精品解析：辽宁省朝阳市朝阳第四中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

2021—2022学年第一学期期末考试 九年级数学试题 （考试时间120分钟 试题满分120分） 一、选择题（每小题3分，其30分） 1. 如果1是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程解的定义找到相等关系，将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出方程的另一根． 【详解】设方程的另一根为. 又 解得： 故选A. 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题突破口是将1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组. 2. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用同分母分式加减法，将转化为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据sinA=，可得，然后设BC＝5k（k≠0），则AB＝13k，根据勾股定理可得，再根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴， 又， ∴， 设BC＝5k（k≠0），则AB＝13k， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切是解题的关键． 4. 某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近， 故选A． 5. 如图，小明想测量斜坡旁一棵垂直于地面的树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，斜坡顶点到地面的垂直高度，则树的高度是（ ） A. 20 B. 30 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】在Rt△CDE中， ∵CD=20m，DE=10m， ∴sin∠DCE=， ∴∠DCE=30°． ∵∠ACB=60°，DF∥AE， ∴∠BGF=60° ∴∠ABC=30°，∠DCB=90°． ∵∠BDF=30°， ∴∠DBF=60°， ∴∠DBC=30°， ∴BC=（m）， ∴AB=BC•sin60°=20×=30（m）． 故选C． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 6. 把抛物线的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为，则b的值为【 】 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】∵ ∴图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位得． 又∵， ∴，解得b=4．故选B． 7. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 8. 如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得，即得，求出的值再根据反比例函数的图象即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的面积为8， ∴， ∵轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 9. 如图，圆O是的外接圆，AD是圆O的直径，若圆O的半径为，，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接，由AD是圆O的直径，可得，又由圆O的半径为，，即可求得的值，又由，即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵AD是圆O的直径， ∴， ∵圆O的半径为，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角函数的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 10. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，，其部分图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程的两个根是，； ④方程有一个实根大于； ⑤当时，随增大而增大． 其中结论正确的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴、以及与轴交点为，，分别判断出的符号，即可判断①；由对称轴为直线得，当时，，即可判断②；当时，，即过，，抛物线的对称轴为直线，由对称性可得，抛物线过，，即可判断③；根据二次函数的性质以及已知条件结合对称轴可得，即可判断④，根据函数图象即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下，，对称轴为直线，、异号， ， 与轴交点为，， ， ，故结论①是正确的； 由对称轴为直线得， 当时，， ，即， 又，，故结论②不正确； 当时，，即过，，抛物线的对称轴为直线，由对称性可得，抛物线过，， 方程的有两个根是；故③正确； 抛物线与轴的一个交点，且，由对称轴为直线， 另一个交点，，因此④是正确的； 根据图象可得当时，随增大而增大，因此⑤是正确的； 正确的结论有个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义以及一次函数与轴的交点问题，先根据一次函数的定义确定的取值，再验证函数与轴是否有交点即可得到结果. 【详解】解：函数是一次函数， 根据一次函数的定义，一次函数中自变量的最高次数为， 二次项系数， 将代入得函数解析式为， 令，解得，该函数图象与轴有交点，符合题意， 故的取值范围是． 12. 如图，，，是上的三点，且，则______°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”． 根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果是矩形的一个“直角点”，且，那么的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明∆BEC~∆EAD，可得：，设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x，结合AD=BC，可得：，进而可得到答案. 【详解】∵是矩形的一个“直角点”， ∴∠AEB=90°， ∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠EAD+∠AED=90°， ∴∠BEC=∠EAD， ∵∠D=∠C， ∴∆BEC~∆EAD， ∴， ∵， 设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x， ∴， ∵AD=BC， ∴，即：， ∴=：3x=. 故答案是：. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，设EC=x，用代数式表示线段长，是解题的关键. 14. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan∠B＝_____________． 【答案】 【解析】 【详解】∵BD：CD=3：2，∴不妨取BD=3，CD=2， ∵Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，∴AD2=BD•CD=6，解得AD＝， ∴tanB＝， 故答案为． 15. 抛物线经过点，对称轴为直线，则一元二次方程的解是______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求出已知点关于对称轴的对称点，结合二次函数与一元二次方程的关系，即可得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴由抛物线对称性可得：对称轴： ∴， 解得：， ∴点关于直线的对称点坐标为， 一元二次方程的解即为抛物线中，当时对应的的值. ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 16. 如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折到，延长交边于点，连接，．下列结论中：①；②；③；④．正确的有____ ．（请填入序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①根据翻折可得，进而可以证明，再设，利用勾股定理可求得的值，即可证明；②根据的长与不相等，进而可以判断．③设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，由勾股定理求出x=3，由S△EFC=S△ECG可求出△EFC的面积；④由，可得，进而可得． 【详解】解：如图所示： ①四边形为正方形， ，， 由折叠可知： ，，，则， ，， ， ， 设，则， ，， 根据勾股定理，得 在中，， 解得，则， ， 所以①正确； ②，， 点不是的中点，， 所以②错误． ③∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG=FG，∠AGB=∠AGF， 设BG=x，则CG=BC-BG=3-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+1， 在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2， ∵CG=3-x，CE=2，EG=x+1， ∴（3-x）2+22=（x+1）2， 解得：x=， ∴BG=GF=CG=， ∵△CEF和△CEG中，分别把EF和GE看作底边， 则这两个三角形的高相同． ∴S△EFC：S△ECG=EF：EG=2：5， ， 所以③正确； ④∵， ， 又， ， ． 所以④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了翻折变换、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解决本题的关键是综合运用勾股定理及上述知识． 三、解答题：（本题共72分） 17. 已知是锐角，且，计算． 【答案】3 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可得到，然后把代入，再化简，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 18. 先化简，再求代数式的值，其中a＝2cos30°﹣3tan45°． 【答案】， 【解析】 【分析】先通过分式的性质进行化简，再利用特殊角的三角函数值求出a，计算即可； 【详解】解：原式＝＝， ∵a＝2sin60°﹣3tan45°＝2×﹣3×1＝﹣3， ∴原式＝＝． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键． 19. 如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． (1)求证：CP＝AQ； (2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90° ∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC ∴∠E=∠F ∵BE=DF ∴AE=CF 在△CFP和△AEQ中 ∴△CFP≌△AEQ（ASA） ∴CP=AQ                                              （2）8. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE= ，得出EQ=PE+PQ= ，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE-BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积； 试题解析： （1）略 （2）解：∵AD∥BC ∴∠PBE=∠A=90° ∵∠AEF=45° ∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形 ∴BE=BP=1，AQ=AE ∴PE= BP= ∴EQ=PE+PQ=+2 =3 ∴AQ=AE=3 ∴AB=AE﹣BE=2 ∵CP=AQ，AD=BC ∴DQ=BP=1 ∴AD=AQ+DQ=3+1=4 ∴矩形ABCD的面积=AB×AD=2×4=8. 20. 有3张纸牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5（简称红3，红4，黑5）．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． （1）两次抽得纸牌均为红桃的概率；（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） （2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得花色相同则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得纸牌的数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高． 【答案】（1）P(两次抽得纸牌均为红桃) =；（2）甲选择A方案胜率更高，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果； （2）首先求得A方案与B方案中甲胜的概率，比较大小，即可确定甲选择哪种方案胜率更高． 【详解】解：（1）树状图： 列表：   红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 （红3，红3） （红3，红4） （红3，黑5） 红桃4 （红4，红3） （红4，红4） （红4，黑5） 黑桃5 （黑5，红3） （黑5，红4） （黑5，黑5） ∴一共有9种等可能的结果，其中符合要求的共4种， ∴P(两次抽得纸牌均为红桃)= ． （2）∵两次抽得相同花色的有5种，两次抽得数字和为奇数有4种， A方案：P（甲胜）＝， B方案：P（甲胜）＝， ∴甲选择A方案胜率更高． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）60°；（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果． 【详解】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OD⊥AB， ∴＝，， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 22. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 【答案】教学楼BC高约13米 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造直角三角形是解题关键．作于点E，过点C作于点F，由求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得的长． 【详解】过点D作于点E，过点C作于点F． ∵， ∴四边形是矩形． 由题意得，米，米，． 在中，， ∴． ∴米， ∵米， ∴米， ∵四边形是矩形， ∴米． 在中，， ∴． ∴米， ∴（米）． 答：教学楼高约13米． 23. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 （3）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用． （1）设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 24. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12． （1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若则HQ＝　 　． （2）如图2，折叠使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形； （3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得和相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）存在，QP的值为或8或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出AC，设HQ＝x，根据构建方程即可解决问题； （2）利用对折与平行线的性质证明四边相等即可解决问题； （3）设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，构建方程求出m的值，分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， 在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12， ∴AC＝＝16，设HQ＝x， ∵HQ∥BC， ∴＝， ∴， ∴AQ＝x， 由对折得： ∵ ∴×16×12＝9××x×x， ∴x＝4或﹣4（舍弃）， ∴HQ＝4， 故答案为4． （2）如图2中， 由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE， ∵FM∥AC， ∴∠AEF＝∠MFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝MF＝ME， ∴四边形AEMF是菱形． （3）如图3中， 设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m， ∴4m+5m＝20， ∴m＝， ∴AE＝EM＝， ∴EC＝AC﹣AE＝16﹣＝， ∴CM＝ ∵QH＝4， AQ＝， ∴QC＝，设PQ＝x， 当＝时，， ∴ 解得：， 当＝时，， ∴ 解得：x＝8或， 经检验：x＝8或是分式方程的解，且符合题意， 综上所述，满足条件长QP的值为或8或． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得 ， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；． 设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E． 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；． 连接PP′，则PE⊥CO于E， ． ∵C（0，-3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=． ∴y=−； ∴x2-2x-3=−， 解得（不合题意，舍去）． ∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）． （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得： ． ∴直线BC的解析式为y=x-3， 则Q点的坐标为（x，x-3）； 当0=x2-2x-3， 解得：x1=-1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ． =AB•OC+QP•BF+QP•OF． =×4×3+ (−x2+3x)×3． =− (x−)2+． 当x＝时，四边形ABPC的面积最大． 此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年第一学期期末考试 九年级数学试题 （考试时间120分钟 试题满分120分） 一、选择题（每小题3分，其30分） 1. 如果1是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（　　） A. B. C. D. 4. 某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明想测量斜坡旁一棵垂直于地面的树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，斜坡顶点到地面的垂直高度，则树的高度是（ ） A. 20 B. 30 C. 30 D. 40 6. 把抛物线的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为，则b的值为【 】 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆O是的外接圆，AD是圆O的直径，若圆O的半径为，，则的值是( ) A. B. C. D. 10. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，，其部分图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程的两个根是，； ④方程有一个实根大于； ⑤当时，随增大而增大． 其中结论正确的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 12. 如图，，，是上的三点，且，则______°． 13. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果是矩形的一个“直角点”，且，那么的值是__________. 14. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan∠B＝_____________． 15. 抛物线经过点，对称轴为直线，则一元二次方程的解是______． 16. 如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折到，延长交边于点，连接，．下列结论中：①；②；③；④．正确的有____ ．（请填入序号） 三、解答题：（本题共72分） 17. 已知是锐角，且，计算． 18. 先化简，再求代数式的值，其中a＝2cos30°﹣3tan45°． 19. 如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． (1)求证：CP＝AQ； (2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积． 20. 有3张纸牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5（简称红3，红4，黑5）．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． （1）两次抽得纸牌均为红桃的概率；（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） （2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得花色相同则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得纸牌的数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高． 21. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 22. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 23. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 24. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12． （1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若则HQ＝　 　． （2）如图2，折叠使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形； （3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得和相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $