精品解析：辽宁省沈阳市法库县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，左视图为从左侧看得到的平面图，据此判断即可． 【详解】解：左视图为 故选：D 2. 如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，得到答案． 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴与相似比为， ． 故选：A． 3. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及可配成紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有种， （可配成紫色）， 故选：A． 4. 若反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图像性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当比例系数时，图像经过第一、三象限，且y随x的增大而减小，据此解答即可． 【详解】解：反比例函数的图像在每一个象限内y随x的增大而减小， 则比例系数， 故选：A． 5. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A. I= B. I=- C. I= D. I= 【答案】A 【解析】 【分析】将已知的坐标代入反比例函数I＝中即可求出U. 【详解】解：∵当R＝20，I＝11时， ∴电压＝20×11＝220， ∴． 故选A． 【点睛】此题主要考查反比例函数的解析式，解题的关键是设反比例函数的解析式，再代入已知点求出解析式. 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 8. 如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为___________．（结果精确到0.01） 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求出． 【详解】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，即估计它能发芽的概率为0.95， 故选：C． 12. 若一元二次方程（m为常数）的一个根是，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，再根据一个根是，求出另外一个根即可． 【详解】解：设方程的两根为，， ∴， ∵一个根是， ∴另一个根是． 故答案为：． 13. 如图，，是的两条中线，连接． 若，则_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键，根据三角形的中位线定理可知，，，故，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案． 【详解】，是的两条中线， 是的中位线， ，， ， ， ， ． 故答案为：3． 14. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作交于点E，若，则的长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由矩形的性质得，因为交于点E，所以垂直平分，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接CE， ∵矩形的对角线相交于点O，， ∴， ∵交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∵，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为的长，再过点作于点，证出四边形为矩形，进一步得出和的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，过点作于点， ，，， ． 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，， ． 在中， , 即的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）把方程中的看作一个整体，利用因式分解法解此方程； （2）利用因式分解法解此方程． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 17. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）连接、，证四边形是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质，求得长即可． 【小问1详解】 证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； 【小问2详解】 解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ． 18. 在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾，电池为有害垃圾．为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上字母J（代表金属）、Z（代表纸板）、G（代表果皮）、D（代表电池），把四张小卡片装入一个不透明的袋子里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 【答案】（1）见解析 （2）甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）画树状图，展示所有等可能结果； （2）其中甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意画树状图如下： ； 【小问2详解】 解：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的结果和有2种， 甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 19. 在菱形中，对角线与交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，已知，，求长． 【答案】的长为 【解析】 【详解】解：取的中点，连接，则， 四边形是菱形，对角线与交于点，， ，， ，，， 点在的延长线上，且， ， ， ， ， 的长为． 20. 某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低元时，月销售量可增加件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？ 【答案】定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元 【解析】 【分析】设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件，根据每个月的利润达到元列方程解决即可． 【详解】解：设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵能够让顾客得到更大的实惠， ∴， 元． 答：定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元． 21. 如图，在平行四边形中，，，，反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为： （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得出，，进一步得出点的坐标为，最后将点的坐标代入解析式即可； （2）需分两种情况讨论：当时，先证出四边形是矩形，进一步得，再设点的坐标为，则，最后根据两点之间的距离公式和勾股定理求解即可；当时，设，则，再根据两点之间的距离公式和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ，，， ． 四边形是平行四边形， ，， 点的坐标为． 反比例函数在第二象限内的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为：． 【小问2详解】 解：点是轴上一点，若是直角三角形， 有以下两种情况： 当时，如图所示： ， ． ， 四边形是矩形， ． 设点的坐标为，（），则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ，， 由，解得：不合题意，舍去， 由，解得：， 点的坐标为； 当时，如图所示： 设，（），则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 22. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：取中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 23. 在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于，点M是直线上的动点． （1）求直线的解析式； （2）如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标； （3）若将线段绕A点旋转，点M落在y轴P点处，试问平面内是否存在一点Q，使得以点A、P、M、Q四点为顶点形成的四边形是正方形，若存在，直接写出Q点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，由题意可得或，求出t的值即可求点的坐标； （3）证明，得到，求出点或，进而求解． 【小问1详解】 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴设直线的表达式为 由点B、C的坐标得， 解得 ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 ∵M为上一点， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 或， ∴t或， ∴或； 【小问3详解】 如图，过点A作y轴的平行线交过点M和x轴的平行线于点R，交过点P和x轴的平行线于点N， 由题意得：，设点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 解得：t或， 则点或， 当时， 则，即点， 所以点Q横坐标，点Q的纵坐标为， 点； 当点时， 同理可得：点， 综上，点Q的坐标为：或． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（ ） A B. C. D. 4. 若反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A I= B. I=- C. I= D. I= 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 9. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为___________．（结果精确到0.01） 12. 若一元二次方程（m为常数）的一个根是，则另一个根是______． 13. 如图，，是的两条中线，连接． 若，则_____________． 14. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作交于点E，若，则的长为 ______． 15. 如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾，电池为有害垃圾．为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上字母J（代表金属）、Z（代表纸板）、G（代表果皮）、D（代表电池），把四张小卡片装入一个不透明的袋子里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 19. 在菱形中，对角线与交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，已知，，求长． 20. 某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低元时，月销售量可增加件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？ 21. 如图，在平行四边形中，，，，反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 22. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 23. 在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B直线交x轴于，点M是直线上的动点． （1）求直线解析式； （2）如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标； （3）若将线段绕A点旋转，点M落在y轴P点处，试问平面内是否存在一点Q，使得以点A、P、M、Q四点为顶点形成的四边形是正方形，若存在，直接写出Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $