专题3.3 乘法公式（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题3.3 乘法公式 教学目标 1.能通过多项式乘法推导平方差公式和完全平方公式，说出公式的结构特征。 2.能准确识别平方差公式、完全平方公式的适用场景，正向完成基础运算，做到符号正确、不遗漏项。 3.能结合同类项合并，完成两步以内的公式简单应用，结果格式规范 教学重难点 1.重点 （1）平方差公式、完全平方公式的结构特征与正向应用。 （2）公式的逆向应用（尤其是求值问题中，利用公式变形简化计算）。 （3）公式与整式加减、幂运算的混合运算。 2.难点 （1）公式的准确识别 （2）完全平方公式的中间项处理 （3）公式的逆向与综合应用 知识点01 平方差 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【即学即练】 1．计算______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式．利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 2．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 （填序号）． ① ② ③ (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则 ． ②计算： 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的验证与应用． (1)根据拼接前后阴影的面积不变，可以验证平方差公式； (2)①把，代入即可求出的值； ②把转化为，用平方差公式展开进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为， 如下图所示，图中平行四边形的高为，底为， 平行四边形的面积为， 拼接前后阴影部分的面积没有变化， ， 能验证的公式是②， 故答案为②； （2）①解： ，，， ∴ ， 故答案为：； ②解： ． 知识点02 完全平方 1.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 2.拓展、补充公式 ；； ；. 【即学即练】 1．计算：_____． 【答案】100 【分析】本题考查了完全平方公式．观察表达式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【详解】解： ． 故答案为：100． 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用． （1）用两种方法表示面积，列出等式即可； （2）设正方形，的边长分别为，，可得，，代入（1）中结论求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1面积可表示为、， 即， 故答案为：； （2）解：设正方形，的边长分别为，， ，， ，， ， 即， ， ． 题型1 平方差公式运算 【典例1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算； （2）根据平方差公式进行计算； （3）先根据平方差公式分别计算，再加减即可； （4）根据平方差公式依次进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的运用，注意数字特点，灵活运算； （1）利用平方差公式展开； （2）把改为，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，关键是准确识别两个因式中相同的项和互为相反数的项，将相同项作为公式中的，互为相反数的项作为公式中的，再套用公式计算． （1）观察到两个因式中是相同项，和是互为相反数的项，直接套用平方差公式计算即可； （2）先调整因式顺序，明确是相同项，和是互为相反数的项，再套用平方差公式计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的连续应用，解题的关键是灵活运用平方差公式简化运算； （1）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式； （2）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式． 【详解】（1）解： （2）解： 题型2 平方差公式的几何背景 【典例2】推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 【变式1】乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）； (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）； (4)运用你所得到的公式，计算下列题： 【答案】(1) (2)，, (3) (4) 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟悉相关性质是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； （2）解：由图可知长方形的宽是，长是，所以面积是； （3）解：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4）解： ； 【变式2】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 【变式3】边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 题型3 完全平方公式 【典例3】运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【变式1】运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式：熟练掌握应用完全平方公式是解决此类问题的关键（完全平方公式：． （1）直接利用完全平方公式计算； （2）直接利用完全平方公式计算； （3）利用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)40401 (2)806404 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式． （1）将201拆分为，根据完全平方公式计算即可； （2）将898拆分为，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型4 完全平方公式下的几何背景 【典例4】通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：． 现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）在图3中，根据图中条件，直接写出与之间的关系：_______（用含a，b的代数式表示出来）； 【解决问题】 （2）①若，，_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】（1）；（2）①的值为或；②的值为；（3） 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可； ②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】解：（1）观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）假设，，则，，， ∵， 得， 故． 【变式1】如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3)14 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）最大的正方形面积等于其边长的平方，最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，据此用两种方法表示出最大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据（1）中的等式进行计算即可； （3）可求出，再把等式两边同时平方，结合（1）的结论可得答案； （4）设，则，，则，然后根据完全平方公式展开，即可得答案． 【详解】（1）解：最大的正方形的边长为，其面积为 剩余部分的面积等于1个边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则剩余部分的面积为， 而最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，则最大的正方形面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：16； （3）解：当时，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴． 【变式2】【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 【变式3】如图，某学校有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一块边长为米的正方形修建花坛，其余部分种植草坪． (1)用含，的式子表示草坪的面积； (2)若，，求草坪的面积． 【答案】(1) (2)(平方米)． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算—化简求值，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键． （1）草坪面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：草坪的面积长方形面积正方形面积 ； （2）解：当，时， 草坪面积 (平方米) 题型5 完全平方公式变形求值 【典例5】已知，求： (1) ； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用多项式乘多项式进行变形，然后代数求解即可； （2）利用完全平方公式进行变形，然后代数求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后代数求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【分析】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）得 ∴ ． 【变式3】已知，．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，代入，计算即可； （2）因为，代入，计算可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴． 题型6 求完全平方式中的字母系数 【典例6】若是一个完全平方式，则（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去的2倍，据此可解答． 【详解】解：． ∵是一个完全平方式， ∴． ∴． 故选：D． 【变式1】如果是一个完全平方式，那么可以等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 故选：D． 【变式2】若多项式是一个完全平方式，则的值可能是（   ） A． B． C．4 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的定义，得出符合题意的形式，对应得出答案即可． 【详解】 是一个完全平方式，， 或， 或； 的值可能是； 故选． 【变式3】若完全平方式，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式．通过展开完全平方式并比较对应项的系数，求出a和b的值，再相加即可． 【详解】解：将左边展开得：， 右边为：， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】套用全平方公式展开计算即可得到结果． 【详解】解：． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平方差公式的计算，根据平方差公式计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故选：D． 3．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 先分别求出图甲和图乙中阴影部分的面积，再根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解． 【详解】解：图甲中的阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即， 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的矩形的面积，即， 两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：C． 4．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可． 【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算； B．故能用平方差公式计算； C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；     D．无相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选B． 5．若是完全平方式，则k的值是（   ） A．20 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解： ， ∴， 故选：C ． 6．一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则原正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及正方形的面积公式．设原正方形边长为，根据面积增加列方程求解即可． 【详解】解：设原正方形边长为，则原面积为， 边长增加后，新边长为，新面积为， 面积增加， ， ， 即， 解得， 所以原正方形边长为， 故选：． 7．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况． 【详解】解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形， ∴正方形的边长可以为：，，，四种情况； （注意每一种卡片至少用1张，至多用8张） 即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张； ，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张； ，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意； ，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张； ，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张； 故选：B． 8．若，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 9．一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为________． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式，根据该公式，由已知条件求出的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴． 故该长方形的面积为9． 故答案为：9． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的知识进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式的知识进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．将完全平方公式适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则___________； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，若，两个正方形的面积和为15，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)74 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，利用完全平方公式求值，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式计算； （2）根据完全平方公式计算； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，得到，，根据完全平方公式求出ab，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，，， ∴ ∴， 故答案为：74； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 则，， ∵ ∴ ∴， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 乘法公式 教学目标 1.能通过多项式乘法推导平方差公式和完全平方公式，说出公式的结构特征。 2.能准确识别平方差公式、完全平方公式的适用场景，正向完成基础运算，做到符号正确、不遗漏项。 3.能结合同类项合并，完成两步以内的公式简单应用，结果格式规范 教学重难点 1.重点 （1）平方差公式、完全平方公式的结构特征与正向应用。 （2）公式的逆向应用（尤其是求值问题中，利用公式变形简化计算）。 （3）公式与整式加减、幂运算的混合运算。 2.难点 （1）公式的准确识别 （2）完全平方公式的中间项处理 （3）公式的逆向与综合应用 知识点01 平方差 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【即学即练】 1．计算______． 2．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 （填序号）． ① ② ③ (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则 ． ②计算： 知识点02 完全平方 1.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 2.拓展、补充公式 ；； ；. 【即学即练】 1．计算：_____． 2．计算：______． 3．我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 题型1 平方差公式运算 【典例1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型2 平方差公式的几何背景 【典例2】推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【变式1】乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）； (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）； (4)运用你所得到的公式，计算下列题： 【变式2】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【变式3】边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 题型3 完全平方公式 【典例3】运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 【变式2】用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型4 完全平方公式下的几何背景 【典例4】通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：． 现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）在图3中，根据图中条件，直接写出与之间的关系：_______（用含a，b的代数式表示出来）； 【解决问题】 （2）①若，，_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【变式1】如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 【变式2】【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【变式3】如图，某学校有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一块边长为米的正方形修建花坛，其余部分种植草坪． (1)用含，的式子表示草坪的面积； (2)若，，求草坪的面积． 题型5 完全平方公式变形求值 【典例5】已知，求： (1) ； (2) (3) 【变式1】已知，求： (1)； (2)的值 【变式2】已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式3】已知，．求： (1)； (2)． 题型6 求完全平方式中的字母系数 【典例6】若是一个完全平方式，则（    ） A．6 B．12 C． D． 【变式1】如果是一个完全平方式，那么可以等于（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】若多项式是一个完全平方式，则的值可能是（   ） A． B． C．4 D．16 【变式3】若完全平方式，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C 4．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 5．若是完全平方式，则k的值是（   ） A．20 B． C． D． 6．一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则原正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．若，则的值为___________． 9．一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为________． 10．计算： (1) (2) 11．将完全平方公式适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则___________； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，若，两个正方形的面积和为15，求图中阴影部分的面积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $