提分小卷限时练03（解答ABC三组，综合训练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练03（A组+B组） （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分12分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 15．（满分8分）“二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶。为调查学生对“二十四节气”知识的了解程度，成都市某学校随机抽取了部分学生进行知识问答，并将知识问答成绩（满分为100分）统计的结果分为四组：；；；．根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据上述信息，解答下列问题： (1)本次调查一共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角度数； (3)学校将从获得满分的5名同学（3名女生，2名男生）中随机抽取2名同学参加演讲，请利用列表或画树状图的方法，求抽中的2名同学恰好是1名女生和1名男生的概率． 16．（满分8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 17．（满分10分）如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 18．（满分10分）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2． (1)求k和b的值；(2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；(3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标． 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同． (1)求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用． 25．（满分10分）在中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点． (1)如图1，当平分时，连接，求证：； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的值； (3)过点作于点，连接，当最小时，求的面积． 26．（满分12分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标；(3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值． （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分12分）（1）计算：； （2）解不等式组： 15．（满分8分）巴黎奥运会男子50米步枪三姿决赛于当地时间8月1日上午结束，中国运动员刘宇坤不负众望，最终夺冠，小宇观看了比赛的直播，并记录和分析了比赛数据，得到如下信息： a．决赛共有8名选手参加，先后进行跪姿、卧姿、立姿三种姿势的射击，具体规则为： ·每位选手先进行40发子弹的基础射击（依次为跪姿15发、卧姿15发、立姿10发），按选手所获得的总环数从高到低依次排名； ·在基础射击环节结束后，排名最后两位的选手被淘汰，其余选手进行单发淘汰赛，淘汰赛为立姿，每轮射击1发子弹后，淘汰赛与基础射击总环数之和最低的1名选手被淘汰，直到5轮淘汰后最终决出冠军； ·在淘汰赛进行过程中，当排名最后的若干位选手总环数相同时，将进行加枪决胜，加枪的环数不计入总环数中； ·选手每一次射击的环数最低为，最高为，且均为的整数倍． b．基础射击结束后8名选手的三种姿势平均成绩如下表所示 选手 A B C D E F G H 跪姿（15发） 卧姿（15发） 立姿（10发） 是否淘汰 淘汰 淘汰 c．决赛结束后，最终获得前三名的选手恰好是基础射击中立姿平均成绩排名前三的选手，且他们最终的排名顺序与他们跪姿的排名顺序一致．这三人单发淘汰赛的成绩如下表所示 决赛排名 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 1 m 2 3 —— d．中国选手刘宇坤在决赛中全部15发立姿射击的总环数为环． 根据上述信息回答： (1)从基础射击的平均成绩来看，在这三种姿势中，平均成绩最好的姿势是______，选手之间成绩差异最大的姿势是______；（两空均选填“跑姿”，“卧姿”或“立姿”） (2)在基础射击中，这8名选手立姿平均成绩的中位数为______； (3)在决赛中最终获得前三名的选手分别是：第一名______，第二名______，第三名______；（三空均从中选填） (4)m的值为______． 16．（满分8分）【问题情境】在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】(1)请求出图③中圆心到的距离；(2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． 17．（满分10分）如图，在中，，是上一点，，以为直径作交于点，射线交于点，且为的中点，连交于点，连接，． (1)若为的中点，求证：；(2)若，，求值和的半径． 18.（满分12分）【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则 【构建联系】（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； 【深入探究】（2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”；②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值用含n的代数式表示 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 25．（满分10分）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：①当时，求证：；②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 26．（满分12分）已知菱形的对角线，交于点，点为上一点，连接交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)如图3，保持图2中菱形的形状不变，移动点，连接，过点作交于点，连接，若，，求点到的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练03（A组+B组） （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分12分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）2；（2） 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 15．（满分8分）“二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶。为调查学生对“二十四节气”知识的了解程度，成都市某学校随机抽取了部分学生进行知识问答，并将知识问答成绩（满分为100分）统计的结果分为四组：；；；．根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据上述信息，解答下列问题： (1)本次调查一共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角度数； (3)学校将从获得满分的5名同学（3名女生，2名男生）中随机抽取2名同学参加演讲，请利用列表或画树状图的方法，求抽中的2名同学恰好是1名女生和1名男生的概率． 【答案】(1)300；补全条形统计图见解析；(2)扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角度数为 (3)抽中的2名同学恰好是1名女生和1名男生的概率为 【详解】（1）解：本次调查一共抽取了（名）学生． D组的人数为（人）．补全条形统计图如图所示． 故答案为：300． （2）．扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角度数为． （3）列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3） 女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2） 共有20种等可能的结果，其中抽中的2名同学恰好是1名女生和1名男生的结果有12种， 抽中的2名同学恰好是1名女生和1名男生的概率为． 16．（满分8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：过点作于点，作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形矩形，∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：此时灯罩顶端到桌面的高度是． 17．（满分10分）如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵是的直径，∴， ∵，∴，∴， 在中，，又∵，， ∴，∴，∴，， 在中，，∴， 在中，，∴， ∵，∴，∴，即，∴， 18．（满分10分）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2． (1)求k和b的值；(2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；(3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标． 【答案】(1)，(2)点C的坐标为或(3)点C的坐标为或 【详解】（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，∴点B的坐标为， 将点A，B的坐标分别代入，得，解得，∴； （2）解：由（1），得，，∴直线的函数表达式为， ∵直线与直线交于点M，∴点M在直线上，设， ①如图1，当点M在线段上时， ∵，∴，由相似比及线段长度与坐标的关系，得， ∴，解得，∴点M的坐标为，此时直线的函数表达式为x， 由得（负值舍去），∴点C的坐标为； ②如图2，当点M在线段的延长线上时， ∵，∴同①，得， ∴，解得，∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为，由得（负值舍去），∴点C的坐标为； ③由，知，则点M不在线段的延长线上， 综上所述，点C的坐标为 或； （3）设点C的坐标为，且， ①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线， 分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，则， ∴，即，化简，得， 解得，（（与点B重合，舍去），∴点C ； ②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q， 则，∴，∴，化简，得， 解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）； ∴点C的坐标为 ，综上所述，点C的坐标为 或 ． 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同． (1)求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元 (2)当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元 【详解】（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元． 根据题意，得，解得， 经检验，是所列分式方程的解，（元）， ∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元． （2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个． 根据题意，得，解得； 设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则， ，∴W随x的增大而增大， ∵，∴当时，W的值最小，，此时（个）， ∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元． 25．（满分10分）在中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点． (1)如图1，当平分时，连接，求证：； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的值； (3)过点作于点，连接，当最小时，求的面积． 【答案】(1)证明过程见详解(2)(3) 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形，，平分，， ，，， ，， ，，， ，，； （2）解：由（1）得，，， ，， ，，，，， ，    ，， ，； （3）解：作于点G， ，，，， ，，，，， ，， ，，，     当最小时，此时，作于点H， ，，，， ，，∴． 26．（满分12分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标； (3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：将代入得：， 解得，则抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作平分，交抛物线于点，交轴于点， ∴点到直线的距离与到直线的距离相等，即为所求，由（1）已得：， 当时，，解得或，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∴，即，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴，设直线的解析式为， 将点代入得：，解得，∴直线的解析式为， 联立，解得或（即为点），∴点的坐标为； 如图，过D作交抛物线于，延长至F，则，， ∵，∴，∴到直线的距离与到直线的距离相等， 在轴上取点，过G作轴交于H， 则，， 又，∴，∴，∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组，解得或（即为点），∴， 综上，点D的坐标为或． （3）解：联立得：， ∵抛物线与直线只有唯一一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式，即， 同理可得：， ∵点在直线和直线上， ∴，，∴，， ∴，， ∴是方程，即的两个实数根，∴． （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分12分）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ； （2）， 解①，得 解②，得， ∴， ∴不等式组解集为． 15．（满分8分）巴黎奥运会男子50米步枪三姿决赛于当地时间8月1日上午结束，中国运动员刘宇坤不负众望，最终夺冠，小宇观看了比赛的直播，并记录和分析了比赛数据，得到如下信息： a．决赛共有8名选手参加，先后进行跪姿、卧姿、立姿三种姿势的射击，具体规则为： ·每位选手先进行40发子弹的基础射击（依次为跪姿15发、卧姿15发、立姿10发），按选手所获得的总环数从高到低依次排名； ·在基础射击环节结束后，排名最后两位的选手被淘汰，其余选手进行单发淘汰赛，淘汰赛为立姿，每轮射击1发子弹后，淘汰赛与基础射击总环数之和最低的1名选手被淘汰，直到5轮淘汰后最终决出冠军； ·在淘汰赛进行过程中，当排名最后的若干位选手总环数相同时，将进行加枪决胜，加枪的环数不计入总环数中； ·选手每一次射击的环数最低为，最高为，且均为的整数倍． b．基础射击结束后8名选手的三种姿势平均成绩如下表所示 选手 A B C D E F G H 跪姿（15发） 卧姿（15发） 立姿（10发） 是否淘汰 淘汰 淘汰 c．决赛结束后，最终获得前三名的选手恰好是基础射击中立姿平均成绩排名前三的选手，且他们最终的排名顺序与他们跪姿的排名顺序一致．这三人单发淘汰赛的成绩如下表所示 决赛排名 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 1 m 2 3 —— d．中国选手刘宇坤在决赛中全部15发立姿射击的总环数为环． 根据上述信息回答： (1)从基础射击的平均成绩来看，在这三种姿势中，平均成绩最好的姿势是______，选手之间成绩差异最大的姿势是______；（两空均选填“跑姿”，“卧姿”或“立姿”） (2)在基础射击中，这8名选手立姿平均成绩的中位数为______； (3)在决赛中最终获得前三名的选手分别是：第一名______，第二名______，第三名______；（三空均从中选填） (4)m的值为______． 【答案】(1)卧姿，立姿(2)(3)F，B，D(4) 【详解】（1）解：由表可知，在这三种姿势中，平均成绩最好的姿势是卧姿； 跪姿的极差为，卧姿的极差为，立姿的极差为， ∵，∴选手之间成绩差异最大的姿势是立姿；故答案为∶ 卧姿，立姿； （2）解：将这8名选手立姿平均成绩按大小排序为： ，，，，，，， ∴中位数； （3）解：∵最终获得前三名的选手恰好是基础射击中立姿平均成绩排名前三的选手， ∴最终获得前三名的选手为B、D、F， ∵他们最终的排名顺序与他们跪姿的排名顺序一致，， ∴第一名为F，第二名为B，第三名为D；故答案为：F，B，D； （4）解：根据题意可得：刘宇坤夺冠，则F为刘宇坤， ∵刘宇坤在决赛中全部15发立姿射击的总环数为环，且基础射击中立姿平均成绩为环， ∴，故答案为：． 16．（满分8分）【问题情境】在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】(1)请求出图③中圆心到的距离；(2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． 【答案】(1)圆心到的距离为(2)的长度约为 【详解】（1）解：如图，连接，延长交 于点，设圆的半径为， 由题意可知，，∴，， ∵，∴弓形高，， ∴，， 在直角中，，∴，解得，∴． 答：圆心F 到的距离为． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在直角中，，∴， ∵由绕点O顺时针旋转得到，∴，， ∴，∵，，∴， ∴，在直角中，， ∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴．答：的长度约为． 17．（满分10分）如图，在中，，是上一点，，以为直径作交于点，射线交于点，且为的中点，连交于点，连接，． (1)若为的中点，求证：；(2)若，，求值和的半径． 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）证明：，，， 为直径，为中点，，， ，，， 为中点，，，，； （2）解：连接，， ， ∴，， ∴；设，则，∴，， ∴，，∴． ，∴， 在，由勾股定理得：， ∵为直径，∴，， ∵，∴四点共圆，∴， ∴，∴， 由勾股定理得， ∵，∴， ∴，∴，设，则， ∵在中，，∴， ，即，， ，，即的半径为． 18.（满分12分）【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则 【构建联系】（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； 【深入探究】（2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”；②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值用含n的代数式表示 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【详解】解：如图1，作于A，∵，∴，则， 直线与直线为“等腰三角线”，，，， ∵，，， 设的解析式为：，，，直线的解析式为：； ①证明：如图2，作轴于W，则， 由得，，， 设直线的解析式为：，，， 当得，，同理可得，直线的解析式为：， 由得，，，， ，，，直线与直线为“等腰三角线”； ②解：如图3，作于G，作的垂直平分线，交于H， ，，， 由①知，，，，， ，，，， ，，， 设，则，在中，由勾股定理得， ，，，，， ，． 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元；(2) 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴，解并检验得：，大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售：中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）：中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 25．（满分10分）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：①当时，求证：；②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)(2)见解析(3)时，的最大值为 【详解】（1）解：将代入得，，解得： ∴ （2）证明：设直线的解析式为，代入得，∴∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，，∴， ∵，∴，∴，即； ②当时，，∴， ∵，即，∴，即， （3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵，∴，， 又∵，，∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴解得：∴直线的解析式为 当时，即又∵∴ ∵的解析式为∴， 又∵∴∴，即 又∵，∴ ∵∴∵∴ 又∵∴∴∴ ∴当时，有最大值为． 26．（满分12分）已知菱形的对角线，交于点，点为上一点，连接交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)如图3，保持图2中菱形的形状不变，移动点，连接，过点作交于点，连接，若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：∵菱形的对角线，交于点， ∴，∴， ∵，∴，∴． （2）解：∵，∴设， ∵菱形，∴， ∴，在中，， ∴，解得：，∴， 设，则， ∵，∴，∴，即，解得：， ∴，∴． （3）解：由（2）可得：，， ∵菱形，，∴， 在中，，∴，解得：， ∴， 如图：过M作于G，过P作于H，设， ∵，，∴ ∴，即，∴，同理：； ∵，， ∴， ∴，∴，∴，即， ∵，，∴，∴， ∴，即，解得：， ∵，∴，即，∴ 即，，解可得：， 将代入 整理得：，解得：或（不合题意舍弃）， ∴，即点到的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $