第04讲 等腰三角形（复习讲义，2考点+10题型+3重点）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

四章 三角形 第04讲 等腰三角形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 23 命题点一 等腰三角形的性质 题型01利用等边对等角求角度 题型02根据等边对等角进行简单证明 题型03利用三线合一求线段长度 命题点二 等腰三角形的判定 题型01格点中画等腰三角形 题型02根据等角对等边证明等腰三角形 题型03根据等角对等边求线段长度 题型04尺规作图与等腰三角形综合 题型05等腰三角形中折叠问题 命题点三 等边三角形的性质与判定 题型01 根据等边三角形的性质求线段长度 题型02 圆中的等边三角形的应用 05·重难突破·思维进阶 54 突破一 等腰三角形的性质与判定几何综合 突破二 等腰三角形的性质与判定和圆综合 突破三 等边三角形的性质与判定最值问题 06·优题精选·练能提分 73 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形的性质与判定 天津卷 （第24题） （第18题） 天津卷 （第21题） 天津卷 （第17题） （第18题） 1. 理解等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质；2. 能利用性质证明角相等、线段相等、垂直关系；3. 结合内角和、外角性质进行角度计算。4. 掌握 “等角对等边” 的判定定理；5. 能在复杂图形中识别并判定等腰三角形；6. 结合图形变换（旋转 / 折叠）构造等腰三角形。 等腰三角形的分类讨论（存在性问题） 天津卷 （第25题） 天津卷 （第25题） 天津卷 （\） 1. 能对 “腰 / 底不确定”“顶角 / 底角不确定” 的情况进行分类讨论；2. 结合坐标系、二次函数探究等腰三角形的存在性；3. 培养分类讨论思想与逻辑严谨性。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为天津中考几何核心考点，分值稳定在12–15分，覆盖选择、填空、解答全题型，基础题（第10/11题）难度较低，中档题（第16/17/18题）侧重图形转化，压轴题（第24/25题）侧重分类讨论与存在性探究，整体难度梯度清晰，是区分几何能力的关键考点。 应用场景灵活多变：一方面会延续 2023–2025 年风格，以正方形、矩形、圆、折叠、旋转、坐标系、二次函数为核心载体，考查等腰三角形的性质与判定，重点关注三线合一、等边对等角、分类讨论（腰/底不确定）；另一方面可能融入生活场景（如测量、建筑模型）或古代数学问题，让题目更贴近实际应用，聚焦 “用等腰三角形性质解决几何与实际问题” 的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强等腰三角形与其他知识点的融合。比如与全等三角形、相似三角形、圆的性质（垂径定理、圆周角定理）、图形变换（平移/旋转/轴对称）、二次函数结合，先由等腰三角形得到线段/角相等，再推导后续结论；或融入平面直角坐标系，考查坐标系中等腰三角形的存在性与坐标计算，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以“基础选择 + 中档填空/作图+压轴解答”的形式考查。基础题直接考查性质与判定，中档题侧重图形转化与长度计算，压轴题侧重分类讨论与存在性探究，符合天津中考“图形与几何”部分每年多道等腰三角形相关题的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的性质 一、核心性质 1. 边的性质：等腰三角形的两条腰相等。（易错提醒：腰与底边无固定大小关系，需结合题干判断） 2. 角的性质（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。（易错提醒：仅底角相等，顶角与底角不一定相等；底角必为锐角） 3. 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（易错提醒：仅针对“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的三线不重合） 4. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线。（易错提醒：只有1条对称轴，区别于等边三角形的3条） 二、延伸性质（关联知识点） 1. 等腰三角形顶角的外角等于两个底角的和（等于底角的2倍）。（易错提醒：注意外角与内角的关系，避免混淆“顶角外角”与“底角外角”） 2. 等腰三角形底边上的垂直平分线与顶角平分线、底边中线、底边高重合。（易错提醒：仅底边上的垂直平分线满足，腰上的垂直平分线不与三线重合） 三、常见易错点汇总 主要易错点包括：1. 混淆“三线合一”的适用范围；2. 忽略底角必为锐角，误将钝角当作底角；3. 误认为等腰三角形有多条对称轴；4. 运用“等边对等角”时，混淆腰与底边对应的角。 解题提醒：解题时先明确腰、底边、顶角、底角，再运用性质，避免漏解、错解。 等腰三角形的判定 一、核心判定方法（重点） 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。（易错提醒：判定时需明确两条边相等，注意区分腰与底边，无需额外证明角的关系） 2. 判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（易错提醒：相等的两个角对应的边是腰，需对应准确，避免混淆边与角的对应关系） 二、延伸判定方法（关联知识点） 1. 若一个三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，则该三角形是等腰三角形（反向运用“三线合一”）。（易错提醒：需同时满足其中两个条件即可判定，且仅针对底边和顶角相关的线） 2. 若一个三角形的一条边上的中线与这条边上的高重合，则该三角形是等腰三角形（这条边为底边，另外两条边为腰）。（易错提醒：仅当中线和高在同一条边上时成立，腰上的中线与高不重合） 3. 若一个三角形的一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则该三角形是等腰三角形（这个角为顶角，对边为底边）。（易错提醒：区分“顶角平分线”与“底角平分线”，仅顶角平分线满足此判定） 三、常见易错点汇总 主要易错点包括： 1. 运用“等角对等边”时，混淆角与边的对应关系； 2. 反向运用“三线合一”时，忽略适用范围（仅针对底边相关的线）； 3. 判定时未验证三角形成立条件（如两边相等但不满足三边关系）； 4. 误将“有一个角是60°的三角形”当作等腰三角形（需结合等腰三角形定义或判定定理）。 解题提醒：判定时先明确判定方法的适用条件，找准边与角的对应关系，必要时验证三角形成立，避免错判、漏判。 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 2．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 【答案】 3 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作，   正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 3．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 4．（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据，得出为直径，根据等边对顶角得出，圆周角定理即可得出． （2）连接，，设半径为，根据切线的性质得出．结合，得出，是等腰直角三角形，勾股定理求出，即可得，求出．根据，即可求出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：连接， 过点，， 为直径， ， ， ． （2）解：连接，，设半径为， 与切于点， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ． ， ， 在中，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 考点二 等腰三角形与几何综合 核心解题思路 1.先找等腰：①角平分线+平行线→等腰；②直+中点→等腰（三线合一逆用）；③旋转/折叠→等腰（对应边相等） 2.再用性质：①等边对等角→倒角求角度；②三线合一→得垂直、中点、角平分线；③外角→快速算角度 3.构造全等：①等腰常配合截长补短、倍长中线、旋转全等；②等边三角形→60°旋转全等模型 4.分类讨论不漏解 1．（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 【答案】 / / 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图， 当点在线段上时，的值最小，最小值为，当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 2．（2025·天津滨海新区·模拟预测）如图，E为正方形的边上一点，F为边延长线上一点，且点G为边上一点，且． 的周长为8，，与交于点H，连接． （1）正方形的边长为__________________________． （2） 的长为____________________________． 【答案】 4 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理．根据的周长为8，结合，可得出，再结合，即可求出正方形的边长；过点作于点，先证点是的中点，于是得出点是的中点，求出，的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 的周长为8， ， ， ， ， 即， 设正方形的边长为， 则， ， ， ， 即正方形的边长为4， 由可得， 点在的垂直平分线上， 又， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， 为的中点， 过点作于点， ， ∴， 点是的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， 故答案为：4， ． 3．（2025·天津南开·三模）如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且． （1）线段的长为______； （2）线段的长为______． 【答案】 【分析】（1）先证明为等边三角形，可得，再证明，推出，再由全等三角形的性质得出结论； （2）先得出是等边三角形，可得，，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）菱形的边长为，为边中点， ， 在菱形中，， ，，， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明全等三角形或相似三角形是解题的关键． 4．（2025·天津滨海新·三模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为______； （2）若G为的中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】（）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，得到即可； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2025·天津红桥·三模）如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为_____； （2）若为的中点，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，据此解直角三角形即可得到答案； （2）连接，可证明，得到，解得到，再证明，求出，则． 【详解】解：（1）如图所示，连接 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由（1）可得是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点一 等腰三角形的性质 ►题型01 利用等边对等角求角度 核心前提：“等边对等角”是等腰三角形的核心角性质，仅适用于等腰三角形，即等腰三角形中，两条相等的腰所对的两个底角相等(反之“等角对等边”是判定，不可混淆)。解题核心是“找等边→定等角→结合内角和/外角性质求解”，分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找”等边”：先观察题干图形或已知条件，明确等腰三角形中两条相等的边(腰)，标注出相等的边(如AB=AC,可在图中用相同符号标注)；若题干未明确，需先根据等腰三角形定义判定出等边。 2.定“等角”：根据”等边对等角”，确定相等的两条边所对应的角相等，标注出等角(如AB=AC，则AB所对的∠C与AC所对的∠B相等，即∠B=∠C);注意：边与角的对应关系，避免混淆“腰所对的角”与“底边所对的角”。 3.找“已知角/隐含条件”：提取题干中给出的已知角度，同时牢记两个隐含条件——①三角形内角和为180°；②等腰三角形的顶角与底角的关系(顶角=180°-2×底角，底角=(180°-顶角)÷2);若有外角，结合“三角形外角=不相邻两个内角和”辅助求解。 4.列关系、算角度：设未知角为x(通常设底角为x,计算更简便),根据内角和、等角关系或外角性质，列出等式，求解未知角；计算完成后，验证角度和是否为180°，确保计算无误。 【典例】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质求得，利用等边对等角求得，再证明是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·广西柳州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；核心技巧是利用旋转得到的等线段和旋转角，构造等腰三角形求解；易错点是误将旋转角当作三角形的内角，或忽略等腰三角形两底角相等的性质． 先根据旋转性质得到和，从而判定为等腰三角形；再利用等腰三角形 “等边对等角” 和三角形内角和定理，直接计算出的度数． 【详解】由旋转可知：，． 为等腰三角形． 在等腰中，． 故选：D． ►题型02 根据等边对等角进行简单证明 【典例】（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，是中点，过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．请你判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】是矩形，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，灵活应用相关性质、判定定理是解答本题的关键．根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出，然后运用等量代换得到，由，易证四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明． 【详解】解：四边形是矩形，证明如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【变式1】（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形中，点在上，点在上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角．根据菱形的性质可得，，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，是上一点，连接，是的平分线，且，是上一点，过点分别作、交于点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，结合可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ►题型03 利用三线合一求线段长度 【典例】（2026·安徽·模拟预测）如图，在中，，在上取一点，使得，连接，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作于点E，先求出，得到，，进而求出，再根据勾股定理，得到，即可解答． 【详解】解：过点A作于点E，如图 ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 【变式1】（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2025·陕西延安·二模）如图，在中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，则的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等角对等边，根据线段中点的定义可得，再由三角形中位线定理得到，则由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵D是的中点，， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 命题点二 等腰三角形的判定 ►题型01 格点中画等腰三角形 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)画出以为对角线的正方形，点E、F在小正方形的顶点上； (2)画以为底边的等腰，点M在小正方形的顶点上，且的面积为7.5，连接，请直接写出长． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查在网格中作图，勾股定理，正方形的判定，等腰三角形的性质． （1）根据对角线相等且互相垂直平分是四边形是正方形，即可求解； （2）取格点，使得即可求解，再由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：如图，正方形为所求． 根据题意，得， 取格点E，F，使得，且与互相垂直平分， 根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形可得四边形是所求正方形． （2）解：如图，为所求． ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵边上的高为3 ∴， ∴为所求． ∴． 【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键． （1）如图，取格点，连接，根据等腰三角形的性质结合网格线的特征即可得到； （）根据网格特征得出，从而求解； （）根据网格特征得出，，从而可判断，是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，点为所求， （2）解：如图， 根据网格可知，， ∴， ∴四边形即为所求； （3）解：如图， 根据网格可知，，， ∴，是等腰三角形， ∴四边形即为所求． 【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画一个以线段为一边的菱形，其面积为20，且各顶点均在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且； (3)连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）四边相等的四边形是菱形，作出底为5，高为4的菱形即可； （2）作等腰直角三角形即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求． （2）解：如图，即为所求； （3）解：由勾股定理得． ►题型02 根据等角对等边证明等腰三角形 核心前提：“等角对等边”是等腰三角形的核心判定定理，仅适用于三角形，即一个三角形中，若两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等(反之“等边对等角”是性质，不可混淆)。解题核心是“找等角→定对应边→结合已知条件证明等边”，分4步规范证明，同时规避常见易错点，确保证明逻辑严谨。 核心解题步骤(规范可落地) 1.找”等角”：先观察题干图形、已知条件(如角平分线、平行线、垂直、全等、等腰三角形性质等)，通过这些条件推导或直接提取出三角形中两个相等的角，标注出等角(如∠B=∠C,可在图中用相同弧线标注)；若等角未直接给出，需先通过辅助线或几何性质转化角的关系，推导得出等角。 2.定“对应边”：根据”等角对等边”,确定两个相等的角所对应的两条边，明确待证明的两条相等线段(如∠B=∠C,则∠B所对的边AC与∠C所对的边AB相等，即需证明AB=AC);关键是找准”角与边的对应关系”,避免混淆角所对的边。 3.理”已知条件/辅助线”：梳理题干中所有已知条件，明确推导等角的依据(如角平分线定义、平行线的性质、全等三角形的对应角相等、三角形内角和定理等)；若无法直接推出等角，需添加合适的辅助线(如作角平分线、垂线、中线)，转化角的关系，为推导等角创造条件。 4.写“证明过程”：按“已知→推导等角→应用等角对等边→得出结论”的逻辑，规范书写证明步骤，每一步推导都需标注依据，最终证明出两条线段相等，确保逻辑连贯、依据充分。 【典例】（2026·山东滨州·一模）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形； （2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出． 【详解】（1）证明： ， ，， 平分， ， ， ∴， 为等腰三角形； （2）解：∵平分，， ∵， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【变式1】（2025·江西抚州·二模）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，与相交于点O． (1)试判断三角形的形状； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)是等腰三角形．见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，推出再根据角平分线的定义得到，进而推出，即可得出结论； （2）先根据得到，通过相似三角形的对应边成比例得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：是等腰三角形． ∵四边形是平行四边形， ， ． ∵平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：， ， ， ． ， ， 的值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质及角平分线的定义．在判定两个三角形相似时，综合运用以上知识点是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，按下列步骤作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，； ②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理和外角性质，以及等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由作图可知：垂直平分，然后解即可； （2）由作图可得：平分，然后由三角形的外角性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求证． 【详解】（1）解：由作图可知：垂直平分， ∵，， ∴ （2）证明：由作图可得：平分， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ►题型03 根据等角对等边求线段长度 【典例】（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据平行四边的性质结合角平分线的定义得到，，进而得到，，由平行四边形的周长，即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ， ∴，， ∴，， ， 平行四边形的周长． ， ， 故选：C． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是，则这个扳手的开口a的值是________． 【答案】/厘米 【分析】作于点，根据正六边形的特点求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵此多边形为正六边形， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】（2026·上海闵行·一模）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出后，进一步利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． ►题型04 尺规作图与等腰三角形综合 【典例】（2024·福建·模拟预测）如图，在矩形中，连接， 过点D 作于点E， 再以点D 为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N， 分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P， 连接并延长，交于点Q， 若，   则 的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质和角平分线的定义，证明出，再设，则，对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由题意可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 则， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形判定，尺规作图---角平分线，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是证明出． 【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，平行四边形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了尺柜作图，平行四边形的性质，等角对等边．由平行四边形的性质得，，证明得，然后根据求解即可． 【详解】∵平行四边形中，， ∴，， ∴． 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴． 由作图可知，， ∴． 故选B． 【变式2】（2025·贵州毕节·一模）如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，等角对等边，由平行四边形的性质得到，根据作图方法可知，平分，则由平行线的性质与角平分线的定义可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． ►题型05 等腰三角形中折叠问题 【典例】（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，再根据为等腰三角形，可得，再根据折叠的性质可得，由此求出，最后分两种情况：①和，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为直角三角形， ， ∴即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为直角三角形， ∴， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【变式1】（2024·新疆·二模）如图，在中，，，P、Q是边上两点，将沿直线折叠，沿直线折叠，使得B、C的对应点重合于点R．当为直角三角形时，线段的长为_______． 【答案】或 【分析】作于F，求出，，勾股定理求出，得到，然后分两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：作于F， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，当时， 由折叠可知，，，，即， 则， ∴，， ∴， ∴，， ∴；        如图所示，当时， 同理可求，，， 则， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠性质、等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题关键是作出底边上的高以及分类讨论思想的运用． 【变式2】（2025·内蒙古包头·二模）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 命题点三 等边三角形的性质与判定 ►题型01 根据等边三角形的性质求线段长度 核心前提：等边三角形是特殊的等腰三角形，其角的核心性质为三个内角均相等，且每个内角都等于60°,同时具备等腰三角形”等边对等角"“三线合一”的所有性质。解题核心是“利用等边三角形内角特性→结合三角形内角和、外角性质等→求解未知角度”，分4步规范解题，规避常见易错点，确保计算准确。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.定”等边三角形”：先观察题干图形或已知条件，明确所求角度所在的三角形是等边三角形(可通过定义：三边相等；判定：三角相等、有一个角是60°的等腰三角形确认)，标注出等边三角形的三条相等边或三个相等的角。 2.用“核心性质”：直接运用等边三角形的角性质——三个内角均为60°，若所求角是等边三角形的内角，可直接得出角度为60°；若所求角与等边三角形的内角相关，先标注出已知的60°角，为后续推导铺垫。 3.找“关联角度关系”：梳理题干中与所求角相关的条件(如平行线、角平分线、垂直、三角形全等、外角、三线合一等),结合三角形内角和180°、外角等于不相邻两个内角和等性质，将等边三角形的60°角与未知角建立联系。 4.算“未知角度”：根据上述关联关系，列出等式(若有未知角可设为x),计算得出未知角度；计算后验证角度关系是否成立(如内角和、外角与内角的关系),确保计算无误。 【典例】（2026·宁夏银川·一模）若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________． 【答案】 【分析】先利用等边三角形的性质确定相关线段长度和角度，再通过直角三角形中的三角函数关系求出内切圆半径． 【详解】解：是边长为2的等边三角形，是其内切圆，与切于点D，连接，，如图： ∵是的内切圆， ∴，是的平分线， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 即内切圆的半径是． 【变式1】（2026·辽宁阜新·一模）如图，点D在等边三角形的边上，，若，，则的长为____．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质，得，，再运用三角形外角性质，得，证明，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，可证，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 将纸片沿对角线对折， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． ►题型02 圆中的等边三角形的应用 【典例】（2026·湖北十堰·一模）如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 垂直平分， ∴， 为等边三角形， ， ． 【变式1】（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，求出，则可证明是等边三角形．得到，；根据三角形内心的定义可得，则可求出的度数；过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，求出扇形和的面积即可得到答案． 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 【变式2】（2026·山东·一模）如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，设工作时毛刷绕点P 旋转形成的圆弧交于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数等知识点，正确作出辅助线是作题的关键．连接，，，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 由题意可知，点是点，，所在圆的圆心． 点A、P、B在同一直线上， 是的直径． ∵， ∴． 的直径为， ， ， ∴是等边三角形， ∴， 故设边上的高为，（）， 则， 即， ， ， ． ∵ ， ∴． 故选：A． 突破一 等腰三角形的性质与判定几何综合 【典例】（2025·天津滨海新区·一模）如图，正方形的边长为6，点M为边上一点，过点M作交于点N，且，连接． （1）的长为________； （2）若点F为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据正方形的性质，得到为等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的长即可； （2）过点作，易得为等腰直角三角形，求出和的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：； （2）过点作，则：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 【变式1】（2025·天津和平·一模）如图，菱形的边长为，点，分别是边，的中点，连接，则的长为_____的长为_____； 点H，G分别是的中点，连接，则的长为_____． 【答案】 3 【分析】连接，，，并延长交于P，连接，先证明、是等边三角形，由点、分别是边、的中点和等边三角形的性质得出，，，， 由勾股定理，得，，再证明，得到，从而求得，得出，则，由勾股定理，得， 从而得到，然后证明是等边三角形，得出，最后利用三角形中位线性质求出长即可． 【详解】解：连接，，，并延长交于P，连接，如图， ∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴、是等边三角形， ∵点，分别是边，的中点， ∴，，，， 由勾股定理，得； ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理，得； ∵G分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点H，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ 故答案为：3；；． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的中位线的性质．正确作出辅助线构造全等三角形、等边三角形和直角三角形是解题的关键． 【变式2】（2025·天津河东·一模）如图，在中，，，点在边上，点在外，连接，若，则： （1）线段的长等于___________； （2）线段的长等于___________． 【答案】 / ## 【分析】（1）根据勾股定理得到，再由，即可得到 （2）设交于点M，由，得到，在根据三角形内角和定理得到，，，再由等角对等边得到，，即可解答． 【详解】（1）∵在中，，， ∴， ∵， ∴． （2）设交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，垂直定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【变式3】（2024·天津红桥·二模）如图，在中，． （1）的面积为______________； （2）以为边作正方形，过点作，与的延长线相交于点，则的长为______________． 【答案】 2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质； （1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，进而得出，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）如图所示，过点作于点， ∵ ∴ 在中， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 由 ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ 在中，， 故答案为：． 突破二 等腰三角形的性质与判定和圆综合 【典例】（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于___________； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条）___________． 【答案】 见解析 【分析】本题考查考查了复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质画图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 【详解】（1）； （2）如图，取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 证明：如图，取格点，连接，设圆的圆心为，连接， ， 根据图形可得， ， ， ， ， 由作图可得且，点分别为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 为的垂直平分线， ， 所对的圆心角是， ， 为等边三角形； 由作图可得， ， ， , ， ， ， ， 即， 为圆的切线． 【变式1】（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，以的边为直径的圆交边于点，，为格点． （）线段的长为______； （）在线段上有一点，满足与以为直径的圆相切于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 6 取格点，，连接，分别与格线交于点，连接，与交于点，则为中点，即圆心；取格点，连接，与圆交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，则点即为所求 【分析】（）根据直角三角形的性质即可求解； （）取格点，，连接，分别与格线交于点，连接，与交于点，则为中点，即圆心；取格点，连接，与圆交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（）∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）如图，点即为所求． 理由：根据题意可得点分别是中点，点是中点， 则， ， ∵， ∴， ∴， 结合（1）可得， ∴点为中点，即圆心， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是切线． 【点睛】该题考查了直角三角形的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图象． 【变式2】（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以的边为直径的圆交边于点M，，B、M为格点． （1）线段的长为 _____ ； （2）在线段上有一点N，满足与以为直径的圆相切于点M，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点N，并简要说明点N的位置是如何找到的（不要求证明） ___________ ． 【答案】 6 见解析；见解析 【分析】该题考查了直角三角形的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形． （1）根据直径，再根据直角三角形30度角的性质求解即可； （2）取格点E、F、G、H、R、I、S、Z，连接、、、，分别与格线交于点P、Q、X、Y，连接、，与交于点O，则O为中点，即圆心；取格点D，连接，与圆交于点J，连接并延长，交于点K，连接交于点N，则点N即为所求． 【详解】解：（1）∵为直径 ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：6． （2）如图，点N即为所求． 取格点E、F、G、H、R、I、S、Z，连接、、、，分别与格线交于点P、Q、X、Y，连接、，与交于点O， 则，且，，且，P、Q、X、Y是、、、的中点，点是的中点， ，， ， ， ， 由（1）可知， ， O为中点，即圆心； 取格点D，连接，与圆交于点J，连接并延长，交于点K，连接交于点， ， ，， 、、、、是等边三角形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ，即是的切线， 与的交点即为所求作点． 【变式3】（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为______； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 画法见解析 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）取格点，连接交于点，连接交于点，连接，与交点即为圆心，因为由正方形的轴对称性可知为中点，故，则，取与格线交点为点，则为中点，因为，连接并延长交于点，连接交于点，则，那么，则，由于为中位线，则，则，即平分，连接并延长与延长线交于点，则，那么，连接并延长与交点即为点，由于点为等腰三角形中线上一点，由轴对称性可得． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）如图：点即为所作： 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正方形的性质等知识点，难度大． 【变式4】（2025·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点均在格点上． （I）线段的长为_______； （II）若点在线段上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使为等边三角形且的周长最小，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 见解析 【分析】（I）结合网格特点，利用勾股定理计算即可得； （II）取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 【详解】解：（I）由图可知，， 故答案为：． （II）如图，取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 证明：如图，取格点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线的交点为的中点，， ∵是等边三角形， ∴， ，的外接圆的圆心在上， 由网格可知，， 由圆周角定理得：是的外接圆的直径， ∴与的交点为的外接圆的圆心， ∴为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为， 由垂线段最短可知，此时的值最小， ∴所作的为等边三角形且的周长最小． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出的外接圆的圆心是解题关键． 突破三 等边三角形的性质与判定最值问题 【典例】（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为___________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形等，求最大值，可转化成求线段最小，即A到线段的距离最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∵点、在的两侧， ∴当时，最小，最大， ∵是等边三角形， 综上所述的最大值为． 故答案为：． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 __________________ ．    【答案】/0.5 【分析】在的右侧作等边三角形，连接，与交于点H，利用等边三角形性质证明出，得出当点E运动时，点F在过点G且与垂直的垂线上运动，再证明，得出，利用解直角三角形求出，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示，在的右侧作等边三角形，连接，与交于点H，    又是等边三角形， ， ， ， ， 当点E运动时，点F在过点G且与垂直的垂线上运动， 当时，最短，此时， ， ， ， 又中，， ， ， ，即， 线段长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，掌握相关性质定理为解题关键． 【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在等边中，，是中线，点E是的中点，点P是边上一动点，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用三线合一得到，，再利用勾股定理求得，从而可利用中点的意义得到，当、、三点在同一直线上时，有最大值为，利用勾股定理求得的最大值． 【详解】解：连接， ∵在等边中，是中线，， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ， ∵， ∴当、、三点在同一直线上时，有最大值为， 此时， 故答案为：． 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形和菱形的性质以及勾股定理进行求解． 【详解】解：由正方形得，， ∴， 解得，（负值已舍）， 由菱形得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质． 由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 3．（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键，根据圆周角定理，得到，由垂径定理得到，由此得到是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故选：B ． 4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线交边于点D，边上的高与交于点F，已知，，，则的长为________． 【答案】 【分析】首先根据高的定义得到，结合证明是等腰直角三角形，从而求出的长；然后在中，利用求出的长；最后根据角平分线定义得到，在中利用三角函数求出的长． 【详解】解：∵是高， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，． 5．（2026·湖南衡阳·一模）如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为_____． 【答案】4 【详解】解：由作图可知，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在轴上，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数比例系数的几何意义，等腰三角形的性质，过点作轴于点，可得，，即得，利用等腰三角形的性质可得，即得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， ∴，， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，D是边上一点，M是边的中点，连接并延长至点N，使得，连接，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A到边的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵M是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接，若是的中点，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由圆周角定理可得，，证明是等腰三角形，从而得到，．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可计算出，利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确（   ）    A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 【答案】A 【分析】对于甲同学的作法，先证明进而得到，然后利用平行线内错角相等即可得出结论；对于乙同学的作法，先证明，然后通过构造，即可得出结论． 【详解】解：设每个单元格的边长为， 根据甲同学的作法，． 在中， ． ． ． ， ． ，故甲同学的作法是对的； 对于乙同学的作法，如图， ， ， ， ， ． ． 连接，对于和， ， ． ． 乙同学的作法也是对的． 【点睛】本题以格点为背景，甲借助等腰三角形和平行线转化角，乙通过三角函数与全等构造角平分线，两种方法均体现了数形结合与构造思想，验证了格点中角平分线作图的可行性． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，六边形和五边形都是正多边形，是正六边形的外接圆，连接并延长交于点，已知的半径为，则劣弧的长为______．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，，根据多边形内角和公式求出，，根据等腰三角形的性质得出，，即可求出，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵六边形和五边形都是正多边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵是正六边形的外接圆，和分别是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∴劣弧的长为． 4．（2025·山西忻州·三模）如图，四边形是菱形，，，点E是菱形内部一点，连接，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】连接，在上截取，连接，结合菱形的性质证明为等边三角形，易得，，再证明为等边三角形，可得，，进而证明，，由全等三角形的性质可得，过点A作于点G，利用勾股定理解得，的长度，然后可得的长度，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，在上截取，连接， 四边形是菱形， ， ， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ，， ，即， ， ， 如图，过点A作于点G，则， ， 在中，， ， ． 5．（2026·宁夏银川·一模）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内两点， ，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或 (1)已知，，试求A，B两点间的距离． (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为，试求A，B两点的距离． (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． (4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标以及的最短长度． 【答案】(1)13 (2)5 (3)是等腰三角形，理由见详解 (4)，的最短长度为 【分析】（1）根据题意结合已知条件利用距离公式计算出两点距离即可； （2）根据题意可得出两点横坐标相同，距离即为纵坐标差的绝对值，从而求得结果； （3）先根据两点间距离公式分别计算、、的长度，再通过边长关系判断三角形的形状，若两边相等则为等腰三角形； （4）先利用轴对称性质，作点F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时最短，先通过待定系数法求出直线解析式，再令求得x的值，从而得到点P的坐标，最后利用两点间距离公式求得的长度，即为的最短长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为， ∴． （3）解：是等腰三角形， 理由：∵，，， ∴，，， 即， ∴是等腰三角形． （4）解：如图，作点F关于x轴的对称点， ∵， 连接，与x轴交于点P，此时长度最短，为， 设直线解析式为， 由对称性可知， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令得，即， ∴的最短长度为， 则的长度最短时，，此时的最短长度为． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 5．（2024·陕西·中考真题）小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 【答案】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $ 四章 三角形 第04讲 等腰三角形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 等腰三角形的性质 题型01利用等边对等角求角度 题型02根据等边对等角进行简单证明 题型03利用三线合一求线段长度 命题点二 等腰三角形的判定 题型01格点中画等腰三角形 题型02根据等角对等边证明等腰三角形 题型03根据等角对等边求线段长度 题型04尺规作图与等腰三角形综合 题型05等腰三角形中折叠问题 命题点三 等边三角形的性质与判定 题型01 根据等边三角形的性质求线段长度 题型02 圆中的等边三角形的应用 05·重难突破·思维进阶 20 突破一 等腰三角形的性质与判定几何综合 突破二 等腰三角形的性质与判定和圆综合 突破三 等边三角形的性质与判定最值问题 06·优题精选·练能提分 24 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形的性质与判定 天津卷 （第24题） （第18题） 天津卷 （第21题） 天津卷 （第17题） （第18题） 1. 理解等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质；2. 能利用性质证明角相等、线段相等、垂直关系；3. 结合内角和、外角性质进行角度计算。4. 掌握 “等角对等边” 的判定定理；5. 能在复杂图形中识别并判定等腰三角形；6. 结合图形变换（旋转 / 折叠）构造等腰三角形。 等腰三角形的分类讨论（存在性问题） 天津卷 （第25题） 天津卷 （第25题） 天津卷 （\） 1. 能对 “腰 / 底不确定”“顶角 / 底角不确定” 的情况进行分类讨论；2. 结合坐标系、二次函数探究等腰三角形的存在性；3. 培养分类讨论思想与逻辑严谨性。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为天津中考几何核心考点，分值稳定在12–15分，覆盖选择、填空、解答全题型，基础题（第10/11题）难度较低，中档题（第16/17/18题）侧重图形转化，压轴题（第24/25题）侧重分类讨论与存在性探究，整体难度梯度清晰，是区分几何能力的关键考点。 应用场景灵活多变：一方面会延续 2023–2025 年风格，以正方形、矩形、圆、折叠、旋转、坐标系、二次函数为核心载体，考查等腰三角形的性质与判定，重点关注三线合一、等边对等角、分类讨论（腰/底不确定）；另一方面可能融入生活场景（如测量、建筑模型）或古代数学问题，让题目更贴近实际应用，聚焦 “用等腰三角形性质解决几何与实际问题” 的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强等腰三角形与其他知识点的融合。比如与全等三角形、相似三角形、圆的性质（垂径定理、圆周角定理）、图形变换（平移/旋转/轴对称）、二次函数结合，先由等腰三角形得到线段/角相等，再推导后续结论；或融入平面直角坐标系，考查坐标系中等腰三角形的存在性与坐标计算，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以“基础选择 + 中档填空/作图+压轴解答”的形式考查。基础题直接考查性质与判定，中档题侧重图形转化与长度计算，压轴题侧重分类讨论与存在性探究，符合天津中考“图形与几何”部分每年多道等腰三角形相关题的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的性质 一、核心性质 1. 边的性质：等腰三角形的两条腰相等。（易错提醒：腰与底边无固定大小关系，需结合题干判断） 2. 角的性质（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。（易错提醒：仅底角相等，顶角与底角不一定相等；底角必为锐角） 3. 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（易错提醒：仅针对“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的三线不重合） 4. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线。（易错提醒：只有1条对称轴，区别于等边三角形的3条） 二、延伸性质（关联知识点） 1. 等腰三角形顶角的外角等于两个底角的和（等于底角的2倍）。（易错提醒：注意外角与内角的关系，避免混淆“顶角外角”与“底角外角”） 2. 等腰三角形底边上的垂直平分线与顶角平分线、底边中线、底边高重合。（易错提醒：仅底边上的垂直平分线满足，腰上的垂直平分线不与三线重合） 三、常见易错点汇总 主要易错点包括：1. 混淆“三线合一”的适用范围；2. 忽略底角必为锐角，误将钝角当作底角；3. 误认为等腰三角形有多条对称轴；4. 运用“等边对等角”时，混淆腰与底边对应的角。 解题提醒：解题时先明确腰、底边、顶角、底角，再运用性质，避免漏解、错解。 等腰三角形的判定 一、核心判定方法（重点） 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。（易错提醒：判定时需明确两条边相等，注意区分腰与底边，无需额外证明角的关系） 2. 判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（易错提醒：相等的两个角对应的边是腰，需对应准确，避免混淆边与角的对应关系） 二、延伸判定方法（关联知识点） 1. 若一个三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，则该三角形是等腰三角形（反向运用“三线合一”）。（易错提醒：需同时满足其中两个条件即可判定，且仅针对底边和顶角相关的线） 2. 若一个三角形的一条边上的中线与这条边上的高重合，则该三角形是等腰三角形（这条边为底边，另外两条边为腰）。（易错提醒：仅当中线和高在同一条边上时成立，腰上的中线与高不重合） 3. 若一个三角形的一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则该三角形是等腰三角形（这个角为顶角，对边为底边）。（易错提醒：区分“顶角平分线”与“底角平分线”，仅顶角平分线满足此判定） 三、常见易错点汇总 主要易错点包括： 1. 运用“等角对等边”时，混淆角与边的对应关系； 2. 反向运用“三线合一”时，忽略适用范围（仅针对底边相关的线）； 3. 判定时未验证三角形成立条件（如两边相等但不满足三边关系）； 4. 误将“有一个角是60°的三角形”当作等腰三角形（需结合等腰三角形定义或判定定理）。 解题提醒：判定时先明确判定方法的适用条件，找准边与角的对应关系，必要时验证三角形成立，避免错判、漏判。 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 3．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 4．（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 5．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 考点二 等腰三角形与几何综合 核心解题思路 1.先找等腰：①角平分线+平行线→等腰；②直+中点→等腰（三线合一逆用）；③旋转/折叠→等腰（对应边相等） 2.再用性质：①等边对等角→倒角求角度；②三线合一→得垂直、中点、角平分线；③外角→快速算角度 3.构造全等：①等腰常配合截长补短、倍长中线、旋转全等；②等边三角形→60°旋转全等模型 4.分类讨论不漏解 1．（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 2．（2025·天津滨海新区·模拟预测）如图，E为正方形的边上一点，F为边延长线上一点，且点G为边上一点，且． 的周长为8，，与交于点H，连接． （1）正方形的边长为__________________________． （2） 的长为____________________________． 3．（2025·天津南开·三模）如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且． （1）线段的长为______； （2）线段的长为______． 4．（2025·天津滨海新·三模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为______； （2）若G为的中点，则线段的长为______． 5．（2025·天津红桥·三模）如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为_____； （2）若为的中点，则线段的长为_____． 命题点一 等腰三角形的性质 ►题型01 利用等边对等角求角度 核心前提：“等边对等角”是等腰三角形的核心角性质，仅适用于等腰三角形，即等腰三角形中，两条相等的腰所对的两个底角相等(反之“等角对等边”是判定，不可混淆)。解题核心是“找等边→定等角→结合内角和/外角性质求解”，分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找”等边”：先观察题干图形或已知条件，明确等腰三角形中两条相等的边(腰)，标注出相等的边(如AB=AC,可在图中用相同符号标注)；若题干未明确，需先根据等腰三角形定义判定出等边。 2.定“等角”：根据”等边对等角”，确定相等的两条边所对应的角相等，标注出等角(如AB=AC，则AB所对的∠C与AC所对的∠B相等，即∠B=∠C);注意：边与角的对应关系，避免混淆“腰所对的角”与“底边所对的角”。 3.找“已知角/隐含条件”：提取题干中给出的已知角度，同时牢记两个隐含条件——①三角形内角和为180°；②等腰三角形的顶角与底角的关系(顶角=180°-2×底角，底角=(180°-顶角)÷2);若有外角，结合“三角形外角=不相邻两个内角和”辅助求解。 4.列关系、算角度：设未知角为x(通常设底角为x,计算更简便),根据内角和、等角关系或外角性质，列出等式，求解未知角；计算完成后，验证角度和是否为180°，确保计算无误。 【典例】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广西柳州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则为（   ） A． B． C． D． ►题型02 根据等边对等角进行简单证明 【典例】（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，是中点，过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．请你判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1】（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形中，点在上，点在上，且，连接，求证：． 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，是上一点，连接，是的平分线，且，是上一点，过点分别作、交于点．求证：．    ►题型03 利用三线合一求线段长度 【典例】（2026·安徽·模拟预测）如图，在中，，在上取一点，使得，连接，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（2025·陕西延安·二模）如图，在中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，则的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 命题点二 等腰三角形的判定 ►题型01 格点中画等腰三角形 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)画出以为对角线的正方形，点E、F在小正方形的顶点上； (2)画以为底边的等腰，点M在小正方形的顶点上，且的面积为7.5，连接，请直接写出长． 【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画一个以线段为一边的菱形，其面积为20，且各顶点均在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且； (3)连接，请直接写出线段的长． ►题型02 根据等角对等边证明等腰三角形 核心前提：“等角对等边”是等腰三角形的核心判定定理，仅适用于三角形，即一个三角形中，若两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等(反之“等边对等角”是性质，不可混淆)。解题核心是“找等角→定对应边→结合已知条件证明等边”，分4步规范证明，同时规避常见易错点，确保证明逻辑严谨。 核心解题步骤(规范可落地) 1.找”等角”：先观察题干图形、已知条件(如角平分线、平行线、垂直、全等、等腰三角形性质等)，通过这些条件推导或直接提取出三角形中两个相等的角，标注出等角(如∠B=∠C,可在图中用相同弧线标注)；若等角未直接给出，需先通过辅助线或几何性质转化角的关系，推导得出等角。 2.定“对应边”：根据”等角对等边”,确定两个相等的角所对应的两条边，明确待证明的两条相等线段(如∠B=∠C,则∠B所对的边AC与∠C所对的边AB相等，即需证明AB=AC);关键是找准”角与边的对应关系”,避免混淆角所对的边。 3.理”已知条件/辅助线”：梳理题干中所有已知条件，明确推导等角的依据(如角平分线定义、平行线的性质、全等三角形的对应角相等、三角形内角和定理等)；若无法直接推出等角，需添加合适的辅助线(如作角平分线、垂线、中线)，转化角的关系，为推导等角创造条件。 4.写“证明过程”：按“已知→推导等角→应用等角对等边→得出结论”的逻辑，规范书写证明步骤，每一步推导都需标注依据，最终证明出两条线段相等，确保逻辑连贯、依据充分。 【典例】（2026·山东滨州·一模）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式1】（2025·江西抚州·二模）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，与相交于点O． (1)试判断三角形的形状； (2)已知，，求的值． 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，按下列步骤作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，； ②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求证：是等腰三角形． ►题型03 根据等角对等边求线段长度 【典例】（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2026·陕西西安·一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是，则这个扳手的开口a的值是________． 【变式2】（2026·上海闵行·一模）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． ►题型04 尺规作图与等腰三角形综合 【典例】（2024·福建·模拟预测）如图，在矩形中，连接， 过点D 作于点E， 再以点D 为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N， 分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P， 连接并延长，交于点Q， 若，   则 的长为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，平行四边形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式2】（2025·贵州毕节·一模）如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 ►题型05 等腰三角形中折叠问题 【典例】（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则_____． 【变式1】（2024·新疆·二模）如图，在中，，，P、Q是边上两点，将沿直线折叠，沿直线折叠，使得B、C的对应点重合于点R．当为直角三角形时，线段的长为_______． 【变式2】（2025·内蒙古包头·二模）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 命题点三 等边三角形的性质与判定 ►题型01 根据等边三角形的性质求线段长度 核心前提：等边三角形是特殊的等腰三角形，其角的核心性质为三个内角均相等，且每个内角都等于60°,同时具备等腰三角形”等边对等角"“三线合一”的所有性质。解题核心是“利用等边三角形内角特性→结合三角形内角和、外角性质等→求解未知角度”，分4步规范解题，规避常见易错点，确保计算准确。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.定”等边三角形”：先观察题干图形或已知条件，明确所求角度所在的三角形是等边三角形(可通过定义：三边相等；判定：三角相等、有一个角是60°的等腰三角形确认)，标注出等边三角形的三条相等边或三个相等的角。 2.用“核心性质”：直接运用等边三角形的角性质——三个内角均为60°，若所求角是等边三角形的内角，可直接得出角度为60°；若所求角与等边三角形的内角相关，先标注出已知的60°角，为后续推导铺垫。 3.找“关联角度关系”：梳理题干中与所求角相关的条件(如平行线、角平分线、垂直、三角形全等、外角、三线合一等),结合三角形内角和180°、外角等于不相邻两个内角和等性质，将等边三角形的60°角与未知角建立联系。 4.算“未知角度”：根据上述关联关系，列出等式(若有未知角可设为x),计算得出未知角度；计算后验证角度关系是否成立(如内角和、外角与内角的关系),确保计算无误。 【典例】（2026·宁夏银川·一模）若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________． 【变式1】（2026·辽宁阜新·一模）如图，点D在等边三角形的边上，，若，，则的长为____．    【变式2】（2025·上海·模拟预测）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形，则的长度为______． ►题型02 圆中的等边三角形的应用 【典例】（2026·湖北十堰·一模）如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东·一模）如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，设工作时毛刷绕点P 旋转形成的圆弧交于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 突破一 等腰三角形的性质与判定几何综合 【典例】（2025·天津滨海新区·一模）如图，正方形的边长为6，点M为边上一点，过点M作交于点N，且，连接． （1）的长为________； （2）若点F为的中点，连接，则的长为________． 【变式1】（2025·天津和平·一模）如图，菱形的边长为，点，分别是边，的中点，连接，则的长为_____的长为_____； 点H，G分别是的中点，连接，则的长为_____． 【变式2】（2025·天津河东·一模）如图，在中，，，点在边上，点在外，连接，若，则： （1）线段的长等于___________； （2）线段的长等于___________． 【变式3】（2024·天津红桥·二模）如图，在中，． （1）的面积为______________； （2）以为边作正方形，过点作，与的延长线相交于点，则的长为______________． 突破二 等腰三角形的性质与判定和圆综合 【典例】（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于___________； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条）___________． 【变式1】（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，以的边为直径的圆交边于点，，为格点． （）线段的长为______； （）在线段上有一点，满足与以为直径的圆相切于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【变式2】（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以的边为直径的圆交边于点M，，B、M为格点． （1）线段的长为 _____ ； （2）在线段上有一点N，满足与以为直径的圆相切于点M，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点N，并简要说明点N的位置是如何找到的（不要求证明） ___________ ． 【变式3】（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为______； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【变式4】（2025·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点均在格点上． （I）线段的长为_______； （II）若点在线段上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使为等边三角形且的周长最小，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 突破三 等边三角形的性质与判定最值问题 【典例】（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为___________． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 __________________ ．    【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在等边中，，是中线，点E是的中点，点P是边上一动点，则的最大值是______． 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D．3 4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线交边于点D，边上的高与交于点F，已知，，，则的长为________． 5．（2026·湖南衡阳·一模）如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为_____． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在轴上，且，则的面积为______． 7．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，D是边上一点，M是边的中点，连接并延长至点N，使得，连接，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A到边的距离． 1．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接，若是的中点，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确（   ）    A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，六边形和五边形都是正多边形，是正六边形的外接圆，连接并延长交于点，已知的半径为，则劣弧的长为______．（结果保留） 4．（2025·山西忻州·三模）如图，四边形是菱形，，，点E是菱形内部一点，连接，若，，则的长为________． 5．（2026·宁夏银川·一模）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内两点， ，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或 (1)已知，，试求A，B两点间的距离． (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为，试求A，B两点的距离． (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． (4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标以及的最短长度． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 5．（2024·陕西·中考真题）小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $