段赛车跑道的示意图，其中，测得，．那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过“拐点”作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示：    ∵，∴，∴， ∴；故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质．正确作出辅助线是解题关键． 8．（2024下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点C作，根据平行线的性质和判定即可判断． 【详解】过点C作    ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴．故选：C 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 9．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵，∴，∴；同理可得， ∴，，，∴， 则，， 即∴；故答案为：． 10．（2023·浙江七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则为 ．      【答案】 【分析】过点B作，则，根据平行线的性质，先求出，再得出，即可求解． 【详解】解：过点B作，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，故答案为：160．      【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 11．（2023下·浙江·七年级校联考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座点O，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置（如图 2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则 ．    【答案】/40度 【分析】延长交于点F，延长交于G，可得，可得，在四边形中，利用四边形内角和为列出等式计算即可． 【详解】解：延长交于点F，延长交于G，如图．    ，，， ，，，， ，，， ∵是的两倍， ∵，， 在四边形中，， ，解得．故答案为：． 【点睛】此题考查平行线的性质，四边形的内角和定理，一元一次方程的应用，利用图形性质建立方程求解是解题关键． 12．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，射线与交于点，射线与交于点．若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知）______（两直线平行，内错角相等） 是的角平分线（已知）______（角平分线定义）______（等量代换） （已知）______（______） （______）（等量代换） 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义、平行线的判定与性质等进行作答即可． 【详解】证明：∵（已知）∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知）∴（角平分线的定义）∴（等量代换） ∵（已知）∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等）∴（等量代换） 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 13．（2023上·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图①，，且，    (1)求的度数．(2)如图②，试猜想与、之间的关系． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）过作，根据两直线平行，同旁内角互补进行计算； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，以及两直线平行，同旁内角互补进行计算． 【详解】（1）解：过作，       ，，， 又，，； （2）猜想：．证明：过点作，则， ，，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 14．（23-24七年级下·广西·期末）【阅读理解】如图①，已知点是外一点，连接，求的度数． （1）请将下面推理过程补充完整； 解：如图①，过点作，则________． 因为________________________，所以． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，已知，试说明：． 【深化拓展】（3）已知，点在点的右侧，，平分平分交于点，点在与两条平行线之间． ①如图③，若点在点的左侧，，求的度数． ②如图④，若点在点的右侧，，直接写出的度数． 【答案】[阅读理解]（1） [方法运用]（2）证明过程见详解 [深化拓展]（3）①；② 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，角的和差计算方法， [阅读理解]（1）根据平行线的性质可得，结合平角的性质即可求解； [方法运用]（2）如图所示，过点作，可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解； [深化拓展]（3）①如图所示，过点作，可得，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质即可求解； ②如图所示，过点作，同理可得，，根据平行线，角平分线的性质即可求解． 【详解】解：[阅读理解]（1）如图所示，过点作，则， ∵，∴， 故答案为：； [方法运用]（2）如图2所示，过点作， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴； [深化拓展]（3）①如图3所示，过点作， ∵，∴，∴，∴， ∵平分，平分，， ∴，∴； ②如图4所示，过点作， 同理可得，，∴，∴， ∵平分，平分， ∴，∴， ∴． 15．（2024下·甘肃庆阳·七年级校考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， （已知），（已作）， (　　．(　　)． ，　　(　　)， ，（等量代换）． （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是 　　；（3）解决问题：如图③，，，，请求出的度数． 【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；（2）；（3）． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行选填即可； （2）利用（1）中的方法和两直线平行，同旁内角互补可得到； （3）作，如图③，利用平行线的性质得到，，则，所以，从而得到的度数． 【详解】（1）证明：过点作，如图①，       （已知），（辅助线的作法）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （作图），，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换），即． 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等． （2）解：作，如图②， ，，，， ；故答案为：． （3）解：作，如图③， ，，，， ，，． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握性质和判定是做题的关键． 16．（2024下·湖北·七年级统考期末）如图，．    (1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知．①如图2．若，求的度数； ②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析；(2)①；②； 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （2）①分别过点作，利用平行线的性质求解即可；分别过点作，过点作，利用平行线的性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下：过点作，如下图：          则∴， 又∵，∴； （2）解：①分别过点作，如下图： 则，∴，， 又∵， ∴∴； ②分别过点作，过点作，如下图： 则，∴，， ∴，由①可得：； ∵和的平分线交于点G，∴， ∴ 由题意可得：； ∴； 【点睛】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质． 17．（23-24七年级下·四川成都·期末）劳动课正式成为义务教育阶段必修课程，小明在区劳动教育实践基地学习铁艺作品的制作，他用铁丝弯折得到如下的形状． (1)如图1，已知，，若，求的度数； (2)若将铁丝弯折成如图2所示形状，若，求证：； (3)再拿出另外一根铁丝弯折成，与图2中的铁丝叠放成如图3的形状．当，，，且，，求的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质及已知即可求得结果；（2）过D作，过C作，由平行线的判定与性质即可证得；（3）利用（2）中得到的结论，结合已知即可求得． 【详解】（1）解：∵，，∴，， 又，∴，∴； （2）证明：过D作，过C作， ∵，∴，∴，，， ∴，∴， 又，∴； （3）解：由（2）中的结论，得， ∵，，∴． ∵，，∴，，， ，同理可得，∴． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，点在直线、之间，且． （1）求证：； （2）若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数； （3）如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______（请直接写出答案，用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）10°；（3） 【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明； （2）过点E作HE∥CD，设 由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，由平行线的性质，得出再由平分，得出则，则可列出关于x和y的方程，即可求得x，即的度数； （3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，根据和，得出根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根据NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因为，代入的式子即可求出． 【详解】（1）过点E作EF∥CD，如图， ∵EF∥CD,∴ ∴ ∵,∴ ∴EF∥AB，∴CD∥AB； （2）过点E作HE∥CD，如图，设 由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE， ∴∴ 又∵平分，∴ ∴即解得：即； （3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM， ∵NP∥CD，CD∥QM，∴, 又∵，∴ ∵,∴∴ 又∵PN∥AB，∴ ∵,∴ 又∵AB∥QM，∴∴ ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系． 21 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$