提分小卷限时练02（解答ABC三组，综合训练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练02（A组+B组） （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分12分）（1）计算：；         （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：原式； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组解集为． 15.（8分）人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． (2)请补全频数直方图． (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 【答案】(1)80；22.5；31.25(2)见解析(3)小涵的观点正确，小涛的观点错误．见解析 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，良好与中等所对应的圆心角为， ∴待合格，合格与优秀所对应的圆心角为，即占总人数的， 由频数直方图可知，待合格，合格与优秀的人数为（人），即总人数为（人）； 待合格对应的圆心角为；合格所占百分比为． 故答案为：80；22.5；31.25． （2）解：C等级即中等学生人数为15人，∴良好学生人数为（人）， 补全频数直方图如图所示． （3）解：小涵的观点正确，小涛的观点错误，理由如下． 理由：本次抽样调查的样本容量是80，待合格和合格共30人，72分至75分的有8人， ∴第40人和第41人都是76分，所以这次抽取成绩的中位数是76分，所以小涛的观点错误． ∵（人）， ∴九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人，所以小涵的观点正确． 16．（满分8分）综合与实践：图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数；(2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量；(3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点A作交与点D， 则，∵，∴，∴． （2）解：∵，∴支架能承受的最大力F为， 则，解得：，则小桌板能放置物体的最大质量为． （3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则，∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，∴中， ，， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∴在中，，∴． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 17．（满分10分）如图，以的边为直径的交边于点.交边于点，连接，相交于点，连接. (1)求证：； (2)若，，，求的半径. 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：和为劣弧所对的圆周角，， ，． （2）解：是的直径，，， 设，则，在中，，， 即，解得，（负值已舍去），，， ，，， 由，不妨设，， ，， ，，， ，， ，不妨设，， ，，，， （舍去），， ，， ， ，， ，半径为：． 18．（满分10分）在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①；②或 【详解】解：（1）将代入直线了：中可得，，， 再将点A代入反比例函数中，得； （2）证明：由知，反比例函数表达式为， 令，整理得，解得，， ，，设直线表达式为，则，解得， 直线表达式为，再联立直线和直线l得，， ，解得，，，中点横坐标为， 和交点为中点，把分成面积相等的两部分； ①如图，中，，，， 设，则，，，，故答案为：； ②，，，， 如图，过作轴，则，由①知， 设，，，， ， ， ，；同理； 综上，F点的坐标为或 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A，B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】(1)A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； (2)，最小购买费用为12800元 【详解】（1）解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元； 由题意得，，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意，∴， 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； （2）解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半， ∴，∴，由题意得，， ∵，∴w随a增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴，最小购买费用为12800元． 25．（满分10分）校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【答案】(1)；(2)点为线段中点(3)直线过线段中点，证明见解析 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，∴设点，∵轴，∴， ∵点在直线上，∴点，∴ ∵直线与抛物线交于两点，∴，解得：，， 当时，；当时，，∴，． ∴ ∵，∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中，∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值，∴将代入点得：点， ∵，，点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合，∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上，∴设点， ∵轴，∴，∵点在直线上，∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 26．（满分12分）综合与探究：在正方形中，点E在边上，连接． (1)问题探究：如图①，若，，过点E作交于点F，求的长度． (2)问题解决：如图②，若，，点F是上一动点，连接并将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点F是线段的中点时，求线段的值？ (3)拓展延伸：如图③：若四边形是正方形，在直线的上方有一点P，连接，，，且，，求的最大值？ 【答案】(1)(2)(3)的最大值为 【详解】（1）四边形是正方形，，，， ，，， 又，，， ，即，解得． （2）如图②，连接，过点G作交延长线于点H，则， 由题知，，四边形是正方形， ，，， 又，，，，， 又，，， 又，，， 当点F是线段的中点时，， 解得，，， 由勾股定理得，． （3）如图③，过点A作，且，则， 由勾股定理得，， 四边形是正方形，，，， 又，，，， 由于两点之间，线段最短，所以， 当B、M、P三点共线时，有最大值． （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分12分）（）计算：； （）解不等式组：． 【答案】（）；（） 【详解】解：（）原式 ； （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 15．（满分8分）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出表格中a、b、c的值， ______， _______， ______； （三）迁移与应用（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87，故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 16．（满分8分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)． (2)的长度约为 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G． ∵，∴四边形为矩形，∴． ∵， ，∴，∴． 在中，，∴． （2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵，∴四边形是矩形，∴．易知， 在中，， ， ∴，∴． ∵，∴， ∴，∴（）． 答：的长度约为． 17.（10分）如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接．(1)求证：平分；(2)若，求及的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）证明：连接，∵与相切于点，∴， ∵，∴，∴，∴，∴平分； （2）解：连接，∵，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴；∴，∴． 18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与双曲线()的交点为，在的左边)，且，恰好是线段的三等分点. (1)求，的值： (2)在x轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，对于线段和点，若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“笛卡尔伴生点”.已知正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“笛卡尔伴生点”，请求出的取值范围， 【答案】(1)，(2)(3)或． 【详解】（1）解：如图1， 作于，，， ，恰好是线段的三等分点， 当时，，，，， ，，； （2）如图2，过点作于，作点关于轴对称点，连接，交轴于，此时最小，同理（1）可得， 在反比例函数上，，， 设直线的解析式为：， ∴解得：，由得， （3）从到可以看作向右平移4个单位，向下平移4个单位， 依题意，当正方形上的点通过平移个单位，，能到达，即满足定义， 如图3，将，向上或向下平移个单位，得到， 正方形边长为，且以点为中心，，， 当点在上时，，， 当点在上时，，， 当点在上时，，， 当点在上时，，，或． 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； (2)，有4种购买方案；(3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解，（元， 答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； （2）解：根据题意得：， 商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮， ，解得：，， 而为整数，可取347或348或349或350；有4种购买方案； （3）解：由（2）知，， ，随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为， 设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个， 根据题意得：，， 、都为非负整数，，， 答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 25．（满分10分）抛物线与x轴交于点A，点A在B的左侧，与y轴交于点，点P为该抛物线在第三象限内的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作轴，交于点N，直线交y轴于点M，连接，求证：轴； (3)如图2，直线l为该抛物线的对称轴，于点H，直线，分别交直线l于点F，在点P运动的过程中，当恒成立时，求k的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：抛物线过点，， ，解得，抛物线的解析式为； （2）证明：设，在中， 当时，，解得，，， ，直线的解析式为， 轴，交于点N，， ，，直线的解析式为， 当时，，，轴； （3）解：，对称轴l为直线， 直线的解析式为，， 在第三象限内，且， ，直线的解析式为，， 当时，如图2， ，，， 恒成立，恒成立，的值为4； 当时，如图3，， ，，恒成立，恒成立， 的值为4；综上所述，k的值为 26．（满分12分）【初步探索】如图，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图所示． （1）当的面积达到最大时，的度数为______； （2）根据图，求证：；（3）根据图，求的度数； 【类比应用】如图，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值． 【答案】初步探索：证明见解析；问题解决：（1）；（2）证明见解析；（3）；类比应用：，理由见解析 【详解】初步探索：证明：∵，，∴， 又∵，∴，∴； （1）∵一定，，∴当最大时，的面积最大， 由题意得时，取最大值，此时的面积最大，∴， ∵，，∴，∴旋转角； （2）∵，，，∴， ∴，∴，即． ∵，，∴； （3）∵，∴， ∴， 即的度数为115°； 类比应用：连接，．如图， 在和中，由勾股定理，， ∴，，∴， ∴，即． 又∵，∴，∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练02（A组+B组） （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分12分）（1）计算：；         （2）解不等式组： 15.（8分）人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． (2)请补全频数直方图． (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 16．（满分8分）综合与实践：图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数；(2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量；(3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 17．（满分10分）如图，以的边为直径的交边于点.交边于点，连接，相交于点，连接.(1)求证：；(2)若，，，求的半径. 18．（满分10分）在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A，B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 25．（满分10分）校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 26．（满分12分）综合与探究：在正方形中，点E在边上，连接． (1)问题探究：如图①，若，，过点E作交于点F，求的长度． (2)问题解决：如图②，若，，点F是上一动点，连接并将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点F是线段的中点时，求线段的值？ (3)拓展延伸：如图③：若四边形是正方形，在直线的上方有一点P，连接，，，且，，求的最大值？ （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分12分）（）计算：； （）解不等式组：． 15．（满分8分）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出表格中a、b、c的值， ______， _______， ______； （三）迁移与应用（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 16．（满分8分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 17.（10分）如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接．(1)求证：平分；(2)若，求及的长． 18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与双曲线()的交点为，在的左边)，且，恰好是线段的三等分点. (1)求，的值： (2)在x轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，对于线段和点，若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“笛卡尔伴生点”.已知正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“笛卡尔伴生点”，请求出的取值范围， 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 25．（满分10分）抛物线与x轴交于点A，点A在B的左侧，与y轴交于点，点P为该抛物线在第三象限内的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P作轴，交于点N，直线交y轴于点M，连接，求证：轴；(3)如图2，直线l为该抛物线的对称轴，于点H，直线，分别交直线l于点F，在点P运动的过程中，当恒成立时，求k的值． 26．（满分12分）【初步探索】如图，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图所示．（1）当的面积达到最大时，的度数为______； （2）根据图，求证：；（3）根据图，求的度数； 【类比应用】如图，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $