专题02 相交线与平行线10大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材冀教版

专题02 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角与邻补角的辨析及角度计算 题型02 垂线性质应用与点到直线的距离判断 题型03 三线八角 题型04 平行线判定的应用 题型05 平行线性质的应用 题型06平行线判定与性质结合的几何证明题 题型07 多组相交线与平行线综合角度计算 题型08 含拐点的平行线角度计算 题型09 多拐点复杂平行线角度计算 题型10 角平分线与平行线综合计算与证明 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角与邻补角 1. 精准区分对顶角和邻补角，牢记两者定义与位置特征，理清位置和数量双重关系；2. 熟练运用“对顶角相等”“邻补角之和为180°”两大性质完成角度计算； 2. 明确补角与邻补角的核心区别，杜绝概念混淆，不盲目套用公式 基础必考点，多以选择、填空题考查，角度计算为高频题型，易错点集中在概念混淆、漏算邻补角、混淆补角与邻补角 垂线与垂线段 1. 掌握垂线定义，能准确判断两直线垂直，规范书写垂直符号； 2. 牢记垂线两大核心性质：同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短； 3. 严格区分“垂线段”与“点到直线的距离”，明确距离是垂线段的长度，而非线段本身 基础高频考点，性质常出填空选择题，常考垂线作图题，易错点为混淆垂线段与距离、忽略“同一平面”前提条件 同位角、内错角、同旁内角 1. 精准掌握三类角的位置特征，快速找准截线与被截直线； 2. 能在复杂几何图形中剥离干扰线，准确分辨三类角； 3. 吃透三类角的形成条件，夯实平行线判定与性质的解题基础 几何入门核心基础考点，是平行线题型的解题关键，常结合平行线综合考查，易错点为找错截线、混淆三类角位置关系 平行线的判定 1. 牢记平行线定义：同一平面内不相交的两条直线互相平行； 2. 熟练运用三大判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行； 3. 结合对顶角、邻补角、垂线性质，综合判定两直线平行； 4. 掌握平行公理及推论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，平行于同一直线的两直线互相平行 本章核心考点，解答证明题必考，选择填空高频涉及，是几何推理的基础，易错点为判定定理用反、忽略平行公理“直线外一点”的前提 平行线的性质 1. 熟练掌握平行线三大性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； 2. 清晰区分判定与性质（判定：由角的关系推线平行；性质：由线平行推角的关系），避免混用； 3. 结合全章角的性质，完成综合角度计算与几何证明； 4. 规范几何说理步骤，做到逻辑清晰、有理有据 本章重难点，考试分值占比高，是计算与证明题核心考点，易错点为性质与判定混淆、角度计算遗漏隐含条件 平移 1. 理解平移定义，掌握平移方向、平移距离两大核心要素； 2. 牢记平移性质：平移前后图形形状、大小不变，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连线段平行且相等； 3. 能判断平移变换，完成简单平移作图，区分平移与其他图形变换 基础考点，多以选择题、作图题考查，性质为高频考查内容，易错点为忽略对应点连线的位置关系、混淆平移与轴对称/旋转 相交线与平行线综合 1. 整合全章概念、判定、性质，解决综合角度计算与几何证明题； 2. 掌握平行线常见辅助线添加方法，破解复杂角度问题； 3. 规范几何解题格式，强化逻辑推理能力； 压轴题、综合解答题常考，用于区分中等生与优等生，易错点为逻辑混乱、定理混用、辅助线添加错误、步骤不规范 知识点01 对顶角 定义：两条直线相交形成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。 核心性质：对顶角相等 示例：直线AB、CD交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，若∠AOC=35°，则∠BOD=35°。 易错点：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；只有两条直线相交才会产生对顶角，单独一个角不存在对顶角。 知识点02 邻补角 定义：两条直线相交形成的角中，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。 核心性质：邻补角之和为180°（互补） 示例：直线AB、CD交于点O，∠AOC与∠AOD是邻补角，若∠AOC=40°，则∠AOD=140°。 易错点：补角只要求数量和为180°，无位置要求；邻补角既有位置相邻，又有数量互补，二者缺一不可，切勿混淆。 知识点03 垂线 定义：两条直线相交，若夹角为直角（90°），则这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点叫垂足，记作：a⊥b。 核心性质： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 示例：过直线l外一点P，作PQ⊥l于Q，PQ的长度就是点P到直线l的距离。 易错点：混淆“垂线段”和“点到直线的距离”，垂线段是线段，距离是线段的长度（数值），不是图形；忽略“同一平面内”的前提，空间中该性质不成立。 知识点04 三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 前提：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成八个角，简称三线八角。 同位角：位置相同，在截线同侧，被截两直线同一方（形如“F”型）； 内错角：在截线两侧，被截两直线之间（形如“Z”型）； 同旁内角：在截线同侧，被截两直线之间（形如“U”型）。 示例：直线a、b被截线c所截，∠1与∠2是同位角，∠3与∠4是内错角，∠5与∠6是同旁内角。 易错点：找错截线和被截线，混淆三类角的位置；三类角不一定相等，只有两直线平行时，才有特定的数量关系。 知识点05 平行线 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作：a∥b。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性）。 示例：若a∥b，b∥c，则a∥c。 易错点：忽略“同一平面内”前提，空间中不相交的直线不一定平行；平行公理是“直线外一点”，直线上的点无法作平行线。 知识点06 平行线的判定定理 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行； 推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 示例：直线a、b被截线c所截，若同位角∠1=∠2，则a // b。 知识点07 平行线的性质定理 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 示例：若a∥b，内错角∠3=∠4；同旁内角∠5+∠6=180°。 知识点08 平移 定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，这种图形变换叫做平移。 核心要素：平移方向、平移距离 核心性质： 平移前后，图形的形状、大小完全不变，只改变位置； 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等； 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 示例：将△ABC沿水平方向向右平移3cm，得到△DEF，△ABC与△DEF形状、大小完全相同。 易错点：混淆平移与轴对称、旋转；忽略对应点连线“共线”的特殊情况，误以为一定平行。 题型一 对顶角与邻补角的辨析及角度计算 解｜题｜技｜巧 先找准两条相交直线的交点，区分对顶角和邻补角的位置特征； 对顶角抓“两边反向延长”，直接用“对顶角相等”计算； 邻补角抓“共边、反向延长线”，利用“两角和为180°”列算式计算； 复杂图形先拆分单一相交直线组，排除干扰线条，避免混淆角的对应关系 易｜错｜点｜拨 混淆补角与邻补角，补角无位置要求，邻补角需同时满足位置相邻和数量互补； 误以为相等的角就是对顶角，忽略对顶角的位置前提； 计算时漏算角的和差，垂直相关角度未转化为90°代入；单独一个角错误判定为对顶角或邻补角。 【典例1】当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示），若，，则光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设所改变的角为x， 则所得的角与互为对顶角，即， ∴ ∴， ∴光的传播方向改变了17， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·河北保定·月考）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【变式2】如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， 答：的度数为； （2）解：∵平分， ∴， 设，由于，则， 由平角的定义可得，， 解得，， 即 ∴． 题型二 垂线性质应用与点到直线的距离判断 解｜题｜技｜巧 判断两直线垂直，优先找90°夹角或直角符号； 牢记垂线两大核心性质，同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短； 严格区分“垂线段”和“点到直线的距离”，距离是垂线段的长度，是数值而非线段； 找垂线段时，过点作已知直线的垂线，垂足所在线段即为垂线段 易｜错｜点｜拨 把垂线段等同于点到直线的距离，概念混淆； 忽略“同一平面内”的前提，盲目应用垂线性质；找错垂线段，误将斜线段当作点到直线的距离； 过直线上一点和直线外一点作垂线的规则混淆，作图或判断失误 【典例1】如图，已知直线与相交于点，为了说明，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有乙不正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．以上都不正确 【答案】C 【解析】解：， ， 故甲正确， ，， ， ， 故乙正确， ，， ， ， 故丙正确， 综上所述，甲、乙、丙都正确， 故选：C． 【变式1】如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故①正确； ∴；故②正确； ；故③正确； 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，直线，相交于点O，，． (1)直接写出图中的所有余角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）解： ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴图中的所有余角为：，，； （2）解：，， ， ， ，， ． 题型三 三线八角 解｜题｜技｜巧 先确定截线和被截的两条直线，核心是先找“第三条截线”，再看角的位置； 借助形状特征快速分辨，同位角呈F型、内错角呈Z型、同旁内角呈U型； 复杂图形中，先遮盖无关线条，简化图形后再判断，明确三类角仅与位置有关，与角度大小无关 易｜错｜点｜拨 找错截线与被截直线，导致角的类型判断错误； 混淆内错角和同旁内角的位置； 受干扰线影响，误判角的归属； 认为三类角一定相等，忽略只有两直线平行时，才有对应相等或互补的数量关系。 【典例1】（24-25七年级下·河北沧州·期末）若和是同旁内角，，则的度数（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系，据此分析判断即可得． 【解析】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角互补，因此的度数不能确定， 故选：D． 【变式1】（21-22七年级下·河北衡水·期中）如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠A和∠BDC是同位角 B．∠ABD和∠BDC是内错角 C．点A到BC的距离是线段AC的长度 D．点B到AC的距离是线段BD的长度 【答案】C 【解析】解：A．∠A和∠BDC是直线AB、直线BD，被直线AC所截，得到的同位角，因此选项A不符合题意； B．∠ABD和∠BDC是直线、直线AC被直线BD所截，得到的内错角，因此选项B不符合题意； C．点A到BC的距离是线段AB的长度，因此选项C符合题意； D．线段BD的长是点B到直线AC的距离，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（20-21七年级下·河北邯郸·期中）如图所示，同位角共有（   ） A．6对 B．8对 C．10对 D．12对 【答案】C 【解析】解：如图所示 由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对； 射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角； 射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角； 射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角． 则总共10对． 故选C． 题型四 平行线判定的应用 解｜题｜技｜巧 熟记三大判定定理，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行； 结合对顶角、邻补角、垂直性质，先推导角的相等或互补关系，再套用判定定理； 额外掌握推论，同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，简化判定步骤。 易｜错｜点｜拨 判定定理选用错误，角的关系与定理不匹配； 忽略定理前提条件，无依据直接判定平行； 平行公理忽略“直线外一点”的限制； 说理过程无逻辑，直接得出平行结论，无角关系推导 【典例1】（25-26·河北张家口·期末）将一块含有的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图所示，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴一定能判断，故D选项符合题意； 当时，，此时，但与不一定相等，故不一定能判断， ∴A选项不符合题意； ∵， ∴， 若，则，由A选项可得，B选项不符合题意； ∵， ∴当时，， ∵的度数不确定，故C选项不符合题意； 故选：D ． 【变式1】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 【变式2】（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 题型五 平行线性质的应用 解｜题｜技｜巧 核心逻辑是“由线平行推角的关系”，直接对应三大性质，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； 先锁定平行线，再找对应的同位角、内错角、同旁内角，结合角的和差、对顶角、邻补角计算； 规范标注已知平行关系，逐一对应角的数量关系。 易｜错｜点｜拨 性质与判定混淆，逻辑颠倒；找错平行线下的对应角，角度关系判断失误； 同旁内角忘记互补，误判为相等； 漏算隐含角关系，计算结果出错。 【典例1】（25-26·河北石家庄·开学考试）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．因为与是同位角，所以这两个角相等 C．与是同旁内角，当这两个角相等时，直线与直线平行， D． 【答案】D 【解析】解：A．与不是同位角，该项错误，不符合题意； B．因为与是同位角，与不一定平行，所以这两个角不一定相等，该项错误，不符合题意； C．与是同旁内角，当这两个角互补时，直线与直线平行，该项错误，不符合题意； D．∵与为对顶角， ∴，该项正确，符合题意． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请在下方写上证明过程） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【答案】（1）（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（或互补）；证明见解析； （3）相等或互补 【解析】解：（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：（或互补）； （3）综合（1）中（两角相等）和（2）中（两角互补），可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 题型六 平行线判定与性质结合的几何证明题 解｜题｜技｜巧 理清因果链条，先通过角的关系用判定定理证平行，再由平行关系用性质定理推角的关系； 逆向分析思路，从结论倒推所需条件，再正向书写证明过程； 每一步推导标注依据，如对顶角相等、两直线平行，内错角相等，保证逻辑严谨； 分步推导，不跳步，逐步衔接已知和结论。 易｜错｜点｜拨 判定和性质混用，因果倒置； 证明过程逻辑跳跃，无中间推导环节； 定理依据标注错误或不标注； 忽略题目隐含条件，无法衔接角与线的关系 【典例1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，分别是上的点，是上的点，连接，如果， (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【解析】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）补充完成下面证明过程． 如图，，求证：． 证明：（已知）， 又（　　）， （　　）， （　　）． （　　）． （　　）． （　　）， （　　）， （　　）． 【答案】见解析 【解析】证明：（已知）， 又（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 【变式2】（25-26·河北张家口·期末）完成下面证明过程． 已知：如图，点D，H在上，点G在上，点E在上，，垂足分别为H，D，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（ ）， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （同角的补角相等）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，同位角相等 【解析】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，同位角相等． 题型七 多组相交线与平行线综合角度计算 解｜题｜技｜巧 分步拆解图形，先处理一组相交线或平行线，算出过渡角； 依次串联对顶角、邻补角、垂线、平行线的相关性质，层层推导未知角； 标注所有已知角和推导角，理清角的相等、互补、和差关系；遇到多个截线，逐一区分对应平行线组，避免角对应混乱 易｜错｜点｜拨 跳步计算导致推导错误； 多组平行线混淆截线，角度对应错误； 遗漏过渡角，思路断裂；未梳理角的和差关系，盲目计算。 【典例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知：．试说明：． 请你填空，完成推理过程． 证明：（已知） 且（__________） （等量代换） __________（__________） （__________） （已知） （等式的基本性质） 即 （__________） 【答案】对顶角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【解析】证明：（已知） 且（对顶角相等） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等式的基本性质） 即 （内错角相等，两直线平行） 故答案为：对顶角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【解析】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 【变式2】（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【解析】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ， ． 题型八 含拐点的平行线角度计算 解｜题｜技｜巧 固定解题方法，过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理推论，得到三条直线互相平行； 将未知角拆分为两个角的和或差，分别利用平行线性质计算； 辅助线画法规范，标注平行符号，拆分后逐一推导角度，再合并得出结果 易｜错｜点｜拨 不会添加辅助线，无解题思路； 辅助线未与已知直线平行，画法错误；拆分角度时和差关系搞反； 忽略辅助线产生的新的角关系，推导不完整。 【典例1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 【变式1】在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据所学知识完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成（2）． (1)过点作． ，， ____________， ______（           ）， 又， ， 又， ______． (2)如图2，现有含角的直角三角板，含角的直角三角板，将这一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板的斜边与纸条一边重合，直角三角板的顶点在纸条的另一边上，点与点重合，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：过点作． ，， ， （两直线平行，内错角相等）， 又， ， 又， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ， ． 【变式2】（20-21七年级下·河北保定·期末）（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（）；（）点在内部时，，则；是真命题；证明见解析；（），理由见解析． 【解析】解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 题型九 多拐点复杂平行线角度计算 解｜题｜技｜巧 每个拐点依次作平行线，构建连续平行的直线组； 总结角度规律，根据拐点方向判断角度相加或相减； 可结合方程思想，设未知角为未知数，利用平行线性质列方程求解； 整体梳理等量关系，避免单个角度逐一计算，简化运算 易｜错｜点｜拨 拐点过多时辅助线添加混乱，平行关系断裂； 角度和差规律判断错误，方向混淆； 方程设元不合理，列错等量关系式； 忽略平行传递性，导致角度推导出错 【典例1】（25-26·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【答案】(1) (2) (3)或或或 【解析】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【变式2】解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【解析】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 题型十 角平分线与平行线综合计算与证明 解｜题｜技｜巧 先利用角平分线定义，得出角的倍分、相等关系，即角平分线将角分成两个相等的角； 结合平行线性质，推导角的等量代换关系； 设未知数表示相关角度，利用同旁内角互补、对顶角相等列方程求解； 重点梳理角平分线和平行线结合产生的等角模型，快速锁定等量关系。 易｜错｜点｜拨 角平分线的倍分关系用反，角度计算错误； 角的等量代换逻辑混乱； 方程列错，忽略互补或相等的隐含条件； 计算时度数、符号出错，结果不符合题意 【典例1】请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【答案】；；同角的补角相等；；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】证明：（已知）， （邻补角互补）， （同角的补角相等）． 平分平分， ，（角平分线的定义）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 【变式1】已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间． 【素养发展】 (1)平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则 ； 【方法运用】 (2)如图2，求证：； 【应用拓展】 (3)如图3，分别作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间），若，求的度数； (4)在图2中，若，，且均同时在同侧，P点在之间．请直接写出的度数．（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4) 【解析】（1）解：过点M作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵ ，， ∴； 故答案为：； （2）证明：过点M作，如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴； （3）解：∵、分别是和的平分线， ∴，， 过点P作，如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴； （4）解：过点P作，如图所示：     ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③；理由见解析 (2)不同，见解析 【解析】（1）解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，； ③， 理由：由上可知：， ∴； （2）解：不同，当点在之间时，分2种情况： ①如图：作，则， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ②如图：作，则， 则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 当点在下方时，如图： 同（1）法可知：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．（2022·河北保定·一模）如图，设点P是直线l外一点， ，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵垂线段最短， ∴， 故选：A． 3．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知：，那么下列结论中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ，故选项B正确； 当点可以是延长线上任意一点，如图，如点在点时，    故选项A，C，D不正确． 故选：B． 4.如图，已知，，，求．（请填空） 解：∵， ∴________（________________） 又∵， ∴（________________） ∴________（________________________） ∴________（________________________） ∵， ∴________（____________） 【答案】； 两直线平行， 同位角相等； 等量代换； ； 内错角相等， 两直线平行； ； 两直线平行，同旁内角互补；  ； 补角定义 【解析】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴（补角的定义）； 5.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，． ①则与的关系是________； ②与互为________；与互为________．（填“内错角”“同位角”或“同旁内角”） 【答案】(1)见解析 (2)①②同旁内角，内错角 【解析】（1）解：三角形如图所示： （2）解：①现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是点，的对应点． 得出三角形 则与的关系是 ②连接 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24·河北唐山·月考）如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点．下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过A点作，交于点H，如图，    ∵平分， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2.（24-25七年级下·河北张家口·期中）一个自行车的示意图如图所示，其中，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 3.如图，已知，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④不正确， ∴正确的结论有①②③． 故选：A． 4.如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)都是的补角 (2) (3)或 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是的补角； （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设的度数为x，则， 分两种情况： ①当在的上方时，如图1， ∵， ∴， ， ∴， ②当在的下方时，如图2， ， ∴， ， ∴， 综上，的度数为或． 5.已知直线．E为平面内一点，连接． (1)如图1，点E在两平行线之间，请直接写出和之间的数量关系． (2)如图，点E在直线的上方． ①如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点F，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）解：过点E作直线，如下图所示 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①过点E作直线，如下图所示 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②过点E作直线，延长交于点S，过点F作直线，延长交于点R，如下图所示, ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025·河北石家庄·三模）如图1是一辆竖直放在地面上的自行车，如图2是其示意图，其中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图， ，， ， ， ， 故选：C． 2.（22-23七年级下·河北邯郸·月考）题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【解析】解：①如图，与的边平行   沿折叠得到， 又 ②如图，与的边平行，   沿折叠得到， 故选：B． 3.（2023·河北沧州·模拟预测）一副三角尺如图1摆放，将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕定点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当时，，关于符合题意的的其他可能度数，甲说是45°和60°，乙说是105°和135°，则（    ）    A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．甲、乙的说法合在一起才正确 D．甲、乙的说法合在一起也不正确 【答案】C 【解析】      （1）如图，， ∴ ∴ ∴ （2）如图，    ∴ ∴ ∴ （3）如图， 而 ∴ ∴    （4）如图， ∴ ∴ ∴    （5）如图， ∴ ∴ ∴    故选C． 4.（24-25七年级下·河北沧州·月考）已知：如图1，，点E，F分别为上一点． (1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明． (2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)图形见解析，．．证明见解析 (2)，． 【解析】（1）解：①如图， ，； ，； ②证明：如图，过点作， ， 则， ， ， ， ， ； 如图，过点作， ， 则， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， 则， ， ， ，， ，， ； 如图，过点作，过点作， 则， ， ， ，， ，， ， ． 5.（23-24七年级下·河北沧州·期中）将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得． (1)当边落在内时（如图2），求的度数； (2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)15秒或24秒或27秒或33秒 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、三角板中角的运算、一元一次方程等知识，分情况讨论和数形结合是解题的关键． （1）由题意可得，作差即可得到答案； （2）按照旋转时间的变化分情况画图进行解答即可． 【解析】（1）解： ， ， ， 即的度数为； （2）解：如图1，当时，， （秒）； 如图2，当 时，， （秒）； 如图3，当时，， （秒）； 如图4，当时，， （秒）； 如图5，当时，， （秒）； 综上可知，所有符合条件的的值为15秒或24秒或27秒或33秒． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角与邻补角的辨析及角度计算 题型02 垂线性质应用与点到直线的距离判断 题型03 三线八角 题型04 平行线判定的应用 题型05 平行线性质的应用 题型06平行线判定与性质结合的几何证明题 题型07 多组相交线与平行线综合角度计算 题型08 含拐点的平行线角度计算 题型09 多拐点复杂平行线角度计算 题型10 角平分线与平行线综合计算与证明 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角与邻补角 1. 精准区分对顶角和邻补角，牢记两者定义与位置特征，理清位置和数量双重关系；2. 熟练运用“对顶角相等”“邻补角之和为180°”两大性质完成角度计算； 2. 明确补角与邻补角的核心区别，杜绝概念混淆，不盲目套用公式 基础必考点，多以选择、填空题考查，角度计算为高频题型，易错点集中在概念混淆、漏算邻补角、混淆补角与邻补角 垂线与垂线段 1. 掌握垂线定义，能准确判断两直线垂直，规范书写垂直符号； 2. 牢记垂线两大核心性质：同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短； 3. 严格区分“垂线段”与“点到直线的距离”，明确距离是垂线段的长度，而非线段本身 基础高频考点，性质常出填空选择题，常考垂线作图题，易错点为混淆垂线段与距离、忽略“同一平面”前提条件 同位角、内错角、同旁内角 1. 精准掌握三类角的位置特征，快速找准截线与被截直线； 2. 能在复杂几何图形中剥离干扰线，准确分辨三类角； 3. 吃透三类角的形成条件，夯实平行线判定与性质的解题基础 几何入门核心基础考点，是平行线题型的解题关键，常结合平行线综合考查，易错点为找错截线、混淆三类角位置关系 平行线的判定 1. 牢记平行线定义：同一平面内不相交的两条直线互相平行； 2. 熟练运用三大判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行； 3. 结合对顶角、邻补角、垂线性质，综合判定两直线平行； 4. 掌握平行公理及推论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，平行于同一直线的两直线互相平行 本章核心考点，解答证明题必考，选择填空高频涉及，是几何推理的基础，易错点为判定定理用反、忽略平行公理“直线外一点”的前提 平行线的性质 1. 熟练掌握平行线三大性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； 2. 清晰区分判定与性质（判定：由角的关系推线平行；性质：由线平行推角的关系），避免混用； 3. 结合全章角的性质，完成综合角度计算与几何证明； 4. 规范几何说理步骤，做到逻辑清晰、有理有据 本章重难点，考试分值占比高，是计算与证明题核心考点，易错点为性质与判定混淆、角度计算遗漏隐含条件 平移 1. 理解平移定义，掌握平移方向、平移距离两大核心要素； 2. 牢记平移性质：平移前后图形形状、大小不变，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连线段平行且相等； 3. 能判断平移变换，完成简单平移作图，区分平移与其他图形变换 基础考点，多以选择题、作图题考查，性质为高频考查内容，易错点为忽略对应点连线的位置关系、混淆平移与轴对称/旋转 相交线与平行线综合 1. 整合全章概念、判定、性质，解决综合角度计算与几何证明题； 2. 掌握平行线常见辅助线添加方法，破解复杂角度问题； 3. 规范几何解题格式，强化逻辑推理能力； 压轴题、综合解答题常考，用于区分中等生与优等生，易错点为逻辑混乱、定理混用、辅助线添加错误、步骤不规范 知识点01 对顶角 定义：两条直线相交形成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。 核心性质：对顶角相等 示例：直线AB、CD交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，若∠AOC=35°，则∠BOD=35°。 易错点：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；只有两条直线相交才会产生对顶角，单独一个角不存在对顶角。 知识点02 邻补角 定义：两条直线相交形成的角中，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。 核心性质：邻补角之和为180°（互补） 示例：直线AB、CD交于点O，∠AOC与∠AOD是邻补角，若∠AOC=40°，则∠AOD=140°。 易错点：补角只要求数量和为180°，无位置要求；邻补角既有位置相邻，又有数量互补，二者缺一不可，切勿混淆。 知识点03 垂线 定义：两条直线相交，若夹角为直角（90°），则这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点叫垂足，记作：a⊥b。 核心性质： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 示例：过直线l外一点P，作PQ⊥l于Q，PQ的长度就是点P到直线l的距离。 易错点：混淆“垂线段”和“点到直线的距离”，垂线段是线段，距离是线段的长度（数值），不是图形；忽略“同一平面内”的前提，空间中该性质不成立。 知识点04 三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 前提：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成八个角，简称三线八角。 同位角：位置相同，在截线同侧，被截两直线同一方（形如“F”型）； 内错角：在截线两侧，被截两直线之间（形如“Z”型）； 同旁内角：在截线同侧，被截两直线之间（形如“U”型）。 示例：直线a、b被截线c所截，∠1与∠2是同位角，∠3与∠4是内错角，∠5与∠6是同旁内角。 易错点：找错截线和被截线，混淆三类角的位置；三类角不一定相等，只有两直线平行时，才有特定的数量关系。 知识点05 平行线 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作：a∥b。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性）。 示例：若a∥b，b∥c，则a∥c。 易错点：忽略“同一平面内”前提，空间中不相交的直线不一定平行；平行公理是“直线外一点”，直线上的点无法作平行线。 知识点06 平行线的判定定理 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行； 推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 示例：直线a、b被截线c所截，若同位角∠1=∠2，则a // b。 知识点07 平行线的性质定理 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 示例：若a∥b，内错角∠3=∠4；同旁内角∠5+∠6=180°。 知识点08 平移 定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，这种图形变换叫做平移。 核心要素：平移方向、平移距离 核心性质： 平移前后，图形的形状、大小完全不变，只改变位置； 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等； 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 示例：将△ABC沿水平方向向右平移3cm，得到△DEF，△ABC与△DEF形状、大小完全相同。 易错点：混淆平移与轴对称、旋转；忽略对应点连线“共线”的特殊情况，误以为一定平行。 题型一 对顶角与邻补角的辨析及角度计算 解｜题｜技｜巧 先找准两条相交直线的交点，区分对顶角和邻补角的位置特征； 对顶角抓“两边反向延长”，直接用“对顶角相等”计算； 邻补角抓“共边、反向延长线”，利用“两角和为180°”列算式计算； 复杂图形先拆分单一相交直线组，排除干扰线条，避免混淆角的对应关系 易｜错｜点｜拨 混淆补角与邻补角，补角无位置要求，邻补角需同时满足位置相邻和数量互补； 误以为相等的角就是对顶角，忽略对顶角的位置前提； 计算时漏算角的和差，垂直相关角度未转化为90°代入；单独一个角错误判定为对顶角或邻补角。 【典例1】当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示），若，，则光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·河北保定·月考）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 题型二 垂线性质应用与点到直线的距离判断 解｜题｜技｜巧 判断两直线垂直，优先找90°夹角或直角符号； 牢记垂线两大核心性质，同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短； 严格区分“垂线段”和“点到直线的距离”，距离是垂线段的长度，是数值而非线段； 找垂线段时，过点作已知直线的垂线，垂足所在线段即为垂线段 易｜错｜点｜拨 把垂线段等同于点到直线的距离，概念混淆； 忽略“同一平面内”的前提，盲目应用垂线性质；找错垂线段，误将斜线段当作点到直线的距离； 过直线上一点和直线外一点作垂线的规则混淆，作图或判断失误 【典例1】如图，已知直线与相交于点，为了说明，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有乙不正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．以上都不正确 【变式1】如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，直线，相交于点O，，． (1)直接写出图中的所有余角； (2)若，求的度数． 题型三 三线八角 解｜题｜技｜巧 先确定截线和被截的两条直线，核心是先找“第三条截线”，再看角的位置； 借助形状特征快速分辨，同位角呈F型、内错角呈Z型、同旁内角呈U型； 复杂图形中，先遮盖无关线条，简化图形后再判断，明确三类角仅与位置有关，与角度大小无关 易｜错｜点｜拨 找错截线与被截直线，导致角的类型判断错误； 混淆内错角和同旁内角的位置； 受干扰线影响，误判角的归属； 认为三类角一定相等，忽略只有两直线平行时，才有对应相等或互补的数量关系。 【典例1】（24-25七年级下·河北沧州·期末）若和是同旁内角，，则的度数（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式1】（21-22七年级下·河北衡水·期中）如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠A和∠BDC是同位角 B．∠ABD和∠BDC是内错角 C．点A到BC的距离是线段AC的长度 D．点B到AC的距离是线段BD的长度 【变式2】（20-21七年级下·河北邯郸·期中）如图所示，同位角共有（   ） A．6对 B．8对 C．10对 D．12对 题型四 平行线判定的应用 解｜题｜技｜巧 熟记三大判定定理，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行； 结合对顶角、邻补角、垂直性质，先推导角的相等或互补关系，再套用判定定理； 额外掌握推论，同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，简化判定步骤。 易｜错｜点｜拨 判定定理选用错误，角的关系与定理不匹配； 忽略定理前提条件，无依据直接判定平行； 平行公理忽略“直线外一点”的限制； 说理过程无逻辑，直接得出平行结论，无角关系推导 【典例1】（25-26·河北张家口·期末）将一块含有的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 题型五 平行线性质的应用 解｜题｜技｜巧 核心逻辑是“由线平行推角的关系”，直接对应三大性质，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； 先锁定平行线，再找对应的同位角、内错角、同旁内角，结合角的和差、对顶角、邻补角计算； 规范标注已知平行关系，逐一对应角的数量关系。 易｜错｜点｜拨 性质与判定混淆，逻辑颠倒；找错平行线下的对应角，角度关系判断失误； 同旁内角忘记互补，误判为相等； 漏算隐含角关系，计算结果出错。 【典例1】（25-26·河北石家庄·开学考试）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．因为与是同位角，所以这两个角相等 C．与是同旁内角，当这两个角相等时，直线与直线平行， D． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请在下方写上证明过程） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 题型六 平行线判定与性质结合的几何证明题 解｜题｜技｜巧 理清因果链条，先通过角的关系用判定定理证平行，再由平行关系用性质定理推角的关系； 逆向分析思路，从结论倒推所需条件，再正向书写证明过程； 每一步推导标注依据，如对顶角相等、两直线平行，内错角相等，保证逻辑严谨； 分步推导，不跳步，逐步衔接已知和结论。 易｜错｜点｜拨 判定和性质混用，因果倒置； 证明过程逻辑跳跃，无中间推导环节； 定理依据标注错误或不标注； 忽略题目隐含条件，无法衔接角与线的关系 【典例1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，分别是上的点，是上的点，连接，如果， (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）补充完成下面证明过程． 如图，，求证：． 证明：（已知）， 又（　　）， （　　）， （　　）． （　　）． （　　）． （　　）， （　　）， （　　）． 【变式2】（25-26·河北张家口·期末）完成下面证明过程． 已知：如图，点D，H在上，点G在上，点E在上，，垂足分别为H，D，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（ ）， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （同角的补角相等）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴（ ）． 题型七 多组相交线与平行线综合角度计算 解｜题｜技｜巧 分步拆解图形，先处理一组相交线或平行线，算出过渡角； 依次串联对顶角、邻补角、垂线、平行线的相关性质，层层推导未知角； 标注所有已知角和推导角，理清角的相等、互补、和差关系；遇到多个截线，逐一区分对应平行线组，避免角对应混乱 易｜错｜点｜拨 跳步计算导致推导错误； 多组平行线混淆截线，角度对应错误； 遗漏过渡角，思路断裂；未梳理角的和差关系，盲目计算。 【典例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知：．试说明：． 请你填空，完成推理过程． 证明：（已知） 且（__________） （等量代换） __________（__________） （__________） （已知） （等式的基本性质） 即 （__________） 【变式1】（25-26·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【变式2】（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 题型八 含拐点的平行线角度计算 解｜题｜技｜巧 固定解题方法，过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理推论，得到三条直线互相平行； 将未知角拆分为两个角的和或差，分别利用平行线性质计算； 辅助线画法规范，标注平行符号，拆分后逐一推导角度，再合并得出结果 易｜错｜点｜拨 不会添加辅助线，无解题思路； 辅助线未与已知直线平行，画法错误；拆分角度时和差关系搞反； 忽略辅助线产生的新的角关系，推导不完整。 【典例1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【变式1】在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据所学知识完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成（2）． (1)过点作． ，， ____________， ______（           ）， 又， ， 又， ______． (2)如图2，现有含角的直角三角板，含角的直角三角板，将这一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板的斜边与纸条一边重合，直角三角板的顶点在纸条的另一边上，点与点重合，求的度数． 【变式2】（20-21七年级下·河北保定·期末）（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 题型九 多拐点复杂平行线角度计算 解｜题｜技｜巧 每个拐点依次作平行线，构建连续平行的直线组； 总结角度规律，根据拐点方向判断角度相加或相减； 可结合方程思想，设未知角为未知数，利用平行线性质列方程求解； 整体梳理等量关系，避免单个角度逐一计算，简化运算 易｜错｜点｜拨 拐点过多时辅助线添加混乱，平行关系断裂； 角度和差规律判断错误，方向混淆； 方程设元不合理，列错等量关系式； 忽略平行传递性，导致角度推导出错 【典例1】（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【变式1】在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【变式2】解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 题型十 角平分线与平行线综合计算与证明 解｜题｜技｜巧 先利用角平分线定义，得出角的倍分、相等关系，即角平分线将角分成两个相等的角； 结合平行线性质，推导角的等量代换关系； 设未知数表示相关角度，利用同旁内角互补、对顶角相等列方程求解； 重点梳理角平分线和平行线结合产生的等角模型，快速锁定等量关系。 易｜错｜点｜拨 角平分线的倍分关系用反，角度计算错误； 角的等量代换逻辑混乱； 方程列错，忽略互补或相等的隐含条件； 计算时度数、符号出错，结果不符合题意 【典例1】请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【变式1】已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间． 【素养发展】 (1)平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则 ； 【方法运用】 (2)如图2，求证：； 【应用拓展】 (3)如图3，分别作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间），若，求的度数； (4)在图2中，若，，且均同时在同侧，P点在之间．请直接写出的度数．（用含n的式子表示） 【变式2】如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·河北保定·一模）如图，设点P是直线l外一点， ，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接，则（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知：，那么下列结论中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 4.如图，已知，，，求．（请填空） 解：∵， ∴________（________________） 又∵， ∴（________________） ∴________（________________________） ∴________（________________________） ∵， ∴________（____________） 5.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，． ①则与的关系是________； ②与互为________；与互为________．（填“内错角”“同位角”或“同旁内角”） 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24·河北唐山·月考）如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·河北张家口·期中）一个自行车的示意图如图所示，其中，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3.如图，已知，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4.如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 5.已知直线．E为平面内一点，连接． (1)如图1，点E在两平行线之间，请直接写出和之间的数量关系． (2)如图，点E在直线的上方． ①如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点F，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025·河北石家庄·三模）如图1是一辆竖直放在地面上的自行车，如图2是其示意图，其中，，，则（   ） A． B． C． D． 2.（22-23七年级下·河北邯郸·月考）题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 3.（2023·河北沧州·模拟预测）一副三角尺如图1摆放，将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕定点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当时，，关于符合题意的的其他可能度数，甲说是45°和60°，乙说是105°和135°，则（    ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．甲、乙的说法合在一起才正确 D．甲、乙的说法合在一起也不正确 4.（24-25七年级下·河北沧州·月考）已知：如图1，，点E，F分别为上一点． (1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明． (2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）． 5.（23-24七年级下·河北沧州·期中）将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得． (1)当边落在内时（如图2），求的度数； (2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $