第3章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材浙教版七年级下册

第3章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据积的乘方法则化简，再根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算. 【详解】解：  ． 故选：D． 2．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，A错误 ，B正确 ，C错误 ，D错误 4．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开等式左边，根据多项式相等对应项系数相等求出的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴对比对应项系数可得 ：， ∴． 5．计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 6．如图是用个相同的小长方形与个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，（其中）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大正方形的面积是，大正方形的边长可以表示为，可得：，故A选项正确；根据小正方形的面积是，小正方形的边长可以表示为，可得：，故B选项正确；根据平方差公式可得：，故C选项错误；根据大正方形的面积等于个小长方形的面积加上小正方形的面积，可得：，故D选项正确． 【详解】解：A选项：大正方形的面积为， 大正方形的边长为， ， 故A选项正确； B选项：小正方形的面积为， 小正方形的边长为， ， 故B选项正确； C选项：，， ， ， 故C选项不正确； D选项：小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为， 大正方形的面积为， 又大正方形的面积为， ， 故D选项正确； 故选：C． 7．已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘、除法法则是解决问题的关键． 利用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 8．如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法运算及图形面积的理解．先计算出长为、宽为的长方形面积，再分析该面积表达式中与C类卡片面积相关项的系数，从而确定C类卡片的张数． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为， ∴大长方形面积为， 而A类正方形卡片的面积为，B类正方形卡片的面积为，C类长方形卡片的面积为， 由大长方形的面积可知，对应A类卡片的面积，对应B类卡片的面积，对应C类卡片的面积， ∴需要C类卡片的张数为， 故选：B． 9．已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为（如、的平方和即为），且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式，有理数的乘方，加法运算，由每个圆圈上的四个数字的和都等于，则三个大圆圈上的数字之和应为，故有，可得，又，由条件可知，所以，即，然后通过即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于， ∴三个大圆圈上的数字之和应为， ∵各个小圆圈的数字之和为， ∴， ∴， ∴， ∵， 由条件可知， ∴， 整理得： ， ∴，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题利用幂的乘方运算和同底数幂的除法运算的逆运算，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 将，代入得： 原式． 12．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 【答案】3 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ∴， 解得． 13．若是正整数，且，，则________． 【答案】900 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方和幂的乘方综合应用，将原式化为，代值计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 14．若，则代数式的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了公式法化简和代数式代入求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先将根据公式法化简为，然后把代入，即可求解； 【详解】解：， ∵， ∴； 故答案为：6； 15．若，则等于______． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式对已知条件变形，将和的值代入变形后的式子，即可求出的值． 【详解】根据完全平方公式，可得：， 对公式变形得：， 将，代入上式得：． 16．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 【答案】 / 【分析】观察图表寻找系数变化规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它两侧的边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，进而可写出的结果；找出第三项的系数规律，进而可知第9行的第三个数． 【详解】解：由题意可得， 第三行的第三项为， 第四行的第三项为， 第五行的第三项为， 第六行的第三项为， ， 第九行的第三项为． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式计算即可； （2）先按平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（8分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式和平方差公式进行化简，再代入数值计算． 先利用完全平方公式展开，再利用平方差公式展开，然后合并同类项化简原式，最后将，代入化简后的式子求值． 【详解】解： . 当 ， 时，原式 ． 19．（8分）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解题关键在于掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则将等式，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将化为，由此可得再根据题目给出的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ，， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 即， ． 20．（8分）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）由（3）得：，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4）解：由（3）得：， ∵，， ∴， ∴． 21．（10分）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 22．（10分）你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： （1）_______； （2）_______； （3）_______；… （4）由此我们可以得到_______； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： （5）； （6）； （7）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）1 【分析】（1）（2）（3）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4）根据计算规律可直接得出结果； （5）（6）将原式变形，然后利用（4）中规律求解即可； （7）利用（3）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解： ； （6） ； （7）， ， 解得， ． 23．（10分）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． (1)通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； (2)有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） (3)在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)图阴影部分面积为，图阴影部分面积为； (3)图中的阴影部分的面积是． 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，掌握数形结合的思想，是解题的关键； （1）根据大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果； （2）根据图形列出表示面积的代数式即可； （3）根据，，求出，然后代入化简后的阴影部分的面积表达式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵两个正方形，，边长分别为，， ∴阴影部分正方形的边长为， ∴图2阴影部分面积为：； 图3阴影部分面积为：． 答：图2阴影部分面积为，图3阴影部分面积为． （3）解：根据题意得： ，， ∴， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图4阴影部分面积为： ， ． 答：图4中的阴影部分的面积是． 24．（10分）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)是， (3)证明见解析 (4)5000 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用及平方差公式的应用． （1）根据“神秘数”的定义，通过计算两个连续奇数的平方差来填空，再设较小的奇数为x，则较大的奇数为，列出方程求解x的值即可得出结果； （2）先假设928是神秘数，设出两个连续奇数，根据神秘数的定义列出方程，求解方程看是否能得到符合条件的连续正奇数即可； （3）设出两个连续奇数，根据平方差公式计算它们的平方差，然后分析结果是否为8的倍数； （4）利用平方差公式求和，结合“神秘数”的规律分析阴影面积之和即可． 【详解】（1）解：， 设较小的奇数为x，则较大的奇数为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：40，13，11． （2）解：928是神秘数， 设较小的奇数为m，则较大的奇数为， 根据“神秘数”的定义可得：， 解得， ∴另一个奇数为， ∴， ∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差． （3）证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为， 依题意得：， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （4）解： ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图是用个相同的小长方形与个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，（其中）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 8．如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 9．已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为（如、的平方和即为），且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若，，则的值是______． 12．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 13．若是正整数，且，，则________． 14．若，则代数式的值为___________． 15．若，则等于______． 16．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)： (2)． 18．（8分）先化简，再求值：，其中，． 19．（8分）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 20．（8分）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 21．（10分）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 22．（10分）你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： （1）_______； （2）_______； （3）_______；… （4）由此我们可以得到_______； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： （5）； （6）； （7）若，求的值． 23．（10分）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． (1)通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； (2)有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） (3)在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 24．（10分）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $